高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(四十五)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、1 / 6 課時作業(yè)(四十五) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項選擇題 1設(shè) ， 為兩個不同的平面，直線 l，則“l(fā)”是“”成立的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 解析 依題意，由 l，l 可以推出 ；反過來，由 ，l，不能推出 l。因此“l(fā)”是“”成立的充分不必要條件。故選 a。 答案 a 2設(shè) 為平面，a，b 為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是( ) a若 a，b，則 ab b若 a，ab，則 b c若 a，ab，則 b d若 a，ab，則 b 解析 若 a，b，則 a 與 b 相交、平行或異面，故 a錯誤；易知 b正確；若

2、a，ab，則 b或 b，故 c 錯誤；若 a，ab，則 b 或 b 或 b 與 相交，故 d 錯誤。故選 b。 答案 b 3(2021 湖北襄陽模擬)設(shè)直線 m 與平面 相交但不垂直，則下列說法中正確的是( ) a在平面 內(nèi)有且只有一條直線與直線 m 垂直 b過直線 m 有且只有一個平面與平面 垂直 c與直線 m 垂直的直線不可能與平面 平行 d與直線 m 平行的平面不可能與平面 垂直 解析 對于 a，在平面 內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線 m 垂直，這些直線是互相平行的，a 錯誤；對于b，只要 m 且與 不垂直，過直線 m 必有并且也只有一個平面與平面 垂直，b 正確；對于 c，類似于a，在平面

3、外可能有無數(shù)條直線垂直于直線 m 并且平行于平面 ，c 錯誤；對于 d，與直線 m 平行且與平面 垂直的平面有無數(shù)個，d 錯誤。故選 b。 答案 b 4如圖，在四面體 abcd 中，已知 abac，bdac，那么頂點 d 在平面 abc 內(nèi)的射影 h必在( ) a直線 ab 上 b直線 bc 上 c直線 ac 上 dabc 內(nèi)部 解析 由 abac，bdac，又 abbdb，則 ac平面 abd，而 ac平面 abc，則平面 abc平面 abd，因此 d 在平面 abc 內(nèi)的射影 h 必在平面 abc 與平面 abd 的交線 ab 上。故選 a。 答案 a 5在下列四個正方體 abcd- a1

4、b1c1d1中，e，f，g 均為所在棱的中點，過 e，f，g 作正方體的截面，則在各個正方體中，直線 bd1與平面 efg 不垂直的是( ) 解析 如圖，在正方體中，e，f，g，m，n，q 均為所在棱的中點，易知 e，f，g，m，n，q 六個點共面，直線 bd1與平面 efmnqg 垂直，并且選項 a，b，c 中的平面與這個平面重合，不滿足題意，只有選項 d 中的直線 bd1與平面 efg 不垂直，滿足題意。故選 d。 2 / 6 答案 d 二、多項選擇題 6如圖，在正方形 abcd 中，e，f 分別是 bc，cd 的中點，g 是 ef 的中點?，F(xiàn)在沿 ae，af 及 ef把這個正方形折成一個

5、空間圖形，使 b，c，d 三點重合，重合后的點記為 h，下列說法正確的是( ) aag平面 efh bah平面 efh chf平面 aeh dhg平面 aef 解析 由題意可得，ahhe，ahhf。所以 ah平面 efh，而 ag 與平面 efh 不垂直。所以 b 正確，a 錯誤。又 hfhe，所以 hf平面 ahe，c 正確。hg 與 ag 不垂直，因此 hg平面 aef 錯誤，d錯誤。故選 bc。 答案 bc 7(2021 八省聯(lián)考)下圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中( ) aaecd bchbe cdgbh dbgde 解析 由正方體的平面展開圖還原正方體如圖。由圖形可知，ae

6、cd，故 a 項錯誤；由 hebc，hebc，得四邊形 bche 為平行四邊形，所以 chbe，故 b 項正確；因為 dghc，dgbc，hcbcc，所以 dg平面 bhc，所以 dgbh，故 c 項正確；因為 bgah，而 deah，所以 bgde，故 d項正確。故選 bcd。 答案 bcd 三、填空題 8如圖，已知bac90 ，pc平面 abc，則在abc，pac 的邊所在的直線中，與 pc 垂直的直線有_；與 ap 垂直的直線有_。 解析 因為 pc平面 abc，所以 pc 垂直于直線 ab，bc，ac。因為 abac，abpc，acpcc，所以 ab平面 pac，又因為 ap平面 pa

7、c，所以 abap，與 ap 垂直的直線是 ab。 答案 ab，bc，ac ab 9如圖，在長方體 abcd- a1b1c1d1中，abbc2，aa11，則 ac1與平面 a1b1c1d1所成角的正弦值為_。 解析 連接 a1c1，則ac1a1為 ac1與平面 a1b1c1d1所成的角。因為 abbc2，所以 a1c1ac2 2，又 aa11，所以 ac13，所以 sinac1a1aa1ac113。 答案 13 10.如圖，在棱長為 2 的正方體 abcd- a1b1c1d1中，e 為 bc 的中點，點 p 在線段 d1e 上。點 p 到直線cc1的距離的最小值為_。 3 / 6 解析 點 p

8、 到直線 cc1的距離等于點 p 在平面 abcd 上的射影到點 c 的距離，設(shè)點 p 在平面 abcd 上的射影為 p，顯然點 p 到直線 cc1的距離的最小值為 pc 的長度的最小值。當(dāng) pcde 時，pc 的長度最小，此時 pc2122122 55。 答案 2 55 11.如圖所示，在四棱錐 p- abcd 中，pa底面 abcd，且底面各邊都相等，m 是 pc 上的一動點，當(dāng)點m滿足_時，平面 mbd平面 pcd(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)。 解析 連接 ac，則 acbd，因為 pa底面abcd，所以 pabd。又 paaca，所以 bd平面pac，所以 bdpc。所以當(dāng)

9、dmpc(或 bmpc)時，即有 pc平面 mbd。而 pc平面 pcd，所以平面mbd平面 pcd。 答案 dmpc(或 bmpc) 四、解答題 12.如圖所示，在四棱錐 p- abcd 中，pa底面 abcd，abad，accd，abc60 ，paabbc，e是 pc 的中點。 證明：(1)cdae； (2)pd平面 abe。 證明 (1)在四棱錐 p- abcd 中， 因為 pa底面 abcd，cd平面 abcd， 所以 pacd。 又因為 accd，paaca， pa，ac平面 pac， 所以 cd平面 pac。 而 ae平面 pac，所以 cdae。 (2)由 paabbc，abc6

10、0 ， 可得 acpa， 因為 e 是 pc 的中點，所以 aepc。 由(1)知 aecd，且 pccdc， pc，cd平面 pcd， 所以 ae平面 pcd， 而 pd平面 pcd， 所以 aepd， 因為 pa底面 abcd，ab平面 abcd， 所以 paab。 又因為 abad，且 paada， pa，ad平面 pad， 所以 ab平面 pad，而 pd平面 pad， 所以 abpd。 又因為 abaea，ab，ae平面 abe， 所以 pd平面 abe。 13如圖，在平面四邊形 abcp 中，d 為 pa 的中點，paab，cdab，且 pacd2ab4。將此平面四邊形 abcp

11、沿 cd 折起，且平面 pdc平面 dcb，連接 pa，pb，bd。 4 / 6 (1)證明：平面 pbd平面 pbc； (2)求點 d 到平面 pbc 的距離。 解 (1)證明：如圖，因為 pddc，addc， 所以二面角 p- dc- a 的平面角為pda90 ， 則 pd平面 abcd， 又 bc平面 abcd，所以 pdbc。 又在平面四邊形 abcd 中， bd ab2ad22 2， 過 b 作 becd， 由題意得，e 為 cd 的中點， 又 d 為 pa 的中點， 所以 pdadcede2，又 deab， 所以 bead2，bc ce2be22 2， 所以 bc2bd2dc2，

12、即 bdbc，而 pdbdd， bd平面 pbd，pd平面 pbd， 故 bc平面 pbd，因為 bc平面 pbc， 所以平面 pbd平面 pbc。 (2)由(1)知 bc平面 pbd， pb2 3，bcpb。 設(shè)點 d 到平面 pbc 的距離為 h， 則有 vp- bdc13122 22 22， vd- bpc13122 32 2h， 因為 vp- bdcvd- bpc，所以 h2 63， 即點 d 到平面 pbc 的距離為2 63。 素養(yǎng)提升組 14(2021 北京房山區(qū)期末)如圖，在正方體 abcd- a1b1c1d1中，m 為棱 ab 的中點，動點 p 在側(cè)面bcc1b1上運動，若 a

13、pd1m，則動點 p 的軌跡為( ) a兩個點 b線段 c圓的一部分 d拋物線的一部分 解析 如圖，取 b1b 的中點 e，cb 的中點 f，連接 ae，ef，af，dm。在正方體 abcd- a1b1c1d1中，易證 dmaf，dd1af，則有 af平面 dmd1，afmd1，同理 md1ae，則 md1平面 aef。又點 p在側(cè)面 bcc1b1上運動，故點 p 的軌跡為線段 ef。故選 b。 答案 b 15.(多選)如圖，點 p 在正方體 abcd- a1b1c1d1的面對角線 bc1上運動，則下列四個結(jié)論正確的是( ) 5 / 6 a三棱錐 a- d1pc 的體積不變 ba1p平面 ac

14、d1 cdpbc1 d平面 pdb1平面 acd1 解析 對于 a，由題意知 ad1bc1，從而 bc1平面 ad1c，故 bc1上任意一點到平面 ad1c 的距離均相等，所以以 p為頂點，ad1c為底面的三棱錐 p- ad1c 的體積不變，則三棱錐 a- d1pc 的體積不變，故 a正確；對于 b，連接 a1b，a1c1(圖略)，則 a1c1ac，由 a 知 ad1bc1，所以平面 ba1c1平面 acd1，從而由面面平行的性質(zhì)可得 a1p平面 acd1，故 b 正確；對于 c，由于 dc平面 bcc1b1，所以 dcbc1，若 dpbc1，則 bc1平面 dcp，bc1pc，則 p 為 b

15、c1的中點，與 p 為動點矛盾，故 c 錯誤；對于 d，由 db1ac 且 db1ad1，可得 db1平面 acd1，從而由面面垂直的判定知平面 pdb1平面 acd1，故 d正確。故選 abd。 答案 abd 16.(2021 遼寧葫蘆島一模)如圖，在三棱柱 abc- a1b1c1中，bb1平面 abc，abbc，aa1abbc2。 (1)求證：bc1平面 a1b1c； (2)求異面直線 b1c 與 a1b 所成角的大??； (3)點 m 在線段 b1c 上，且b1mb1c(0,1)，點 n 在線段 a1b 上，若 mn平面 a1acc1，求a1na1b的值(用含 的代數(shù)式表示)。 解 (1)證明：在三棱柱 abc- a1b1c1中， 因為 bb1平面 abc，所以 bb1平面 a1b1c1， 所以 bb1a1b1， 又因為 abbc， 所以 a1b1b1c1，bb1b1c1b1， 所以 a1b1平面 b1bcc1。 因為 bc1平面 b1bcc1，所以 a1b1bc1， 又在正方形 b1bcc1中，b1cbc1， 且 a1b1b1cb1， 所以 bc1平面 a1b1c。 (2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 bxyz， 由題意得 b(0,0,0)， c(2，0,0)，a1(0,2,2)， b