高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(七十)　二項分布與正態(tài)分布 (3)

1、1 / 5 課時作業(yè)(七十) 二項分布與正態(tài)分布 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項選擇題 1批產(chǎn)品的次品率為 4%，正品中一等品率為 75%。現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為( ) a0.75 b0.71 c0.72 d0.3 解析 因為這批產(chǎn)品的次品率為 4%，所以正品率為 96%，又因為正品中一等品率為 75%，所以這批產(chǎn)品的一等品率為 96%75%72%，所以從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一等品的概率為 0.72。故選 c。 答案 c 2如果生男孩和生女孩的概率相等，則有 3 個小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為( ) a23 b12 c34 d14 解析 設(shè)女孩個數(shù)為 x，女孩多于男孩

2、的概率為 p(x2)p(x2)p(x3)c2312212c331233181812。故選 b。 答案 b 3從甲袋中摸出 1 個白球的概率是13，從乙袋中摸出 1 個白球的概率是12，如果從甲、乙兩袋中各摸出 1 個球，那么56是( ) a2 個球不都是白球的概率 b2個球都不是白球的概率 c2個球都是白球的概率 d2 個球中恰好有 1 個球是白球的概率 解析 因為 2 個球不都是白球的對立事件是 2 個球都是白球，2 個球都是白球的概率 p121316，所以 2 個球不都是白球的概率是 11656。故選 a。 答案 a 4甲、乙兩位選手進行乒乓球比賽，5 局 3 勝制(每局都分出勝負)，每局

3、甲贏的概率是23，乙贏的概率是13，則甲以 31 獲勝的概率是( ) a827 b1627 c1681 d3281 解析 由題可知，5 局 3 勝制，甲以 31 獲勝，則第 4 局甲勝，且前 3 局甲勝 2 局，故所求概率 p23c2323213827。故選 a。 答案 a 5(2021 山東濰坊期末)已知隨機變量 服從正態(tài)分布 n(1，2)，若 p(4)0.9，則 p(21)( ) a0.2 b0.3 c0.4 d0.6 解析 由題意可知 1，正態(tài)曲線關(guān)于直線 x1 對稱，p(4)1p(4)0.1，根據(jù)對稱性可知，p(2)p(4)0.1，故 p(21)0.5p(2)0.50.10.4。故選

4、c。 答案 c 6(2021 河北張家口模擬)如圖，已知電路中 4 個開關(guān)閉合的概率都是12，且是相互獨立的，則燈亮的概率為( ) 2 / 5 a116 b316 c14 d1316 解析 由題意知，燈不亮包括：甲、乙、丙、丁都斷開，乙閉合的同時甲、丙、丁斷開，甲閉合的同時乙、丙、丁斷開。這三種情況是互斥的，每一種情況對應(yīng)的事件都是相互獨立的，所以燈不亮的概率為121212121212121212121212316，所以燈亮的概率為 13161316。故選d。 答案 d 二、多項選擇題 7(2020 山東濟南二模)已知在某市的一次學(xué)情檢測中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績 x 服從正態(tài)分布n(100,100)

5、，其中 90 分為及格線，120 分為優(yōu)秀線，則下列說法正確的是( ) 附：隨機變量 服從正態(tài)分布 n(，2)，則 p()0.682 7，p(22)0.954 5，p(33)0.997 3。 a該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的期望為 100 b該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為 100 c該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率超過 0.8 d該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等 解析 數(shù)學(xué)成績 x 服從正態(tài)分布 n(100,100)，則數(shù)學(xué)成績的期望為 100，數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為10，故 a 正確，b 錯誤；及格率 p111p(10010x10010)20.841 35，故 c 正確；不及格率 p20.158 65，優(yōu)

6、秀率 p31p(10020x2)0.023，則 p(2x2)_。 解析 因為 0，所以 p(x2)p(x2)0.023，所以 p(2x2)120.0230.954。 答案 0.954 10(2021 江西九校聯(lián)考)非洲成員代表團團長及相關(guān)的人員參加了中非合作論壇北京峰會，會后某記者在場地外隨機進行采訪。假設(shè)第一次采訪到的人恰好是參會的代表團團長的概率為 0.7，連續(xù)兩次采訪到的人都是代表團團長的概率為 0.6，則在第一次采訪到的人是代表團團長的條件下，第二次采訪到的人也是代表團團長的概率為_。 解析 記第一次采訪到的人是代表團團長為事件 a，第二次采訪到的人是代表團團長為事件3 / 5 b，則

7、 p(a)0.7，p(ab)0.6，則 p(b|a)p(ab)p(a)67。 答案 67 11國產(chǎn)殺毒軟件進行比賽，每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被淘汰。已知某個軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次是56，35，34，13，且各輪考核能否通過互不影響，則該軟件至多進入第三輪考核的概率為_。 解析 解法一：設(shè)事件 ai(i1,2,3,4)表示“該軟件在第 i 輪能準(zhǔn)確殺毒”，由已知得 p(a1)56，p(a2)35，p(a3)34，p(a4)13。設(shè)事件 b 表示“第一輪被淘汰”，則 p(b)p( a1)16。設(shè)事件c 表示“第二輪被淘汰”，則 p

8、(c)p(a1a2)562513。設(shè)事件 d 表示“第三輪被淘汰”，則 p(d)p(a1a2a3)56351418。所以該軟件至多進入第三輪考核的概率為 p(b)p(c)p(d)58。 解法二：該軟件進入第四輪考核的概率 p56353438，又“該軟件至多進入第三輪考核”的對立事件為“該軟件進入第四輪考核”， 所以該軟件至多進入第三輪考核的概率為 1p13858。 答案 58 四、解答題 12(2021 合肥市教學(xué)質(zhì)量檢測)“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地。為了將來更好地推進“研學(xué)游”項目，某旅游學(xué)

9、校一位實習(xí)生，在某旅行社實習(xí)期，把“研學(xué)游”分為科技體驗游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機抽取了 100 所學(xué)校，統(tǒng)計如下： 研學(xué)游類型 科技體驗游 民俗人文游 自然風(fēng)光游 學(xué)校數(shù) 40 40 20 該實習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機抽取了 3 所學(xué)校，并以統(tǒng)計的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響)。 (1)若這 3 所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率； (2)設(shè)這 3 所學(xué)校中選擇“科技

10、體驗游”的學(xué)校的個數(shù)為隨機變量 x，求 x 的分布列與數(shù)學(xué)期望。 解 (1)依題意，學(xué)校選擇“科技體驗游”的概率為25，選擇“自然風(fēng)光游”的概率為15， 若這 3 所學(xué)校選擇研學(xué)游類型為“科技體驗游”和“自然風(fēng)光游”，則這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率為 pc2325215c231522518125。 (2)x 的可能取值為 0,1,2,3。 則 p(x0)c0335327125， p(x1)c132535254125， p(x2)c232523536125， p(x3)c332538125。 所以 x 的分布列為 x 0 1 2 3 p 27125 54125 36125 8125 所以 e(x

11、)0271251541252361253812565。 13(2021 八省聯(lián)考)一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運轉(zhuǎn)中，部件 1,2,3 需要調(diào)整的概率分別為 0.1，0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立。 (1)求設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件 1,2 中至少有 1 個需要調(diào)整的概率； 4 / 5 (2)記設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為 x，求 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解 用 ai表示事件“設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件 i需要調(diào)整”，i1,2,3。 (1)用 a 表示事件“設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件 1,2 中至少有 1 個需要調(diào)整”。 則aa1a2，且a1，a2相互獨立。 從而 p(a

12、)p(a1a2)p(a1)p(a2)(10.1)(10.2)0.72， p(a)1p(a)0.28。 (2)x 的可能取值為 0,1,2,3。 p(x0)p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)(10.1)(10.2)(10.3)0.504， p(x1)p(a1a2a3a1a2a3a1a2a3) p(a1a2a3)p(a1a2a3)p(a1a2a3) p(a1)p(a2)p(a3)p(a1)p(a2)p(a3)p(a1)p(a2)p(a3) 0.100.800.700.900.200.700.900.800.300.398， p(x3)p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)0

13、.10.20.30.006， p(x2)1(p(x0)p(x1)p(x3) 1(0.5040.3980.006)0.092。 x 的分布列為 x 0 1 2 3 p 0.504 0.398 0.092 0.006 x 的數(shù)學(xué)期望 e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2)3p(x3) 00.50410.39820.09230.0060.6。 14某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了 100 人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率。 (1)估計這 100 人體重數(shù)據(jù)的平均值 和樣本方差 2(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)。 (2

14、)從全校學(xué)生中隨機抽取 3 名學(xué)生，記 x 為體重在55,65)內(nèi)的人數(shù)，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 (3)由頻率分布直方圖可以認為，該校學(xué)生的體重 y 近似服從正態(tài)分布 n(，2)。若 p(2y0.954 5，則認為該校學(xué)生的體重是正常的。試判斷該校學(xué)生的體重是否正常，并說明理由。 解 (1)(47.572.5)0.0045(52.567.5)0.0265(57.562.5)0.070560， 2(6047.5)2(6072.5)20.02(6052.5)2(6067.5)20.13(6057.5)2(6062.5)20.3525。 (2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機抽取 1 人，體重在55

15、,65)內(nèi)的概率為 0.7。 隨機抽取 3 人，相當(dāng)于 3 次獨立重復(fù)試驗，所以隨機變量 x 服從二項分布 b(3,0.7)， 則 p(x0)c030.700.330.027， p(x1)c130.70.320.189， p(x2)c230.720.30.441， p(x3)c330.730.300.343， 所以 x 的分布列為 x 0 1 2 3 p 0.027 0.189 0.441 0.343 數(shù)學(xué)期望 e(x)30.72.1。 (3)由題意知 y 近似服從正態(tài)分布 n(60,25)， 則 p(2y2)p(50y0.954 5， 所以可以認為該校學(xué)生的體重是正常的。 5 / 5 素養(yǎng)提

16、升組 15(2021 福建泉州適應(yīng)性測試)某游戲棋盤上標(biāo)有第 0,1,2，100 站，棋子開始位于第 0站，選手拋擲均勻骰子進行游戲，若擲出骰子向上的點數(shù)不大于 4，棋子向前跳出一站；否則，棋子向前跳出兩站，直到跳到第 99 站或第 100 站時，游戲結(jié)束。設(shè)游戲過程中棋子出現(xiàn)在第 n 站的概率為 pn。 (1)當(dāng)游戲開始時，若拋擲均勻骰子 3 次后，求棋子所走站數(shù)之和 x 的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)證明：pn113pnpn13pn1(1n98)； (3)若最終棋子落在第 99 站，則記選手落敗，若最終棋子落在第 100 站，則記選手獲勝，請分析這個游戲是否公平。 解 (1)由題意知，隨機變量 x 的可能取值為 3,4,5,6， p(x3)233827， p(x4)c232321349， p(x5)c132313229， p(x6)133127。 所以，隨機變量 x 的分布列如下表所示： x 3 4 5 6 p 827 49 29 127 所以 e(x)382744952961274。 (2)證明：依題意，當(dāng) 1n98 時， 棋子要到第(