2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(天津卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津文科數(shù)學(xué)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第卷1至2頁(yè),第卷3至5頁(yè).答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上,答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng):1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件a,b互斥,那么p(ab)=p(a)+p(b).柱體的體積公式v

2、=sh,其中s表示柱體的底面面積,h表示柱體的高.錐體的體積公式v=13sh,其中s表示錐體的底面面積,h表示錐體的高.一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015天津,文1)已知全集u=1,2,3,4,5,6,集合a=2,3,5,集合b=1,3,4,6,則集合aub=()a.3b.2,5c.1,4,6d.2,3,5答案:b解析:ub=2,5,a=2,3,5,aub=2,5.故選b.2.(2015天津,文2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x-20,x-2y0,x+2y-80,則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為()a.7b.8c.9d.14答案:c解析:畫(huà)出題中約束條件

3、滿足的可行域,如圖中陰影所示.目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可化為y=-3x+z,平移目標(biāo)函數(shù)線當(dāng)其過(guò)點(diǎn)a時(shí),z取最大值.由x=2,x+2y-8=0得x=2,y=3.所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2,3),zmax=3×2+3=9.3.(2015天津,文3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出i的值為()a.2b.3c.4d.5答案:c解析:第一次循環(huán),得i=1,s=9,不滿足s1,進(jìn)入循環(huán)體;第二次循環(huán),得i=2,s=7,不滿足s1,進(jìn)入循環(huán)體;第三次循環(huán),得i=3,s=4,不滿足s1,進(jìn)入循環(huán)體;第四次循環(huán),得i=4,s=0,滿足s1,終止循環(huán),輸出i=4.4.(2015天津,文4)設(shè)xr,則“

4、1<x<2”是“|x-2|<1”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:由|x-2|<1解得1<x<3.因?yàn)椤?<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要條件.5.(2015天津,文5)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為()a.x29-y213=

5、1b.x213-y29=1c.x23-y2=1d.x2-y23=1答案:d解析:由題意知,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax.因?yàn)樵撾p曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,解得b2=3a2.又因?yàn)閏2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求雙曲線的方程為x2-y23=1.6.(2015天津,文6)如圖,在圓o中,m,n是弦ab的三等分點(diǎn),弦cd,ce分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)m,n.若cm=2,md=4,cn=3,則線段ne的長(zhǎng)為()a.83b.3c.103d.52答案:a解析:由相交弦定理,得cm·

6、md=am·mb,cn·ne=an·nb.因?yàn)閙,n是弦ab的三等分點(diǎn),所以am=mn=nb,mb=an.所以am·mb=an·nb.所以cm·md=cn·ne,即2×4=3·ne,解得ne=83.7.(2015天津,文7)已知定義在r上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()a.a<b<cb.c<a<bc.a<c<bd.c<b<a答案:b解析:f(-

7、x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)為偶函數(shù),2|x+m|-1=2|x-m|-1對(duì)任意的xr恒成立,解得m=0.f(x)=2|x|-1,且f(x)在0,+)上為增函數(shù).a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.8.(2015天津,文8)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a.2b.3c.4d.5答案:a

8、解析:因?yàn)閒(x)=2+x,x<0,2-x,0x2,(x-2)2,x>2,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),02-x2,(2-x-2)2,2-x>2x2,x<0,x,0x2,4-x,x>2,f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0x2,x2-5x+8,x>2,所以函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0x2,x2-5x+5,x>2.其圖象如圖所示.顯然函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).第卷注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題

9、卡上.2.本卷共12小題,共110分.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2015天津,文9)i是虛數(shù)單位,計(jì)算1-2i2+i的結(jié)果為. 答案:-i解析:1-2i2+i=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=2-i-4i-25=-5i5=-i.10.(2015天津,文10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3. 答案:83解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)組合體,左、右兩邊是兩個(gè)相同的圓錐,底面半徑為1,高為1;中間是一個(gè)圓柱,底面半徑為1,高為2,所以該幾何體的體積v=2×13××12

10、15;1+×12×2=23+2=83.11.(2015天津,文11)已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實(shí)數(shù),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f'(1)=3,則a的值為. 答案:3解析:因?yàn)閒(x)=axln x,所以f'(x)=aln x+ax·1x=a(ln x+1).由f'(1)=3得a(ln 1+1)=3,所以a=3.12.(2015天津,文12)已知a>0,b>0,ab=8,則當(dāng)a的值為時(shí),log2a·log2(2b)取得最大值. 答案:4解析:由題意知log2a

11、·log2(2b)log2a+log2(2b)22=log2(2ab)22=log21622=4,當(dāng)且僅當(dāng)log2a=log2(2b),即a=2b時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)閍b=8,且a>0,所以a=4.13.(2015天津,文13)在等腰梯形abcd中,已知abdc,ab=2,bc=1,abc=60°.點(diǎn)e和f分別在線段bc和dc上,且be=23bc,df=16dc,則ae·af的值為. 答案:2918解析:由平面幾何知識(shí)可求得cd=1.由be=23bc,df=16dc,得ae·af=(ab+be)·(ad+df)=ab+23bc&#

12、183;ad+16dc=ab+23bc·ad+112ab=ab·ad+112ab2+23bc·ad+118bc·ab=|ab|·|ad|cos 60°+112×22+23|bc|·|ad|cos 60°+118|bc|·|ab|cos 120°=2×1×12+13+23×1×1×12-118×1×2×12=53-118=2918.14.(2015天津,文14)已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x(>

13、;0),xr.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則的值為. 答案:2解析:f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,由2k-2x+42k+2,kz,解得2k-34x2k+4,kz,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是2k-34,2k+4(kz),而f(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,所以2k-34-(kz),2k+4(kz),解得2-2k+34(kz),22k+4(kz).因?yàn)?>0,所以只能取k=0,這時(shí)有0<24.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以2+4=k+2(kz),即2=k+4(kz).由知2=4.故=2.

14、三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)(2015天津,文15)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為a1,a2,a3,a4,a5,a6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽.用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;設(shè)a為事件“編號(hào)為a5和a6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件a發(fā)生的概率.解:(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2

15、.(2)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,a6,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6,共15種.編號(hào)為a5和a6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為a1,a5,a1,a6,a2,a5,a2,a6,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6,共9種.因此,事件a發(fā)生的概率p(a)=915=35.16.(本小題滿分13分)(2015天津,文16)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知abc的面積為31

16、5,b-c=2,cos a=-14.(1)求a和sin c的值;(2)求cos2a+6的值.解:(1)在abc中,由cos a=-14,可得sin a=154.由sabc=12bcsin a=315,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos a,可得a=8.由asina=csinc,得sin c=158.(2)cos2a+6=cos 2a·cos6-sin 2a·sin6=32(2cos2a-1)-12×2sin a·cos a=15-7316.17.(本小題滿分13分)(2015天津,文17)如圖,已知aa1平

17、面abc,bb1aa1,ab=ac=3,bc=25,aa1=7,bb1=27,點(diǎn)e和f分別為bc和a1c的中點(diǎn).(1)求證:ef平面a1b1ba;(2)求證:平面aea1平面bcb1;(3)求直線a1b1與平面bcb1所成角的大小.(1)證明:如圖,連接a1b.在a1bc中,因?yàn)閑和f分別是bc和a1c的中點(diǎn),所以efba1.又因?yàn)閑f平面a1b1ba,所以ef平面a1b1ba.(2)證明:因?yàn)閍b=ac,e為bc中點(diǎn),所以aebc.因?yàn)閍a1平面abc,bb1aa1,所以bb1平面abc,從而bb1ae.又因?yàn)閎cbb1=b,所以ae平面bcb1,又因?yàn)閍e平面aea1,所以平面aea1平面

18、bcb1.(3)解:取bb1的中點(diǎn)m和b1c的中點(diǎn)n,連接a1m,a1n,ne.因?yàn)閚和e分別為b1c和bc的中點(diǎn),所以neb1b,ne=12b1b.故nea1a,且ne=a1a.所以a1nae,且a1n=ae.又因?yàn)閍e平面bcb1,所以a1n平面bcb1,從而a1b1n為直線a1b1與平面bcb1所成的角.在abc中,可得ae=2,所以a1n=ae=2.因?yàn)閎maa1,bm=aa1,所以a1mab,a1m=ab,又由abbb1,有a1mbb1.在rta1mb1中,可得a1b1=b1m2+a1m2=4.在rta1nb1中,sina1b1n=a1na1b1=12,因此a1b1n=30°

19、;.所以,直線a1b1與平面bcb1所成的角為30°.18.(本小題滿分13分)(2015天津,文18)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,bn是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=anbn,nn*,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn的公差為d,由題意q>0.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因?yàn)閝>0,解得q=2,所以d=2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,nn*;數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1,nn*.(2)

20、由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為sn,則sn=1×20+3×21+5×22+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2sn=1×21+3×22+5×23+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述兩式相減,得-sn=1+22+23+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,sn=(2n-3)·2n+3,nn*.19.(本小題滿分14分)(2015天津,文19

21、)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為b,左焦點(diǎn)為f,離心率為55.(1)求直線bf的斜率;(2)設(shè)直線bf與橢圓交于點(diǎn)p(p異于點(diǎn)b),過(guò)點(diǎn)b且垂直于bp的直線與橢圓交于點(diǎn)q(q異于點(diǎn)b),直線pq與y軸交于點(diǎn)m,|pm|=|mq|.求的值;若|pm|sinbqp=759,求橢圓的方程.解:(1)設(shè)f(-c,0).由已知離心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因?yàn)閎(0,b),f(-c,0),故直線bf的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)設(shè)點(diǎn)p(xp,yp),q(xq,yq),m(xm,ym).由(1)可得橢圓的方程為x25c2

22、+y24c2=1,直線bf的方程為y=2x+2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xp=-5c3.因?yàn)閎qbp,所以直線bq的方程為y=-12x+2c,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xq=40c21.又因?yàn)?|pm|mq|,及xm=0,可得=|xm-xp|xq-xm|=|xp|xq|=78.由有|pm|mq|=78,所以|pm|pm|+|mq|=77+8=715,即|pq|=157|pm|.又因?yàn)閨pm|sinbqp=759,所以|bp|=|pq|sinbqp=157|pm|sinbqp=553.又因?yàn)閥p=2xp+2c=-43c,所

23、以|bp|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,橢圓方程為x25+y24=1.20.(本小題滿分14分)(2015天津,文20)已知函數(shù)f(x)=4x-x4,xr.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,求證:x2-x1-a3+413.(1)解:由f(x)=4x-x4,可得f'(x)=4-4x3.當(dāng)f'(x)>0,即x<1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)&