2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練十三雙曲線和拋物線

1、æö æöaa14 個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練(十三)雙曲線和拋物線A 組題型分類練題型一 雙曲線x2 y21在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 1 的離心率為_(kāi)3 6c解析：由已知得，a 3，b 6，則 c a2b23，所以 e 3.a答案： 32 已知雙曲線x2a2y2 1(a>0) 的一條漸近線方程為 20y 2x ，則該雙曲線的焦距為_(kāi)2 5解析：由題意得， 2，所以 a 5，所以 c 5205，所以該雙曲線的焦距為a10.答案：10x2 y23已知雙曲線 1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為 F，離心率為 2.若經(jīng)過(guò) F 和 P(0,4)

2、兩a2 b2點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為_(kāi)解析：由 e 2知，雙曲線為等軸雙曲線，則其漸近線方程為 y±x，故由 P(0,4)，知左焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(4,0)，c2所以 c4，則 a2b2 8.2x2 y2故雙曲線的方程為 1.8 8x2 y2答案： 18 8x2 y24已知 F 是雙曲線 1(a0，b0)的左焦點(diǎn)，E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) Fa2 b2且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A，B 兩點(diǎn)，若ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心 率 e 的取值范圍為_(kāi)b2 b2解析：由題意得 E(a,0)，不妨設(shè) Açc， ÷，B

3、1;c， ÷è ø è ø，顯然ABE 是等腰三角形，b2故當(dāng)ABE 是銳角三角形時(shí)，AEB90°，從而 ac，化簡(jiǎn)得 c2ac2a20，即 e2ae20，解得1e2，又 e1，故 1e2.2P答案：(1,2)x2 y25若雙曲線 1 的左焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P 是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則 PFPA4 12的最小值是_x2 y2解析：由題意知，雙曲線 1 的左焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為4 12B，則 B(4,0)，由雙曲線的定義知，PFPA4PBPA4AB42 2459，當(dāng)且僅當(dāng) A，P，B 三點(diǎn)共線且

4、P 在 A，B 之間時(shí)取等號(hào)答案：9x2 y26F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F 的直線 l 與雙曲線 1 2 a2 b2 1的左、右兩支分別交于 A，B 兩點(diǎn)若ABF 是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為_(kāi)2解析：如圖，由雙曲線定義得， BF BF AF AF 2a，因?yàn)?ABF1 2 2 1 2是正三角形，所以 BF AF AB，因此 AF 2a，AF 4a，且F AF 120°，2 2 1 2 1 21在AF 中，4c24a216a22×2a×4a× 28a2，所以 e 7.1 2答案： 7題型二 拋物線1在平面直角坐標(biāo)系

5、 xOy 中，已知拋物線 y24x 上一點(diǎn) P 到焦點(diǎn)的距離為 3，則點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)是_解析：因?yàn)閽佄锞€方程為 y24x，所以焦點(diǎn) F(1,0)，準(zhǔn)線 l 的方程為 x1，設(shè) PAl，A 為垂足，所以 PFPAx (1)3，所以點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)是 2.答案：22若點(diǎn) P 到直線 y1 的距離比它到點(diǎn) (0,3)的距離小 2，則點(diǎn) P 的軌跡方程是 _解析：由題意可知點(diǎn) P 到直線 y3 的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn) P 的軌跡是 以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以 y3 為準(zhǔn)線的拋物線，且 p6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為 x212y.答案：x212y3一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線 y22x 上的

6、正三角形的面積為_(kāi) 解析：如圖，根據(jù)對(duì)稱性：A，B 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，故AOx30°.直線 OA 的方程 y33x，代入 y22x，得 x26x0，解得 x0 或 x3çx ÷æöæö16.即得 A 的坐標(biāo)為(6,2 3)，所以 AB4 3.故正三角形 OAB 的面積為 ×4 3×612 3.2答案：12 34在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y26x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，P 為拋物線上一點(diǎn)， PAl，A 為垂足若直線 AF 的斜率 k 3，則線段 PF 的長(zhǎng)為_(kāi)解析：拋物線方程為 y26x，&

7、#230;3 ö 3焦點(diǎn) Fç，0÷，準(zhǔn)線 l 的方程為 x .è2 ø 2直線 AF 的斜率為 3，直線 AF 的方程為 y 3 3當(dāng) x 時(shí)，y3 3， 2æ öè 2ø，3由此可得 A 點(diǎn)坐標(biāo)為ç ，3 3÷è 2 ø.9PAl，A 為垂足，P 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 3 3，代入拋物線方程，得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為ç，3 3÷è2 ø，9 æ 3ö PFPA ç ÷2 è 2ø6

8、.答案：65已知拋物線 C：y28x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，P 是 l 上一點(diǎn)，Q 是直線 PF 與 C 的一 個(gè)交點(diǎn)，若 FP 4 FQ ，則 QF_. 解析：如圖，過(guò)點(diǎn) Q 作 QQl 交 l 于點(diǎn) Q，因?yàn)?FP 4 FQ ，所以 PQPF34，又焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的距離為 4，所以 QFQQ3.答案：36.如圖，已知拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 F，過(guò)點(diǎn)(0,3)的直線與拋物線交于 A，B 兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) D，若 AFBF6，則點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為_(kāi)解析：由題意知，拋物線y24x 的焦點(diǎn)為 F(1,0)，準(zhǔn)線為 x1，如圖，設(shè) AB 的中點(diǎn)為 H，A，

9、B，H 在準(zhǔn)線上的射影分別為 A，B，H， 連結(jié) AA，BB，HH，1則 HH (AABB)由拋物線的定義可得，AFAA，BF 21BB，又 AFBF6，所以 AABB6，HH ×63，故點(diǎn)23aaH 的橫坐標(biāo)為 2.設(shè) A(x ，y )，B(x ，y )，直線 AB 的方程為 ykx3(k0)，代入拋物線的1 1 2 21方程，可得 k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，解得 k 且 k0，又 x x1 246k 1 4，所以 k2 或 k (舍去)，則直線 AB 的方程為 y2x3，AB 的中點(diǎn)為 H(2， k2 211)，AB 的垂直平分線的方程為 y1 (x2)，

10、令 y0，得 x4，故點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 4.2答案：4B 組高考提速練x2 y21若拋物線 y28x 的焦點(diǎn)恰好是雙曲線 1(a>0)的右焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的值為a2 3_x2 y2解析：拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為(2,0)，雙曲線 1(a>0)的右焦點(diǎn)為( a2a2 33，0)，由題意得， a232，解得 a1.答案：1y22若雙曲線 x2 1 的離心率為 3，則實(shí)數(shù) m_.m解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知 a21，b2m，所以 a1，c 1m，所以 e 3，解得 m2.1m1答案：2x2 y23已知直線 2x 3y0 為雙曲線 1(a>0，b>0)的一條漸近線，則該

11、雙曲線的a2 b2離心率為_(kāi)b解析：由題意得， 23，可設(shè) a 3k，b2k，則 c a2b2 7k，所以離心率 ec 213.答案：2134拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線截圓 x2y22y10 所得的弦長(zhǎng)為 2，則p_.p解析：拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為 x ，而圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2(y1)22p æpö2，圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為 2，圓心到準(zhǔn)線的距離為 ，所以ç÷21( 2)2，解得 p2 è2ø2.1 2a答案：25已知 F 是拋物線 C：y28x 的焦點(diǎn)，M 是 C 上一點(diǎn)，F(xiàn)M 的延長(zhǎng)線交 y 軸于點(diǎn)

12、N.若 M 為 FN 的中點(diǎn)，則 FN_.解析：依題意，拋物線 C：y28x 的焦點(diǎn) F(2,0)，因?yàn)?M 是 C 上一點(diǎn)，F(xiàn)M 的延長(zhǎng)線交 y軸于點(diǎn) N，M 為 FN 的中點(diǎn)，設(shè) M(a，b)(b>0)，所以 a1，b2 2，所以 N(0,4 2)，|FN| 4326.答案：6x26已知雙曲線 C： y231 與直線 l：xky40，若直線 l 與雙曲線 C 的一條漸近線平行，則雙曲線 C 的右焦點(diǎn)到直線 l 的距離是_x2 3解析：由題意得，雙曲線 C： y21 的右焦點(diǎn) F(2,0)，其漸近線方程為 y± x，3 3又直線 l：xky40 與雙曲線 C 的一條漸近線平行

13、，所以 k± 3，所以直線 l 的方程|24|為 x± 3y40，所以雙曲線 C 的右焦點(diǎn)到直線 l 的距離 d 3.2答案：3x2 y27.如圖所示，F(xiàn) ，F(xiàn) 是雙曲線 1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以1 2 a2 b2坐標(biāo)原點(diǎn) O 為圓心，OF 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A，1B，且AB 是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)2解析：連結(jié) AF ，依題意得 AF AF ，AF F 30°，AF c，AF1 1 2 2 1 1 2F F 2c 3c，因此該雙曲線的離心率 e 31.AF2AF1 3cc答案： 31x2 y28已知雙曲線 C： 1(a&g

14、t;0，b>0)的一條漸近線方程為 ya2 b21 有公共焦點(diǎn)，則 C 的方程為_(kāi)5 x2 y2x，且與橢圓 2 12 3解析：根據(jù)雙曲線 C 的漸近線方程為 y52x，b可知 52.x2 y2又橢圓 1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)， 12 3所以 a2b29.根據(jù)可知 a24，b25，82 2ïïîa 9ba3aìa 3a2 2ïx2 y2所以 C 的方程為 1.4 5x2 y2答案： 14 5x2 y29對(duì)于給定的雙曲線 C： 1(a0，b0)，稱圓心是雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線a2 b2只有一個(gè)公共點(diǎn)的圓是雙曲線 C 的“焦點(diǎn)圓

15、”若雙曲線 C 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F (5,0)，且經(jīng)過(guò)1æ ö 點(diǎn)ç 13， ÷è 3ø，則圓心為 F 的“焦點(diǎn)圓”的方程是_1ìab 25，解析：由條件得í13 64 1，2 2ìïa3， 解得íïîb4，x2 y2故雙曲線的方程為 1，右頂9 16點(diǎn)為(3,0)，根據(jù)新定義可知，所求圓的半徑 r2，從而所求“焦點(diǎn)圓”的方程為(x5)2 y24.答案：(x5)2y2410已知 F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 3x2y23a2(a0)的左、右焦點(diǎn)，P 是拋物線 y28ax1

16、2與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若 PF PF 12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)1 2x2 y2解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 1，2 2其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2a,0)，(2a,0)與拋物線的焦點(diǎn)重合，x2 y2ï 1，聯(lián)立拋物線與雙曲線方程得í x3a，îy28axìïPF1PF212， 而由íïîPF1PF22a PF 6a， 2PF 3a2a6a，得 a1，2拋物線的方程為 y28x，其準(zhǔn)線方程為 x2.答案：x211已知 F 為拋物線 C：y24x 的焦點(diǎn)，過(guò) F 作兩條互相垂直的直線 l ，l ，直線 l 與1

17、 2 1C 交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l 與 C 交于 D，E 兩點(diǎn)，則 ABDE 的最小值為_(kāi)2解析：拋物線 C：y24x 的焦點(diǎn)為 F(1,0)，由題意可知 l ，l 的斜率存在且不為 0.1 2不妨設(shè)直線 l 的斜率為 k，11則 l ：yk(x1)，l ：y (x1)，1 2 kæö2k212 1 2AFO118ìïy24x， 由íïîyk x消去 y，得 k2x2(2k24)xk20，設(shè) A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 22k24 4x x 2 ， 1 2 k2 k2由拋物線的定義可知，4 4|AB

18、|x x 22 24 .1 2 k2 k2 同理得|DE|44k2，4|AB|DE|4 44k2k2184ç k ÷ è ø8816，1當(dāng)且僅當(dāng) k2，即 k±1 時(shí)取等號(hào)，k2故|AB|DE|的最小值為 16.答案：16 12已知 F 為拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) A，B 在該拋物線上且位于 x 軸的兩側(cè)，OA · OB 2(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO 與AFO 面積之和的最小值是_解析：設(shè)直線 AB 的方程為 xnym，且與 x 軸的交點(diǎn)為 M(如圖)，A(x ，y )，B(x ，y )(y 0，y 0)，1 1 2 2 1

19、 2 OA · OB 2，x x y y 2.1 2 1 2又 y2x ，y2x ，y y 2.1 1 2 2 1 2ìïy2x， 聯(lián)立íïîxnym，得 y2nym0，y y m2，m2，即點(diǎn) M(2,0) 1 2又 ABO AMO BMO1 1 ·OM·|y | ·OM·|y |y y ， 2 21 1 OF·|y | y ，2 81 y y yABO AFO 1 2 19 2 y 28 1 y19 2y · 3， 8 1 y11a2ï1 12 2ïîa bïb æ 3 öa4當(dāng)且僅當(dāng) y 時(shí)，等號(hào)成立3答案：3x2 y213.如圖，已知點(diǎn) P 在以 F ，F(xiàn) 為焦點(diǎn)的雙曲線 1(a0，b1 2 a2 b20)上，過(guò) P 作 y 軸的垂線，垂足為 Q，若四邊形 F F PQ 為菱形，則該1 2雙曲線的離心率為_(kāi)解析：由題意知四邊形 F F PQ 的邊長(zhǎng)為 2c，連結(jié) QF ，由對(duì)稱性可1 2 2知，QF QF 2c，則三角形 QPF 為等邊三