材料力學(xué) 平面圖形的幾何性質(zhì)

1、 從前面介紹的應(yīng)力和變形的計(jì)算公式中可以看出，應(yīng)力從前面介紹的應(yīng)力和變形的計(jì)算公式中可以看出，應(yīng)力和變形不僅與桿的內(nèi)力有關(guān)，而且與桿件截面的橫截面面積和變形不僅與桿的內(nèi)力有關(guān)，而且與桿件截面的橫截面面積A、極慣性矩、極慣性矩IP、抗扭截面系數(shù)、抗扭截面系數(shù)WP等一些幾何量密切相關(guān)。等一些幾何量密切相關(guān)。因此要研究構(gòu)件的的承載能力或應(yīng)力，就必須掌握截面幾何因此要研究構(gòu)件的的承載能力或應(yīng)力，就必須掌握截面幾何性質(zhì)的計(jì)算方法。性質(zhì)的計(jì)算方法。另一方面，掌握截面的幾何性質(zhì)的變化規(guī)律，就能靈活另一方面，掌握截面的幾何性質(zhì)的變化規(guī)律，就能靈活機(jī)動(dòng)地為各種構(gòu)件選取合理的截面形狀和尺寸，使構(gòu)件各部機(jī)動(dòng)地為各種

2、構(gòu)件選取合理的截面形狀和尺寸，使構(gòu)件各部分的材料能夠比較充分地發(fā)揮作用，盡可能地做到分的材料能夠比較充分地發(fā)揮作用，盡可能地做到“物盡其物盡其用用”，合理地解決好構(gòu)件的安全與經(jīng)濟(jì)這一對(duì)矛盾。，合理地解決好構(gòu)件的安全與經(jīng)濟(jì)這一對(duì)矛盾。第一節(jié)第一節(jié) 靜矩靜矩 AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydAyz靜距靜距是面積與它到軸的距離之積。是面積與它到軸的距離之積。 平面圖形的靜矩是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，同一平面圖形平面圖形的靜矩是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。靜矩的數(shù)值可能為正，對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。靜矩的數(shù)值可能為正，可能為

3、負(fù)，也可能等于零。它常用單位是可能為負(fù)，也可能等于零。它常用單位是m3或或mm3。 附錄-1 靜矩形心形心dAzyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS 平面圖形對(duì)平面圖形對(duì)z軸（或軸（或y軸）的軸）的靜矩，等于該圖形面積靜矩，等于該圖形面積A與其形與其形心坐標(biāo)心坐標(biāo)yC（或（或zC）的乘積。）的乘積。 附錄-1 靜矩 當(dāng)坐標(biāo)軸通過平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反當(dāng)坐標(biāo)軸通過平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過平面之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過平面圖形的形心。圖形的形心。 如果平

4、面圖形具有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸必然是平面圖形如果平面圖形具有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸必然是平面圖形的形心軸，故的形心軸，故平面圖形對(duì)其對(duì)稱軸的靜矩必等于零。平面圖形對(duì)其對(duì)稱軸的靜矩必等于零。 CyCzzASyAS附錄-1 靜矩根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)z軸（或軸（或y軸）的靜軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中式中 yCi、zCi及及Ai分別為各簡(jiǎn)單圖形的形心分別為各簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)和面積坐標(biāo)和面積; n為組成

5、組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。為組成組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111 組合圖形組合圖形形心的坐標(biāo)形心的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算公式附錄-1 靜矩例例 附附-1 矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對(duì)矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對(duì)z1軸的靜矩軸的靜矩Sz1和對(duì)形心軸和對(duì)形心軸z的靜矩的靜矩Sz。z1b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解解 (1) (1) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z z1 1軸的靜矩軸的靜矩 (2) 計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩 由于由于z軸為矩形截面的對(duì)稱軸，通過截面形心，所以矩形軸為矩

6、形截面的對(duì)稱軸，通過截面形心，所以矩形截面對(duì)截面對(duì)z軸的靜矩為軸的靜矩為 Sz=0附錄-1 靜矩 例附例附-2 試計(jì)算如圖所示的平面圖形對(duì)試計(jì)算如圖所示的平面圖形對(duì)z1和和y1的靜矩，并的靜矩，并求該圖形的形心位置。求該圖形的形心位置。801201010z1y1C1C2解解 將平面圖形看作由矩形將平面圖形看作由矩形和和組成組成矩形矩形 5mmmm2101Cz60mmmm21201Cy矩形矩形 45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2附錄-1 靜矩801201010z1y1C1C2C1（5,60）C2（45,5）

7、該平面圖形對(duì)該平面圖形對(duì)z1軸和軸和y1軸的靜矩分別為軸的靜矩分別為343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為19.74mmmm7001200103.75411niiniCiCAzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi附錄-1 靜矩第二節(jié)第二節(jié) 慣性矩、極慣性矩慣性矩、極慣性矩慣性矩慣性矩是面積與它到軸的距離的平方之積。是面積與它到軸的距離的平方之積。 AyAzAzI

8、AyIdd22dAzyyzr極慣性矩極慣性矩是面積對(duì)極點(diǎn)的二次矩。是面積對(duì)極點(diǎn)的二次矩。yzAIIAId2rr 慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來說的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸其慣慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來說的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸其慣性矩不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來說的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來說的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩也各不相同。慣性矩恒為正值，常用單位為性矩也各不相同。慣性矩恒為正值，常用單位為m4或或mm4。 附錄-2 慣性矩、極慣性矩 AiIAiIAiIPPyyzz222,AIiAIiAIiPPyyzz, 式中式中iz、iy、iP分別稱為平面圖形對(duì)分別稱為平面圖形對(duì)z軸、軸、y軸、和

9、極點(diǎn)軸、和極點(diǎn)的的慣性半徑慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m或或mm。或改寫成 常將圖形的慣性矩表示為圖形面積常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長(zhǎng)度平方與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即的乘積，即附錄-2 慣性矩、極慣性矩 例附例附-3 矩形截面的尺寸如圖所示。試計(jì)算矩形截面對(duì)其形矩形截面的尺寸如圖所示。試計(jì)算矩形截面對(duì)其形心軸心軸z、y 的慣性矩及慣性半徑。的慣性矩及慣性半徑。 解解 (1) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z軸和軸和y軸軸的慣性矩的慣性矩 取平行于取平行于z軸的微面積軸的微面積dA， dA到到z軸的距離為軸的距離為y，則，則 dA=bdy截面對(duì)截面對(duì) z 軸的慣性

10、矩為軸的慣性矩為AzdAyI2截面對(duì)截面對(duì) y 軸的慣性矩為軸的慣性矩為AydAzI2bh/2zCydydz223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz附錄-2 慣性矩、極慣性矩(2) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z軸、軸、y軸的慣性軸的慣性半徑半徑截面對(duì)截面對(duì)z軸和軸和y軸的慣性半徑分別為軸的慣性半徑分別為12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyybh/2zCy附錄-2 慣性矩、極慣性矩AaIIxcx2CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2AccyAdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐標(biāo)軸

11、中，在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小。圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小。第三節(jié)第三節(jié) 慣性矩的平行移軸公式、組合圖形的慣性矩慣性矩的平行移軸公式、組合圖形的慣性矩 圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。平行軸間距離平方的乘積。xc 、yc軸通過截面的軸通過截面的形心，稱為形心，稱為形心軸形心軸例例 附附-4 計(jì)算如圖所示的矩形截面對(duì)計(jì)算如圖所示的矩形截面對(duì)z1軸和軸和y1軸的慣性矩。軸的慣性矩。z1b/2b/2h/2h/2zCy321223

12、2321bhbhhbhAhIIzz 解解 z、y軸是矩形截面的形軸是矩形截面的形心軸，它們分別與心軸，它們分別與z1軸和軸和y1軸平軸平行，則由平行移軸公式得，矩行，則由平行移軸公式得，矩形截面對(duì)形截面對(duì)z1軸和軸和y1軸的慣性矩分軸的慣性矩分別為別為 3212232321hbbhbhbAbIIyy附錄-3 組合圖形的慣性矩y1組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121 計(jì)算組合圖形的慣性矩步驟計(jì)算組合圖形的慣性矩步驟 1.確定組

13、合圖形的形心位置，確定組合圖形的形心位置， 2.查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩， 3.利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩的慣性矩。 附錄-3 組合圖形的慣性矩580120500250zC 例例 附附-5 試計(jì)算圖示試計(jì)算圖示T形截面對(duì)形心軸形截面對(duì)形心軸z、y的慣性矩。的慣性矩。a1a2ycz1C1z2C2zoOA1A2附錄-3 組合圖形的慣性矩23211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902A

14、mmmmymmmm333360 10640 145 1029039260 10145 10iiA yycmmmmA解解 求截面形心位置求截面形心位置 由于截面有一根對(duì)稱軸由于截面有一根對(duì)稱軸y，故形心必在此軸上，即故形心必在此軸上，即zc=0 選坐標(biāo)系選坐標(biāo)系yoz，以確定截面形，以確定截面形心的位置心的位置yC。將截面圖形分為兩。將截面圖形分為兩個(gè)矩形。個(gè)矩形。500580120yc250z1C1zCz2C2zOA1A223211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmymmmm附錄-3 組合圖形

15、的慣性矩12ZzzIII33441 122500 120250 580,1212ZZImmImmZIyI計(jì)算計(jì)算及及 整個(gè)截面圖形對(duì)整個(gè)截面圖形對(duì) z 軸、軸、y 軸軸的慣性矩應(yīng)分別等于兩個(gè)矩形的慣性矩應(yīng)分別等于兩個(gè)矩形對(duì)對(duì) z 軸、軸、y 軸的慣性矩之和。即軸的慣性矩之和。即 兩個(gè)矩形對(duì)自身形心軸的慣兩個(gè)矩形對(duì)自身形心軸的慣性矩分別為性矩分別為33441 122500 120250 580,1212ZZImmImm500580120yc250z1C1zCz2C2zOA1A2附錄-3 組合圖形的慣性矩32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248422222250 580102250 58055.6 1012ZZIIa Ammmm8848412(37.6 1055.6 10 )93.2 10zZZIIImmmm應(yīng)用平行移軸公式得應(yīng)用平行移軸公式得所以所以500580120a1a2yc250z1C1