初中數(shù)學(xué)含參數(shù)問題的處理策略

1、    初中數(shù)學(xué)含參數(shù)問題的處理策略    曾立萱【摘要】參數(shù)是用字母表述的，它兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征。參數(shù)問題將思維和運算有機(jī)地結(jié)合在一起，能有效地考查考生的思維能力、運算能力。在解決含參數(shù)的問題時常根據(jù)已知條件列出含參方程或不等式，再求出參數(shù)的值或取值范圍。在幾何中用參數(shù)更容易體現(xiàn)幾何元素之間的等量關(guān)系，從而更好地解決幾何題?！娟P(guān)鍵詞】參量；多元方程組；不等式組；主元；待定系數(shù)法；函數(shù)最值；幾何代數(shù)化；消參；定值【正 文】在初中數(shù)學(xué)中運算能力的考查主要是以數(shù)的計算、含字母的式的運算為主，同時兼顧對算理和邏輯推理的考查。參數(shù)是用字母加以表述的，它兼有

2、常數(shù)和變數(shù)的雙重特征。參數(shù)問題能有效地考查考生的思維能力、運算能力、推理能力，是近年來中考命題的常見題型。如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地引導(dǎo)學(xué)生解決含有參數(shù)的問題？筆者結(jié)合自身的教學(xué)實踐談?wù)労袇?shù)問題的幾點處理策略。1 用字母代替數(shù)，在數(shù)學(xué)計算中的巧用。有些繁難的數(shù)學(xué)計算，可以引入?yún)?shù)，直觀地體現(xiàn)幾個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，再用等式的恒等變形的有關(guān)技巧消元，化難為易。2 明確哪個量為參量，并對參量進(jìn)行討論或求參量的取值范圍。2.1方程（組）中參數(shù)取值的不確定性，引發(fā)對參數(shù)的討論。一般來說初中階段提及的整式方程或分式方程中出現(xiàn)的未知數(shù)以字母 表現(xiàn)，而其他字母（如 都看成常數(shù)（即參數(shù)）。例1：當(dāng)m為何值時

3、，關(guān)于 的方程 有兩個不相等的正整數(shù)根？分析：把 看成未知數(shù)， 看成參數(shù)，把方程的兩個解用含參數(shù) 的代數(shù)式表示，再求解。解：當(dāng)二次項系數(shù) 故 時，它是一元一次方程。由根的判別式可知 ，所以 = 或因為解為正整數(shù)，所以 或 。又因為 ，所以 ，2.2多元方程組中，先確定主元，再確定參數(shù)，把主元用參數(shù)的形式表示。2.3不等式（組）參數(shù)的取值范圍如何確定？1）根據(jù)不等式的性質(zhì)解題。當(dāng)不等式左右兩邊同除以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；當(dāng)不等式左右兩邊同除以一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變。故含參數(shù)的一元一次不等式常要討論求解。2）根據(jù)不等式組的求解方法求解。不等式組求解集的法則是：同大取大；同小取??；小大

4、，大小中間找；大大，小小無處找（無解）。若其中一個不等式含有參數(shù)，則可根據(jù)未知數(shù)的解集，求參數(shù)的取值范圍。3 用待定系數(shù)法求參數(shù)的值。在初中數(shù)學(xué)一次函數(shù) 、二次函數(shù) 、反比例函數(shù) 的解析式的求法最主要用待定系數(shù)法。可根據(jù)題目中的已知條件列出相應(yīng)的方程或方程組，從而確定參數(shù)的值。當(dāng)然在因式分解中也常用待定系數(shù)法。常用步驟是：（1）根據(jù)多項式次數(shù)關(guān)系，假設(shè)一個含待定系數(shù)的等式；（2）利用恒等式對應(yīng)項系數(shù)相等的性質(zhì)，列出含有待定系數(shù)的方程組；（3）解方程組，求出待定系數(shù)。4 參數(shù)的取值范圍對函數(shù)最值的影響。當(dāng)函數(shù)解析式確定時，自變量的取值范圍會影響到函數(shù)圖象。同樣的函數(shù)解析式，值域就受定義域的影響。

5、尤其是二次函數(shù)的區(qū)間最值問題、一元二次方程根的分布問題，對初中生來說很有挑戰(zhàn)性。例2：若 ，求這個函數(shù)在區(qū)間 時的最大值與最小值。分析：對稱軸直線 確定，區(qū)間會變。由二次函數(shù)的增減性知：一般來說，函數(shù)區(qū)間最值問題的解決模式是：（1）從實際問題，合理引進(jìn)參量； （2）由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)題意確定參量的取值范圍；（4）畫出區(qū)間函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合并利用函數(shù)的增減性（單調(diào)性）求出最值。當(dāng)然在二次函數(shù)的最值問題中，還有“軸變區(qū)間定”，“軸變區(qū)間變”等類型。而在解決一元二次方程根的問題上，常用到根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式求參數(shù)的范圍。6 幾何問題代數(shù)化中參數(shù)的應(yīng)用.幾何

6、不在于做題多而在于把經(jīng)典題題做熟，做透，吃透思路的形成過程。在某些純幾何背景的題目中，為了解決一些幾何元素（線段、角、面積等）的關(guān)系，需要引入合適的量做為參數(shù)，用代數(shù)的語言描述幾何要素之間的關(guān)系，再通過處理代數(shù)問題與分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。例3：在菱形abcd中，點p在ab邊上，（1）以過點 p的直線為軸，將四邊 形abcd折疊，使點b、c分別落在點 上，且 經(jīng)過點d，折痕與四邊形的另一交點為q，請你作出四邊形 。（2） 當(dāng)c=60°時，求 為何值時， ？分析（1）如圖（2） 由于點p是運動的點，故可設(shè)參數(shù)pa = ，pb= ，在解題中將其他動線段用 與 的代數(shù)式表

7、示。由折疊知 。又由 且a=c=60°知amp=30°，由三角函數(shù)所以 ，又易知 ，所以 ，從而 是等腰三角形且dm=ad-am=從圖中分解出圖，在圖中過點 作 ，垂足為h，由等腰三角形“三線合一”知由 知， ，所以 ，化簡得總之，含有參數(shù)的問題幾乎覆蓋了方程、函數(shù)，不等式、三角函數(shù)，數(shù)列、幾何等初中數(shù)學(xué)的所有知識點，也涉及到一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。在解決含有參數(shù)的問題時，常把許多相關(guān)的量放在同一個含參方程（組）下，再進(jìn)行簡化與運算。當(dāng)然，應(yīng)弄清對參數(shù)討論的原因，并且在分類討論時做到不遺不漏。對于隱含在動念幾何中的含參數(shù)問題（幾何中的定值問題、數(shù)量關(guān)系的證明題），適當(dāng)引入?yún)?shù)，由幾何性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合的思想解決更簡潔有效。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一些絕對不等式的成立的條件往往用參數(shù)的集合的形式加以表示；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值主要是受參數(shù)的范圍的影響；多個參數(shù)的互相制約也會產(chǎn)生。所以在初中數(shù)學(xué)應(yīng)抓好以上幾點參數(shù)問題的教學(xué)，讓學(xué)生從“變”中找規(guī)律，“舉一反三”，形成數(shù)學(xué)思維的階梯式上升?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 仇海寧. 中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的參數(shù)問題 2011第39期考試周刊之題型研究2 張國良. 例