高中數(shù)學(xué)學(xué)案坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、學(xué)案73坐標(biāo)系與參數(shù)方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會(huì)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用自主梳理1極坐標(biāo)系的概念在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做_；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)_設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的_，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的_，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的_，記作(，)2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)

2、作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，y_.另一種關(guān)系為：2_，tan _.3簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程(1)一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程(，)0，并且坐標(biāo)適合方程(，)0的點(diǎn)都在曲線上，那么方程(，)0叫做曲線的_(2)常見曲線的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程_表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓；_表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓；_表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓直線的極坐標(biāo)方程_表示過極點(diǎn)且與極軸成角的直線；_表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；_表示過(b

3、，)且平行于極軸的直線；sin()0sin(0)表示過(0，0)且與極軸成角的直線方程4常見曲線的參數(shù)方程(1)直線的參數(shù)方程若直線過(x0，y0)，為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義(2)圓的參數(shù)方程若圓心在點(diǎn)M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為0<2.(3)橢圓的參數(shù)方程中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線的參數(shù)方程拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為自我檢測(cè)1(教材改編題)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，1)，則它的極坐標(biāo)為_2(原創(chuàng)題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(，)與(，)的位置關(guān)系為_3(2011·陜西)在直角

4、坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：(為參數(shù))和曲線C2：1上，則|AB|的最小值為_4(2011·廣州一模)在極坐標(biāo)中，直線sin()2被圓4截得的弦長(zhǎng)為_5(2010·陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin 1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_.探究點(diǎn)一求曲線的極坐標(biāo)方程例1 在極坐標(biāo)系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為_變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程探究點(diǎn)二極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互

5、化例2 (2009·遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程變式遷移2 (2010·東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin()，(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)探究點(diǎn)三參數(shù)方程與普通方程的互化例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)；(2)；(3).變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖

6、(1)(為參數(shù))；(2) (t為參數(shù))探究點(diǎn)四參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用例4 求圓3cos 被直線(t是參數(shù))截得的弦長(zhǎng)變式遷移4 (2011·課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點(diǎn)：一、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中和的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出同直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會(huì)不同在沒

7、有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問題二、在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，這時(shí)可借助于一個(gè)中間變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間的關(guān)系同時(shí)，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計(jì)算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算量將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等同極坐標(biāo)方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問題(滿分：90分)一、

8、填空題(每小題6分，共48分)1直角(t為參數(shù))恒過定點(diǎn)_2點(diǎn)M(5，)為極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，給出如下各點(diǎn)的坐標(biāo)：(5，)；(5，)；(5，)；(5，)其中可以作為點(diǎn)M關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的是_(填序號(hào))3在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，)，(4，)，則AB_，SAOB_.(其中O是極點(diǎn))4(2011·廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0<)和(tR)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_5(2011·天津)已知拋物線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓(x4)2y2r2(r>0)相切，則r_.6(2010·廣東韶關(guān)一模)在極坐標(biāo)

9、系中，圓心在(，)且過極點(diǎn)的圓的方程為_7(2009·安徽)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位已知直線的極坐標(biāo)方程為(R)，它與曲線(為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，則AB_.8(2010·廣東深圳高級(jí)中學(xué)一模)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為_二、解答題(共42分)9(14分)O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為4cos，4sin.(1)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過O1，O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程10(14分)(2011·江蘇

10、，21C)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程11(14分)(2010·福建)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求PAPB.學(xué)案73坐標(biāo)系與參數(shù)方程答案自主梳理1極軸極坐標(biāo)系極徑極角極坐標(biāo)2.cos sin x2y2(x0)3.(1)極坐標(biāo)方程(2)2rcos 2rsin r(R)cos asin b自我檢測(cè)1(

11、2，)(答案不唯一)2重合33解析C1：(x3)2(y4)21，C2：x2y21，兩圓心之間的距離為d5.A曲線C1，B曲線C2，|AB|min523.44解析直線sin()2可化為xy20，圓4可化為x2y216，由圓中的弦長(zhǎng)公式得224.5(1,1)，(1,1)解析ysin ，直線l的直角坐標(biāo)方程為y1.由得x2(y1)21.由得或直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)和(1,1)課堂活動(dòng)區(qū)例1 解題導(dǎo)引求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點(diǎn)；由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式；將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線上的

12、極坐標(biāo)方程；證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過程正確，化簡(jiǎn)過程都是同解變形，這一證明可以省略答案asin ，0<解析圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點(diǎn)A(，)，則AOC或，即AOC|.又acosAOCacos|asin .圓的方程是asin ，0<.變式遷移1 解設(shè)P(，)是直線l上任意一點(diǎn)，OPcos OA，即cos a，故所求直線的極坐標(biāo)方程為cos a.例2 解題導(dǎo)引直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式

13、，進(jìn)行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢驗(yàn)解(1)由cos1得1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2，當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N.(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為，(，)變式遷移2 解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy，即x2y2xy0.直線l：sin()，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O

14、公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1，)例3 解題導(dǎo)引參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程對(duì)于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運(yùn)用代入法消去k；對(duì)于(2)可運(yùn)用恒等式(sin cos )21sin 2消去；對(duì)于(3)可運(yùn)用恒等式()2()21消去t.另外，參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致解(1)兩式相除，得k.將k代入，得x.化簡(jiǎn)，得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程是y22x，x0,2(3)由()2()21

15、，得x24y21.又x1，得所求的普通方程是x24y21(x1)變式遷移3 解(1)由y2(sin cos )21sin 212x，得y22x1.sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程為y22 (x，y)，圖形為拋物線的一部分圖形如圖甲所示(2)由x2y2221及x0，xy0知，所求軌跡為兩段圓弧x2y21 (0<x1,0y<1或1x<0，1<y0)圖形如圖乙所示例4 解題導(dǎo)引一般將參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程解決解將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程：3cos 即：x2y23x，即(x)2y2.即：2xy30.所以圓心到直線的距離d0，即直

16、線經(jīng)過圓心，所以圓被直線截得的弦長(zhǎng)為3.變式遷移4 解(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)由于M點(diǎn)在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為8sin .射線與C1的交點(diǎn)A的極徑為14sin，射線與C2的交點(diǎn)B的極徑為28sin.所以|AB|21|2.課后練習(xí)區(qū)1(3，1)解析由題知，x3(y1)，恒過定點(diǎn)(3，1)2356解析AOB，AOB為直角三角形AB5，SAOB×3×46.4(1，)解析將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為y21(0y1，<x)和y2x，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)5.解析由得y

17、28x，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0)，直線方程為yx2，即xy20.因?yàn)橹本€yx2與圓(x4)2y2r2相切，由題意得r.62cos 解析如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(，)，則ABO90°，OB2，化簡(jiǎn)得2cos .7解析直線的極坐標(biāo)方程為(且R)，故其直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的方程為yx，參數(shù)方程為(為參數(shù))的直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的方程為(x1)2(y2)24.圓心(1,2)到直線yx的距離為.又半徑為2，故弦長(zhǎng)為2.84sin 解析由參數(shù)方程消去得圓C的方程為x2(y2)24，將xcos ，ysin 代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .9解以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1分)(1)xcos，ysin，由4cos得24cos，所以x2y24x.即x2y24x0為O1的直角坐標(biāo)系方程，(4分)同理x2y24y0為O2的直角坐標(biāo)系方程(7分)(2)由解得(11分)即O1，O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，2)，過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)系方程為yx.(14分)10解由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a5，短半軸長(zhǎng)b3，從而c4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x2y20.(6分)故所求直線的斜率為，因此其方程為y(x4)，(8分)即x2y40.(14分)11解方法一(1)2sin