高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第3節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

1、1 / 9 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 考試要求 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題 1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 表示方法 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行線面平行”) lalal 性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”) aabab 2平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 表示方法 文字語言 圖形語言 符

2、號語言 判定定理 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行面面平行”) abababp 2 / 9 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行 abab 常用結(jié)論 平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論 (1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若 a，a，則 . (2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若 a，b，則 ab. (3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若 ，則 . 一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線( ) (2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面

3、，那么這兩個(gè)平面平行( ) (3)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面( ) (4)若直線 a與平面 內(nèi)無數(shù)條直線平行，則 a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1下列命題中正確的是( ) a若 a，b是兩條直線，且 ab，那么 a 平行于經(jīng)過 b 的任何平面 b若直線 a和平面 滿足 a，那么 a與 內(nèi)的任何直線平行 c平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 d若直線 a，b和平面 滿足 ab，a，b，則 b d a錯(cuò)誤，a 可能在經(jīng)過 b的平面內(nèi)；b錯(cuò)誤，a與 內(nèi)的直線平行或異面；c錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交 2平面 平面 的一個(gè)充分條件是( )

4、a存在一條直線 a，a，a 3 / 9 b存在一條直線 a，a，a c存在兩條平行直線 a，b，a，b，a，b d存在兩條異面直線 a，b，a，b，a，b d 若 l，al，a，a，則 a，a，故排除 a；若 l，a，al，則 a，故排除 b；若 l，a，al，b，bl，則a，b，故排除 c；故選 d. 3在正方體 abcd- a1b1c1d1中，e是 dd1的中點(diǎn)，則 bd1與平面 ace的位置關(guān)系為_ 平行 如圖所示，連接 bd交 ac于 f，連接 ef，則ef是bdd1的中位線， efbd1， 又 ef平面 ace， bd1平面 ace， bd1平面 ace. 4設(shè) ， 為三個(gè)不同的平面

5、，a，b為直線，給出下列條件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出 的條件是_(填上所有正確的序號) 中 ， 可能相交也可能平行，中 . 考點(diǎn)一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 證明直線與平面平行的方法 (1)線面平行的定義：一條直線與一個(gè)平面無公共點(diǎn)(不相交) (2)線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線 (3)面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面，即 ，aa；兩個(gè)平面平行，不在兩個(gè)平面內(nèi)的4 / 9 一條直線與其中一個(gè)平面平行，則這條

6、直線與另一平面也平行，即 ，a，a，aa. 直線與平面平行的判定 典例 11 (1)如圖，已知在直三棱柱 abc- a1b1c1 中，acbc，m，n 分別是 a1b1，ab 的中點(diǎn)，點(diǎn) p 在線段 b1c上，則 np 與平面 amc1的位置關(guān)系是( ) a垂直 b平行 c相交但不垂直 d要依點(diǎn) p的位置而定 (2)如圖，四邊形 abcd 為矩形，ed平面 abcd，afed.求證：bf平面 cde. (1)b (1)由題設(shè)知 b1man且 b1man，四邊形anb1m 是平行四邊形，b1nam，b1n平面 amc1. 又c1mcn，cn平面 amc1. 又cnb1nn，平面 b1nc平面 a

7、mc1. 又np平面 b1nc，np平面 amc1. (2)證明： (法一，利用面面平行的性質(zhì))四邊形 abcd 為矩形，abcd， ab平面 cde，cd平面 cde， ab平面 cde； 又 afed， af平面 cde，ed平面 cde， af平面 cde； afaba，ab平面 abf，af平面 abf，平面 abf平面cde， 又 bf平面 abf， bf平面 cde. (法二，利用線面平行的判定)如圖，在 ed 上取點(diǎn) n，使5 / 9 dnaf，連接 nc，nf，afdn，且 afdn， 四邊形 adnf為平行四邊形， adfn，且 adfn， 又四邊形 abcd為矩形，adbc

8、且 adbc， fnbc，且 fnbc， 四邊形 bcnf為平行四邊形， bfnc， bf平面 cde，nc平面 cde， bf平面 cde. 點(diǎn)評：證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，注意內(nèi)外平行三條件，缺一不可 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 典例 12 如圖，在直四棱柱 abcd- a1b1c1d1中，e為線段 ad上的任意一點(diǎn)(不包括 a，d兩點(diǎn))，平面 cec1平面 bb1dfg. 證明：fg平面 aa1b1b. 證明 在直四棱柱 abcd- a1b

9、1c1d1中，bb1cc1，bb1平面 bb1d，cc1平面 bb1d， 所以 cc1平面 bb1d. 又 cc1平面 cec1，平面 cec1平面 bb1dfg，所以 cc1fg. 因?yàn)?bb1cc1，所以 bb1fg. 而 bb1平面 aa1b1b，fg平面 aa1b1b， 所以 fg平面 aa1b1b. 點(diǎn)評：(1)通過線面平行可得到線線平行，其中一條線應(yīng)是兩平面的交線，要樹立這種應(yīng)用意識 (2)利用線面平行性質(zhì)必須先找出交線 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2017 全國卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，a，b 為正方體的兩個(gè)頂6 / 9 點(diǎn)，m，n，q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線 ab與平面

10、mnq不平行的是( ) a b c d a b選項(xiàng)中，abmq，且 ab平面 mnq，mq平面 mnq，則 ab平面 mnq；c選項(xiàng)中，abmq，且 ab平面 mnq，mq平面 mnq，則 ab平面 mnq；d選項(xiàng)中，abnq，且 ab平面 mnq，nq平面 mnq，則 ab平面 mnq.故選 a. 2.(2019 全國卷改編)如圖，直四棱柱 abcd- a1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2，bad60 ，e，m，n分別是 bc，bb1，a1d的中點(diǎn)證明：mn平面 c1de. 證明 連接 b1c，me.因?yàn)?m，e分別為 bb1，bc的中點(diǎn)， 所以 meb1c，且 me12b1c.又

11、因?yàn)?n為 a1d的中點(diǎn)，所以 nd12a1d. 由題設(shè)知 a1b1綊 dc，可得 b1c綊 a1d，故 me綊 nd，因此四邊形 mnde為平行四邊形，所以 mned.又 mn平面 c1de，所以 mn平面 c1de. 7 / 9 考點(diǎn)二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 證明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定義 (2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 (3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行” (4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行” (5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化 典例 2

12、如圖所示，在三棱柱 abc- a1b1c1中，e，f，g，h分別是 ab，ac，a1b1，a1c1的中點(diǎn)，求證： (1)b，c，h，g四點(diǎn)共面； (2)平面 efa1平面 bchg. 證明 (1)g，h分別是 a1b1，a1c1的中點(diǎn)， gh是a1b1c1的中位線，ghb1c1. 又b1c1bc， ghbc， b，c，h，g四點(diǎn)共面 (2)在abc中，e，f分別為 ab，ac的中點(diǎn)， efbc. ef平面 bchg，bc平面 bchg， ef平面 bchg. a1g綊 eb， 四邊形 a1ebg是平行四邊形，則 a1egb. a1e平面 bchg，gb平面 bchg， a1e平面 bchg.

13、a1eefe，平面 efa1平面 bchg. 母題變遷 1在本例條件下，若點(diǎn) d為 bc1的中點(diǎn)，求證：hd平面 a1b1ba. 證明 如圖所示，連接 bc1，hd，a1b， 8 / 9 d為 bc1的中點(diǎn)，h 為 a1c1的中點(diǎn)， hda1b. 又 hd平面 a1b1ba， a1b平面 a1b1ba， hd平面 a1b1ba. 2在本例條件下，若 d1，d 分別為 b1c1，bc的中點(diǎn)，求證：平面 a1bd1平面 ac1d. 證明 如圖所示，連接 a1c交 ac1于點(diǎn) m， 四邊形 a1acc1是平行四邊形， m 是 a1c的中點(diǎn)，連接 md， d為 bc 的中點(diǎn)， a1bdm. a1b平面

14、 a1bd1，dm平面 a1bd1， dm平面 a1bd1， 又由三棱柱的性質(zhì)知，d1c1綊 bd， 四邊形 bdc1d1為平行四邊形， dc1bd1. 又 dc1平面 a1bd1， bd1平面 a1bd1，dc1平面 a1bd1. 又dc1dmd， dc1，dm平面 ac1d， 平面 a1bd1平面 ac1d. 點(diǎn)評：本例的證明應(yīng)用了三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化 跟進(jìn)訓(xùn)練 如圖所示，在四棱錐 p- abcd中，底面 abcd是平行四邊形，m，n，q 分別為 bc，pa，pb 的中點(diǎn) 9 / 9 (1)求證：平面 mnq平面 pcd； (2)在線段 pd上是否存在一點(diǎn) e，使得 mn平面 ace？若存在，求出pepd的值；若不存在，請說明理由 (1)證明：在四棱錐 p- abcd 中，底面 abcd是平行四邊形，m，n，q分別為 bc，pa，pb