2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(湖北卷)

1、1 / 16 2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖北湖北卷卷) 數(shù)學(xué)(理工類(lèi)) 本試題卷共 6 頁(yè),22 題.其中第 15、16 題為選考題.全卷滿(mǎn)分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘. 注意事項(xiàng): 1.答卷前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.用 2b 鉛筆將答題卡上試卷類(lèi)型 a 后的方框涂黑. 2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用 2b 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效. 3.填空題和解答題的作答:用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).

2、寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效. 4.選考題的作答:先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用 2b 鉛筆涂黑,再在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效. 5.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交. 一、選擇題:本大題共 10小題,每小題 5分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2015 湖北,理 1)i 為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)為( ) a.i b.-i c.1 d.-1 答案:a 解析:i607=i1514+3=i3=-i,i607的共軛復(fù)數(shù)為 i. 2.(2015 湖北,理 2)我國(guó)古

3、代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米 1 534 石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒,則這批米內(nèi)夾谷約為( ) a.134 石 b.169 石 c.338 石 d.1 365 石 答案:b 解析:由條件知 254 粒內(nèi)夾谷 28 粒,可估計(jì)米內(nèi)夾谷的概率為28254=14127,所以 1 534 石米中夾谷約為141271 534169(石). 3.(2015 湖北,理 3)已知(1+x)n的展開(kāi)式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ) a.212 b.211 c.210 d.29 答案:d 解析:由條件知

4、c3= c7,n=10. (1+x)10中二項(xiàng)式系數(shù)和為 210,其中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 210-1=29. 2 / 16 4.(2015 湖北,理 4)設(shè) xn(1,12),yn(2,22),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示,下列結(jié)論中正確的是( ) a.p(y2)p(y1) b.p(x2)p(x1) c.對(duì)任意正數(shù) t,p(xt)p(yt) d.對(duì)任意正數(shù) t,p(xt)p(yt) 答案:c 解析:由曲線 x的對(duì)稱(chēng)軸為 x=1,曲線 y 的對(duì)稱(chēng)軸為 x=2,可知 21. p(y2)p(y1),故 a 錯(cuò); 由圖象知 1p(x1),故 b 錯(cuò); 對(duì)任意正數(shù) t,由題中圖象知,p(xt)p(

5、yt),故 c 正確,d 錯(cuò). 5.(2015 湖北,理 5)設(shè) a1,a2,anr,n3,若 p:a1,a2,an成等比數(shù)列: q:(12+ 22+12)(22+ 32+2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,則( ) a.p 是 q 的充分條件,但不是 q的必要條件 b.p 是 q 的必要條件,但不是 q的充分條件 c.p 是 q 的充分必要條件 d.p 既不是 q 的充分條件,也不是 q 的必要條件 答案:a 解析:p:a1,a2,an成等比數(shù)列,設(shè)公比為 t, (12+ 22+12)(22+ 32+2)=12(1+t2+t4+t2n-4) 12t2(1+t2+t4+t2n-4)=

6、14t2(1+t2+t4+t2n-4)2, (a1a2+a2a3+an-1an)2=12t(1+t2+t4+t2n-4)2 =14t2(1+t2+t4+t2n-4)2. q 成立.故 pq. 當(dāng) an=0 時(shí),q 成立,而 p 不成立. qp.故 p 是 q 的充分不必要條件. 6.(2015 湖北,理 6)已知符號(hào)函數(shù) sgn x=1, 0,0, = 0,1, 1),則( ) 3 / 16 a.sgng(x)=sgn x b.sgng(x)=-sgn x c.sgng(x)=sgnf(x) d.sgng(x)=-sgnf(x) 答案:b 解析:f(x)是 r 上的增函數(shù),g(x)=f(x)-

7、f(ax)(a1), 當(dāng) x0 時(shí),xax,g(x)0. sgng(x)=-1; 當(dāng) x=0 時(shí),x=ax,g(x)=0. sgng(x)=0; 當(dāng) xax,g(x)0. sgng(x)=1. sgng(x)=-sgn x.故選 b. 7.(2015 湖北,理 7)在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) x,y,記 p1為事件“x+y12”的概率,p2為事件“|x-y|12”的概率,p3為事件“xy12”的概率,則( ) a.p1p2p3 b.p2p3p1 c.p3p1p2 d.p3p20, p3-p1=ln2 38=ln2-ln 38=ln16380, p2p30)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到離心率為 e2的雙曲線

8、 c2,則( ) a.對(duì)任意的 a,b,e1e2 b.當(dāng) ab 時(shí),e1e2;當(dāng) ab 時(shí),e1e2 c.對(duì)任意的 a,b,e1b 時(shí),e1e2;當(dāng) ae2 答案:d 解析:由條件知12=22=1+22,22=1+(+)2, 當(dāng) ab 時(shí),+,12 22.e1e2. 當(dāng) ab 時(shí),+ 22.e1e2. 所以,當(dāng) ab 時(shí),e1e2;當(dāng) ae2. 9.(2015 湖北,理 9)已知集合 a=(x,y)|x2+y21,x,yz,b=(x,y)|x|2,|y|2,x,yz,定義集合ab=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)a,(x2,y2)b,則 ab中元素的個(gè)數(shù)為( ) a.77 b.49

9、c.45 d.30 答案:c 解析:a=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0). 如圖,b中元素共 25 個(gè). 5 / 16 (1)當(dāng) x1=y1=0 時(shí),ab=b,共有 25 個(gè)元素. (2)當(dāng) x1=0,y1=-1 時(shí),ab 中的元素為(x2,y2-1),其中不在 b中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共 5 個(gè). (3)當(dāng) x1=0,y1=1 時(shí),ab 中的元素為(x2,y2+1),其中不在 b中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共 5 個(gè). (4)當(dāng) x1=-1,y1=0 時(shí),ab

10、 中的元素為(x2-1,y2),其中不在 b中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共 5 個(gè). (5)當(dāng) x1=1,y1=0 時(shí),ab 中的元素為(x2+1,y2),其中不在 b中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共 5 個(gè). 綜上,ab中的元素共有 25+54=45(個(gè)). 10.(2015 湖北,理 10)設(shè) xr,x表示不超過(guò) x 的最大整數(shù),若存在實(shí)數(shù) t,使得t=1,t2=2,tn=n 同時(shí)成立,則正整數(shù) n 的最大值是( ) a.3 b.4 c.5 d.6 答案:b 解析:tn=n,ntnn+1,即1t

11、(n+1)1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 n 的最大值,使 k 取 1 到 n 時(shí),不等式1t(k+1)1均成立,即lnln tln(+1),構(gòu)造函數(shù) f(x)=ln,則 f(x)=1ln2,當(dāng) 0 x0,當(dāng) xe 時(shí),f(x)0,且 f(2)=ln22 313成立;當(dāng) n=4 時(shí),514=12511281112= 313成立;當(dāng) n=5 時(shí),615=(63)115=216115,而313=(35)115=243115,(n+1)1 313不成立.所以正整數(shù) n 的最大值為 4. 二、填空題:本大題共 6 小題,考生需作答 5 小題,每小題 5分,共 25 分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.答錯(cuò)位置.

12、書(shū)寫(xiě)不清,模棱兩可均不得分. (一)必考題(11-14 題) 11.(2015 湖北,理 11)已知向量 ,| |=3,則 = . 答案:9 解析: = ( + )=| |2+ . 又 ,| |=3. =9. 12.(2015 湖北,理 12)函數(shù) f(x)=4cos22cos(2 )-2sin x-|ln(x+1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 答案:2 解析:令 f(x)=41+cos2 sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即 sin 2x=|ln(x+1)|, 在同一坐標(biāo)系作出 y=sin 2x 與 y=|ln(x+1)|的圖象. 由圖象知共 2 個(gè)交

13、點(diǎn),故 f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2. 6 / 16 13.(2015 湖北,理 13)如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛,到 a處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂 d 在西偏北30 的方向上,行駛 600 m 后到達(dá) b處,測(cè)得此山頂在西偏北 75 的方向上,仰角為 30 ,則此山的高度 cd= m. 答案:1006 解析:在abc 中,bac=30 ,abc=180 -75 =105 ,bca=45 . ab=600,由正弦定理得sin=sin, 解得 bc=3002(m). 在 rtbcd 中,cbd=30 ,dcb=90 , cd=bc tan 30 =3002 33=1006(m). 14.

14、(2015 湖北,理 14)如圖,圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t(1,0),與 y 軸正半軸交于兩點(diǎn) a,b(b在 a的上方),且|ab|=2. (1)圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ; (2)過(guò)點(diǎn) a任作一條直線與圓 o:x2+y2=1 相交于 m,n 兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論: |=|;|=2;|+|=22. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2 (2) 解析:(1)由題意可設(shè)圓心 c 坐標(biāo)為(1,b),再取 ab中點(diǎn)為 p,連接 cp,cb, 則bpc 為直角三角形,得|bc|=r=2=b, 故圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=2.

15、 (2)由(1)知圓 c 的方程為(x-1)2+(y-2)2=2, 令 x=0,得 y1=2-1 或 y2=2+1, 所以 a(0,2-1),b(0,2+1). 設(shè) m(cos ,sin ), 則|mb|2=cos2+(sin -2-1)2 7 / 16 =4+22-2(2+1)sin , |ma|2=cos2+sin -(2-1)2 =4-22-2(2-1)sin . |2|2=4+222(2+1)sin4222(21)sin =2+2(2+1)sin22(21)sin =(2+1)(2sin)(21)(2sin) =2+121=3+22. |=1+2. 同理|=1+2. |=|,即成立.

16、又|=1+2 11+2=1+2-(2-1)=2,也成立. 又|+|=1+2 +11+2=22,也成立. 綜上所述,都正確. (二)選考題(請(qǐng)考生在第 15、16 兩題中任選一題作答,請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2b 鉛筆涂黑.如果全選,則按第 15 題作答結(jié)果計(jì)分.) 15.(2015 湖北,理 15)(選修 41:幾何證明選講)如圖,pa是圓的切線,a為切點(diǎn),pbc 是圓的割線,且 bc=3pb,則= . 答案:12 解析:由題意易知pbapac, 則得=. 又 pa2=pb pc,bc=3pb, 所以 pa2=4pb2,即 pa=2pb, 故=12. 8 / 16 16

17、.(2015 湖北,理 16)(選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系 xoy 中,以 o 為極點(diǎn),x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 (sin -3cos )=0,曲線 c 的參數(shù)方程為 = 1, = +1(t 為參數(shù)),l 與 c 相交于 a,b兩點(diǎn),則|ab|= . 答案:25 解析:由題意知直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 y=3x, 曲線 c 的普通方程為 y2-x2=4. 由 = 3,2 2= 4,得 x=22, 由弦長(zhǎng)公式得|ab|=10 2=25. 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿(mǎn)分

18、 11 分)(2015 湖北,理 17)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù) f(x)=asin(x+)( 0,| 0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到 y=g(x)的圖象,若 y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(512,0),求 的最小值. 解:(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得 a=5,=2,=-6. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表: x+ 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 asin(x+) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)表達(dá)式為 f(x)=5sin(2 6). (2)由(1)知 f(x)=5sin(2 6), 得 g(x)=5sin(2 + 2 6). 因?yàn)?y=sin x 的對(duì)稱(chēng)中心為(k,0),kz. 9 / 16

19、 令 2x+2-6=k,解得 x=2+12-,kz. 由于函數(shù) y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(512,0)成中心對(duì)稱(chēng),令2+12-=512,解得 =23,kz. 由 0 可知,當(dāng) k=1 時(shí), 取得最小值6. 18.(本小題滿(mǎn)分 12 分)(2015 湖北,理 18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,前 n 項(xiàng)和為 sn,等比數(shù)列bn的公比為 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,s10=100. (1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式; (2)當(dāng) d1 時(shí),記 cn=,求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 tn. 解:(1)由題意有,101+ 45 = 100,1 = 2,即21+ 9 = 20,1 = 2, 解得1

20、= 1, = 2,或1= 9, =29. 故= 2 1,= 21,或=19(2 + 79),= 9 (29)1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn=2121, 于是 tn=1+32+522+723+924+2121, 12tn=12+322+523+724+925+212. -可得 12tn=2+12+122+122212=3-2+32, 故 tn=6-2+321. 19.(本小題滿(mǎn)分 12 分)(2015 湖北,理 19)九章算術(shù)中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑. 如圖,在陽(yáng)馬 p-abcd 中,

21、側(cè)棱 pd底面 abcd,且 pd=cd,過(guò)棱 pc 的中點(diǎn) e,作 efpb,交 pb于點(diǎn) f,連接de,df,bd,be. (1)證明:pb平面 def,試判斷四面體 dbef 是否為鱉臑.若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由; (2)若面 def與面 abcd 所成二面角的大小為3,求的值. 解法 1:(1)因?yàn)?pd底面 abcd,所以 pdbc. 10 / 16 由底面 abcd 為長(zhǎng)方形,有 bccd,而 pdcd=d, 所以 bc平面 pcd. 而 de平面 pcd,所以 bcde. 又因?yàn)?pd=cd,點(diǎn) e是 pc 的中點(diǎn),所以 depc. 而 pcbc

22、=c,所以 de平面 pbc. 而 pb平面 pbc,所以 pbde. 又 pbef,deef=e, 所以 pb平面 def. 由 de平面 pbc,pb平面 def, 可知四面體 bdef的四個(gè)面都是直角三角形, 即四面體 bdef是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為deb,def,efb,dfb. 圖 1 (2)如圖 1,在面 pbc 內(nèi),延長(zhǎng) bc 與 fe交于點(diǎn) g, 則 dg 是平面 def 與平面 abcd 的交線. 由(1)知,pb平面 def,所以 pbdg. 又因?yàn)?pd底面 abcd,所以 pddg. 而 pdpb=p,所以 dg平面 pbd. 故bdf是面 def與面 abc

23、d 所成二面角的平面角, 設(shè) pd=dc=1,bc=,有 bd=1 + 2, 在 rtpdb中,由 dfpb,得dpf=fdb=3, 則 tan3=tandpf= 1 + 2= 3,解得 =2. 所以=1=22. 故當(dāng)面 def與面 abcd 所成二面角的大小為3時(shí),=22. 解法 2:(1)如圖 2,以 d 為原點(diǎn),射線 da,dc,dp分別為 x,y,z 軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 11 / 16 圖 2 設(shè) pd=dc=1,bc=, 則 d(0,0,0),p(0,0,1),b(,1,0),c(0,1,0), =(,1,-1), 點(diǎn) e是 pc 的中點(diǎn),所以 e(0,12,12),

24、= (0,12,12), 于是 =0,即 pbde. 又已知 efpb,而 deef=e, 所以 pb平面 def. 因 =(0,1,-1), =0, 則 depc.所以 de平面 pbc. 由 de平面 pbc,pb平面 def, 可知四面體 bdef的四個(gè)面都是直角三角形, 即四面體 bdef是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為deb,def,efb,dfb. (2)由 pd平面 abcd,所以 =(0,0,1)是平面 abcd 的一個(gè)法向量; 由(1)知,pb平面 def,所以 =(-,-1,1)是平面 def的一個(gè)法向量. 若面 def與面 abcd 所成二面角的大小為3, 則 cos3=

25、 | | | | = |12+2| =12, 解得 =2,所以=1=22. 故當(dāng)面 def與面 abcd 所成二面角的大小為3時(shí),=22. 20.(本小題滿(mǎn)分 12 分)(2015 湖北,理 20)某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn) a,b兩種奶制品,生產(chǎn) 1 噸 a產(chǎn)品需鮮牛奶 2 噸,使用設(shè)備 1 小時(shí),獲利 1 000 元;生產(chǎn) 1 噸 b產(chǎn)品需鮮牛奶 1.5 噸,使用設(shè)備 1.5小時(shí),獲利 1 200 元,要求每天 b產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò) a 產(chǎn)品產(chǎn)量的 2 倍,設(shè)備每天生產(chǎn) a,b兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò) 12 小時(shí),假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量 w(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為 w 12

26、 15 18 p 0.3 0.5 0.2 12 / 16 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利 z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量. (1)求 z 的分布列和均值; (2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求 3 天中至少有 1 天的最大獲利超過(guò) 10 000 元的概率. 解:(1)設(shè)每天 a,b兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為 x,y,相應(yīng)的獲利為 z, 則有2 + 1.5 , + 1.5 12,2 0, 0, 0. (1) 目標(biāo)函數(shù)為 z=1 000 x+1 200y. 圖 1 當(dāng) w=12 時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖 1,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(0,0),b(2.4,4

27、.8),c(6,0). 將 z=1 000 x+1 200y 變形為 y=-56x+1 200, 當(dāng) x=2.4,y=4.8 時(shí),直線 l:y=-56x+1 200在 y 軸上的截距最大, 最大獲利 z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 圖 2 當(dāng) w=15 時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖 2,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(0,0),b(3,6),c(7.5,0). 將 z=1 000 x+1 200y 變形為 y=-56x+1 200, 當(dāng) x=3,y=6 時(shí),直線 l:y=-56x+1 200在 y 軸上的截距最大, 最大獲利 z=zmax=31 000+61 200=10

28、200. 圖 3 當(dāng) w=18 時(shí),(1)表示的平面區(qū)域如圖 3. 13 / 16 四個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(0,0),b(3,6),c(6,4),d(9,0). 將 z=1 000 x+1 200y 變形為 y=-56x+1 200, 當(dāng) x=6,y=4 時(shí),直線 l:y=-56x+1 200在 y 軸上的截距最大, 最大獲利 z=zmax=61 000+41 200=10 800. 故最大獲利 z 的分布列為 z 8 160 10 200 10 800 p 0.3 0.5 0.2 因此,e(z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大獲

29、利超過(guò) 10 000 元的概率 p1=p(z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二項(xiàng)分布,3 天中至少有 1 天最大獲利超過(guò) 10 000 元的概率為 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 21.(本小題滿(mǎn)分 14 分)(2015 湖北,理 21)一種作圖工具如圖 1 所示.o 是滑槽 ab的中點(diǎn),短桿 on 可繞 o 轉(zhuǎn)動(dòng).長(zhǎng)桿 mn 通過(guò) n 處鉸鏈與 on 連接,mn 上的栓子 d 可沿滑槽 ab滑動(dòng),且 dn=on=1,mn=3.當(dāng)栓子 d 在滑槽 ab內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)n 繞 o 轉(zhuǎn)動(dòng)一周(d 不動(dòng)時(shí),n 也不動(dòng)),m 處的筆尖畫(huà)出的曲線記為 c,以 o 為原

30、點(diǎn),ab所在的直線為 x 軸建立如圖 2 所示的平面直角坐標(biāo)系. 圖 1 圖 2 (1)求曲線 c 的方程; (2)設(shè)動(dòng)直線 l 與兩定直線 l1:x-2y=0 和 l2:x+2y=0 分別交于 p,q 兩點(diǎn),若直線 l 總與曲線 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:opq 的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)點(diǎn) d(t,0)(|t|2),n(x0,y0),m(x,y), 依題意, =2 ,且| |=| |=1, 14 / 16 所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(0 )2+ 02= 1,02+ 02= 1. 即 = 20 2, = 20,且

31、t(t-2x0)=0. 由于當(dāng)點(diǎn) d 不動(dòng)時(shí),點(diǎn) n 也不動(dòng),所以 t 不恒等于 0, 于是 t=2x0,故 x0=4,y0=-2,代入02+ 02=1,可得216+24=1, 即所求的曲線 c 的方程為216+24=1. (2)()當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí),直線 l 為 x=4 或 x=-4,都有 sopq=1244=8. ()當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí),設(shè)直線 l:y=kx+m( 12), 由 = + ,2+ 42= 16,消去 y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0. 因?yàn)橹本€ l 總與橢圓 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 所以 =64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即 m2=16k2+4. 又由 = + , 2 = 0,可得 p(212,12); 同理可得 q(21+2,1+2). 由原點(diǎn) o 到直線 pq 的距離為 d=|1+2和|pq|=1 + 2|xp-xq|, 可得 sopq=12|pq| d=12|m|xp-xq| =12 |m|212+21+2| = |22142|. 將代入得,sopq=|22142|=8|42+1|421|. 當(dāng) k214時(shí),sopq=8(42+1421)=8(1 +2421)8; 當(dāng) 0k214時(shí),sopq=8(42+1142) =8(1 +2142). 因 0