切換系統(tǒng)知識總結(jié)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載切換系統(tǒng)來源于實(shí)際控制系統(tǒng),所以對其研究不但是現(xiàn)代控制理論發(fā)展的需要 ,更是試圖解決大量實(shí)際問題的迫切需求 .不同于一般系統(tǒng) ,切換系統(tǒng)在運(yùn)行過程中 ,切換規(guī)則起著重要作用 ,不同的切換規(guī)則將導(dǎo)致完全不同的動態(tài)特征 :若干個(gè)穩(wěn)定的子系統(tǒng)在某一切換規(guī)則下可導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定 .而若干個(gè)不穩(wěn)定的子系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)那袚Q下可使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定 ,即其子系統(tǒng)的穩(wěn)定性不等價(jià)于整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 .1999 年 Daniel Liberzon和 A. Stephen Morse發(fā)表了一篇切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的綜述文章 ,并歸結(jié)為如下三個(gè)基本問題 :問題 1:切換系統(tǒng)在任意切換下漸近穩(wěn)定的條件;問題 2

2、:切換系統(tǒng)在受限切換下是否漸近穩(wěn)定;問題 3:如何設(shè)計(jì)切換信號 ,使得切換系統(tǒng)在該切換信號下漸近穩(wěn)定.以上三個(gè)問題是在研究切換系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)密不可分的。我們在研究切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的時(shí)候，大多圍繞這三個(gè)問題展開.在對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的過程中，已經(jīng)有了很多的研究方法，在研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，我們經(jīng)常用到的方法有：單Lyapunov 函數(shù)方法，共同Lyapunov 函數(shù)方法，多Lyapunov 函數(shù)方法，共同控制Lyapunov 函數(shù)方法，backstepping 方法，LMI 等。切換系統(tǒng)基本知識定義1 一個(gè)切換系統(tǒng)被描述成以下微分方程的形式（ ）（ 1）其中這里：是一族的充分正則函數(shù)，：是關(guān)于時(shí)間的

3、分段.常值函數(shù)，稱為切換新號。有可能取決于時(shí)間t 或狀態(tài)（ ），或兩者都有。 P 是某個(gè)指標(biāo)集。以下非特別指明假設(shè) P 都是有限集。如果這里所有的子系統(tǒng)都是線性的，我們就得到一個(gè)線性切換系統(tǒng)，（ 2）1 任意切換下穩(wěn)定很明顯，為了研究切換系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性， 我們必須假設(shè)所有系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，這點(diǎn)對于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定只是必要條件。 我們要研究的是為了使切換系統(tǒng)在任意切換下穩(wěn)定還需要什么條件。存在共同 Lyapunov 函數(shù)是系統(tǒng)在任意切換下漸近穩(wěn)定的充要條件，因而尋求共同 Lyapunov函數(shù)存在的條件是解決穩(wěn)定性問題的一個(gè)途徑。共同 Lyapunov 函數(shù)法與傳統(tǒng)的 Lapunov 直接法

4、基本是一致的。其主要思想是 :對于切換系統(tǒng)，如果各子系統(tǒng)存在共同 Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)對于任意的切換序列都是穩(wěn)定的。定理 1 Lapunov 穩(wěn)定性定理為研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一個(gè)基本工具，具體如下 :對于切換系統(tǒng)（1），如果存在正定連續(xù)可微的函數(shù)V：，正定連續(xù)的函數(shù) W：，滿足，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載那么顯然系統(tǒng)是穩(wěn)定 (漸近穩(wěn)定 )的。如果 是徑向無界的，則結(jié)果是全局的。因此，這樣一個(gè) Lapunov 函數(shù) (稱為共同 Lyapunov 函數(shù) )是研究切換系統(tǒng)的一個(gè)重要課題。對于線性系統(tǒng)(1)，一般要找的是二次Lyapunov 函數(shù)。定義 2 給定一組穩(wěn)定矩，若存在一個(gè)正定矩陣P

5、>0使得，則稱它為，的一個(gè)共同二次Lyapunov函數(shù)。引理 1 如果切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的凸組合，（ ）其中，那么該切換系統(tǒng)不具有共同Lyapunov函數(shù)。由以上引理可見，切換系統(tǒng)存在共同Lyapunov函數(shù)的必要條件為切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)的凸組合均穩(wěn)定。另外，對于下列一對二階漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)還有以下充分必要條件。，考慮兩個(gè)子系統(tǒng)的矩陣凸組合，（）定理 2 一對二階漸近穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)具有共同二次Lyapunov函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，和，中的矩陣都穩(wěn)定。定理 3 如果：是由一些可交換的Hurwitz 矩陣組成的有限集，那么這個(gè)相應(yīng)的線性切換系統(tǒng)（2）是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。令，是一個(gè)給定的

6、由交換的Hurwitz 矩陣構(gòu)成的集合， 令是下面的 Lyapunov方程的唯一的正定解對于 i=1, ,m，令是下面的 Lyapunov方程的唯一的正定解然后函數(shù)是所期望的給定的線性切換系統(tǒng) （ 2）的一個(gè)二次共同 Lyapunov 函數(shù)。 由以下公式給出由于，是可交換的，所以我們可以將上式可以重新寫成下面的形式學(xué)習(xí)好資料歡迎下載這里。定理 4 如果：是由可交換的一次連續(xù)可微的斜向量場組成的有限集，并且所有的子系統(tǒng)的原點(diǎn)是一個(gè)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)， 那么交換的切換系統(tǒng)（ 1）是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。這里沒有給出共同 Lyapunov 函數(shù)的明確結(jié)構(gòu)，有兩種方法能夠構(gòu)造這樣的一個(gè)函數(shù)，但是，他們

7、都要依靠更強(qiáng)的條件：系統(tǒng)（ 1）的各子系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。并且僅僅給出一個(gè)局部的共同 Lyapunov 函數(shù)。方法一考慮這樣一個(gè)線性化的矩陣，.如果非線性的斜向量場可交換，那么線性化的矩陣也可交換。（假設(shè)，）。線性化的矩陣可交換是一個(gè)弱解條件。矩陣是Hurwitz的當(dāng)且僅當(dāng)斜向量場是指數(shù)穩(wěn)定的。這樣對于線性化的系統(tǒng)的一個(gè)二次共同Lyapunov 函數(shù)，就可以作為這個(gè)有限子族非線性系統(tǒng)原點(diǎn)處的一個(gè)局部的共同Lyapunov函數(shù)。方法二令，系統(tǒng)（1）的各子系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。對于任意的，令（ ， ）表示系統(tǒng)（ ）滿足初始條件的解，定義（ ）（ ， ）（ ）（ ， ） ，i=2, ,m這里 T 是一個(gè)足

8、夠大的正常數(shù)。那么是一個(gè)各子系統(tǒng)的局部共同Lyapunov 函數(shù)。如果函數(shù)：滿足全局 Lipschitz 條件，那么我們就得到一個(gè)全局的共同 Lyapunov函數(shù)。定理 5（共同 Lyapunov存在逆定理）假設(shè)切換系統(tǒng)（1）是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的，集合（ ）：對有界，函數(shù)（ ）對于 x 和一致的 p 滿足局部Lipschitz 條件，那么這個(gè)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)有一個(gè)徑向無界的光滑的共同 Lyapunov 函數(shù)。2 受限切換穩(wěn)定多 Lyapunov函數(shù)法是 Branicky從切換系統(tǒng)的特點(diǎn)出發(fā)提出的，這是因?yàn)楣餐?Lyapunov要滿足的條件往往過強(qiáng)，實(shí)際系統(tǒng)中存在共同 Lyapunov函數(shù)的情形并

9、不多見，而且很多切換系統(tǒng)雖然不存在共同 Lyapunov函數(shù)，卻可以選擇適當(dāng)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載的切換信號使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。對于這樣的系統(tǒng)，多 Lyapunov 函數(shù)法是一種有效的方法。多 Lyapunov函數(shù) :為切換系統(tǒng)定義一組 Lyapunov-like 函數(shù) ，然后判定切換系統(tǒng)穩(wěn)定性。對于系統(tǒng)（ 1），假設(shè)各個(gè)子系統(tǒng)切換時(shí)狀態(tài)不發(fā)生跳變，平衡點(diǎn)為,（ ）是全局 Lipschiz連續(xù)的，所謂 Lyapunov-like函數(shù)是定義在區(qū)域上的一個(gè)連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)，且滿足以下條件(1)正定性:，當(dāng)，（）(2) 導(dǎo)數(shù)負(fù)定 :當(dāng)切換到子系統(tǒng) （ （ ）時(shí)，其相應(yīng)的 Lyapunov函數(shù) 單調(diào)遞減，即

10、，。共同 Lyapunov 函數(shù)法研究切換系統(tǒng)對于任意切換序列是否穩(wěn)定，而多 Lyapunov 函數(shù)法研究系統(tǒng)對于一類切換序列是否穩(wěn)定。定理 6 若切換系統(tǒng)（1）的各子系統(tǒng)都是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，令，是相應(yīng)的各子系統(tǒng)的徑向無界的Lyapunov 函數(shù)，若存在一族正定的連續(xù)函數(shù)，滿足對于每一對切換時(shí)刻，滿足，并且，（）則切換系統(tǒng)（ 1）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。基于逗留時(shí)間的穩(wěn)定性對于切換系統(tǒng)， 即使各個(gè)子系統(tǒng)均漸近穩(wěn)定， 如果切換不當(dāng)， 也可能使這個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定。直觀地說，這是由于切換引起的“系統(tǒng)能量”增長趨勢超過了各穩(wěn)定子系統(tǒng)對“系統(tǒng)能量”的衰減作用。一個(gè)自然的想法是，如果在各穩(wěn)定子系統(tǒng)內(nèi)停留的時(shí)間足夠長

11、，以對消并超過切換引起的“系統(tǒng)能量”增長趨勢，那么切換系統(tǒng)就可以穩(wěn)定了。這一方法被稱為“長駐留時(shí)間” 。衡量逗留時(shí)間長短的最簡單直接的方法就是引入一個(gè)正常數(shù) ，假設(shè)相鄰切換時(shí)刻相差不小于 的切換信號 (即每次在子系統(tǒng)的逗留時(shí)間不小于 )，我們考慮在這樣一類切換信號下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 對于線性切換系統(tǒng)， 如果各個(gè)子系統(tǒng)均漸近穩(wěn)定，那么只要切換信號滿足在各個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間足夠長， 即只要足夠大，就可以保證線性切換系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定，并且還可以定量計(jì)算出逗留時(shí)間的下限。在一定條件下，還可以將上述結(jié)論推廣到非線性切換系統(tǒng)。在這里，我們僅以一組全局指數(shù)穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)為例來說明基于逗留時(shí)間的穩(wěn)定性條件。

12、假設(shè)切換系統(tǒng)（ 1）的各子系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，對于任意的，都存在對應(yīng)的 Lyapunov函數(shù)滿足（ 3）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 4）其中，是正常數(shù)。由（ 3）和（ 4）我們能夠得到，這里，。這樣（）（）當(dāng)， （ ）。下面我們考慮以下兩個(gè)子系統(tǒng)的情況P=1,2， =1， =2，。由以上不等式我們知道（ ）（ ）（）（）（）只要 足夠大，就可以保證，引用多 Lapunov 函數(shù)穩(wěn)定性條件可見，只要切換信號滿足在各個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)的駐留時(shí)間足夠大（其實(shí)只需（），就可以保證切換系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。平均駐留時(shí)間平均駐留時(shí)間是將所考慮的切換信號擴(kuò)充到只要隨著時(shí)間區(qū)段的增長切換次數(shù)不會增加太快的切換信號?；蛘呤蔷€性

13、增長，則 稱為是平均駐留時(shí)間。定理7 對于切換系統(tǒng)（1），如果各子系統(tǒng)都存在連續(xù)可謂的函數(shù)，是兩個(gè)類函數(shù)， 是正常數(shù)，若滿足，則系統(tǒng)（ 1）對于有平均駐留時(shí)間的任意切換信號是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。單 Lyapunov方法單 Lyapunov 函數(shù)作為一種特殊的多Lyapunov 函數(shù)是針對每個(gè)子系統(tǒng)都學(xué)習(xí)好資料歡迎下載不穩(wěn)定提出的 ,一般結(jié)合凸組合技術(shù)來使用。 單 Lyapunov 方法為首先的選用方法。令 V 是切換系統(tǒng)所對應(yīng)的 Lyapunov 函數(shù)，單 Lyapunov 的本質(zhì)可描述為： 1) 當(dāng)?shù)?i 個(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)， V 遞減； 2) 第 i 個(gè)子系統(tǒng)激活時(shí) V 的末端值作為下一個(gè)被激活

14、系統(tǒng)時(shí)V 的初始值。它與多Lyapunov 函數(shù)在整個(gè)空間上都是遞減的。Lyapunov函數(shù)不同的是不要求3 穩(wěn)定的切換信號從應(yīng)用角度看，這方面的內(nèi)容意義最大， 因?yàn)榍袚Q系統(tǒng)的精華在于 “切換”，即設(shè)計(jì)一組切換信號使切換系統(tǒng)在這組切換信號下穩(wěn)定。 這是切換系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容。雖然切換系統(tǒng)是由若干子系統(tǒng)和一組切換信號組成， 但絕不是各個(gè)子系統(tǒng)簡單的疊加，切換信號的作用同樣相當(dāng)重要。其中，線性矩陣不等式方法，凸組合技術(shù)，線性化手段以及完備集概念都被應(yīng)用到此領(lǐng)域中。這部分主要講的是依賴于狀態(tài)的穩(wěn)定， 書中所研究的也主要是線性矩陣， 用到的關(guān)鍵技術(shù)是凸組合。下僅以子系統(tǒng)為 2 的情況說明。定理8若矩陣，存在一個(gè)Hurwitz的凸組合，那么就存在一個(gè)依賴于狀態(tài)的策略使得 的線性切換系統(tǒng)（ 2）二次穩(wěn)定。（它的逆也成立）。現(xiàn)在的切換系統(tǒng)研究也主要集中于研究具有特定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)， 設(shè)計(jì)一組切換信號使系統(tǒng)穩(wěn)定?？v觀近年來的切換系統(tǒng)發(fā)展， 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步和普及應(yīng)用為切換系統(tǒng)實(shí)施控制提供了堅(jiān)實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)和廣闊的發(fā)展前景， 使切換系統(tǒng)的研究受到了國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的進(jìn)一步關(guān)注， 成為當(dāng)今控制與計(jì)算機(jī)科學(xué)