測量萬有引力常數(shù)G之自由落體法

1、測量萬有引力常數(shù)G之自由落體法摘要：引力常數(shù)G是一種最基本的物理常量，雖然經(jīng)過了兩個(gè)多世紀(jì)科學(xué)家的努力實(shí)踐，其仍是測量精度最差的基本物理常量。本著和天體物理、理論物理等緊密相關(guān)的原則，其測量的準(zhǔn)確性甚至在物理實(shí)驗(yàn)都占據(jù)了重要的地位。通過說明測量萬有引力常數(shù)的歷史，介紹實(shí)驗(yàn)室測量的引力常數(shù)，本實(shí)驗(yàn)利用高精度絕對重力儀測量擾動質(zhì)量所產(chǎn)生的重力變化，再運(yùn)用具有強(qiáng)大可重復(fù)性和大量重復(fù)觀測的自由落體方法，整個(gè)實(shí)驗(yàn)要嚴(yán)格控制誤差，測得了精度較高的引力常數(shù)是 (6.6665±0.0554)×/(kg·) 關(guān)鍵詞：絕對重力儀；引力常數(shù)G；自由落體；重力目 錄1 測量萬有引力常數(shù)G

2、的過去與現(xiàn)在11.1 測G 的過去11.2 測G 的現(xiàn)在12 簡述測量引力常數(shù)的實(shí)驗(yàn)室方法23 用自由落體法測量G33.1 自由落體法原理33.2 測量53.2.1 擾動質(zhì)量形狀及位置的確定53.2.2 重力加速度的測量53.3 計(jì)算過程63.4 計(jì)算結(jié)果63.5 誤差分析74 實(shí)驗(yàn)結(jié)論85 結(jié)束語8參考文獻(xiàn)91 測量萬有引力常數(shù)G的過去與現(xiàn)在1.1 測G 的過去 天體物理學(xué)、理論物理等緊密關(guān)注一個(gè)基本的物理常數(shù)，即萬有引力常數(shù)G。它測量的準(zhǔn)確性非常重要，明確了引力相互作用對天體物理學(xué)和理論物理精確的測量具有重要的意義。兩個(gè)多世紀(jì)以前,科學(xué)家是識別和測量引力常數(shù)G，隨著時(shí)間的推移和社會的進(jìn)步，

3、盡管有些許進(jìn)步，但G仍是測量精度最差的基本物理常量。牛頓猜想兩個(gè)測試方法：一個(gè)是利用引力公式求G值，前提是要測出兩物體間的引力；另一個(gè)是使用附近山里的單擺偏角測量G值。因?yàn)楫?dāng)時(shí)條件有限,這兩個(gè)猜想都沒有實(shí)踐。直到后來，天文學(xué)家馬斯基林測引力常數(shù)是使用了山脈吸引物體的方法，但其結(jié)果誤差很大而且不是很穩(wěn)定。這是因?yàn)樯胶茈y準(zhǔn)確確定其質(zhì)量。英國物理學(xué)家卡文迪許(Cavendish)首次對G值做出了精確測量，但他最初的想法是計(jì)劃明確地球的質(zhì)量，他測出的質(zhì)量值約為6.6×T，水的密度約為其的，G的實(shí)驗(yàn)測量值為(6.754±0.041)×/(kg·)，這是用扭稱發(fā)測出

4、的結(jié)果。隨后部分人認(rèn)為，萬有引力常數(shù)G有可能是距離的函數(shù)，在小于1000 km的距離范圍內(nèi)。引力常數(shù)G的測量常用的有地球物理測量、實(shí)驗(yàn)室測量和空間測量三類構(gòu)成。空間測量方法面臨著許多新的技術(shù)問題，尚在探索中。測量G通過測量重力的變化，是地球物理學(xué)的主要方法。雖然引力明顯，但低于扭力天平實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)室測量高分辨G值的主要手段，常用的工具是一個(gè)精密扭力天平。直接傾斜法、循環(huán)法和共振法是扭秤測量萬有引力常數(shù)的幾種方法。扭秤周期法是一種運(yùn)用最多的理想的測量方法。扭秤裝置雖然無法進(jìn)行重復(fù)測量、測試幾何形狀，但是外部引力的干擾和噪聲卻可以有效地被消除，但還是導(dǎo)致了許多實(shí)驗(yàn)誤差上的影響因素。1.2 測

5、G 的現(xiàn)在Boer等于1987年通過扭秤法測得的萬有引力常數(shù)G值為(6.667±0.0007)×/(kg·)。1995年，Walesch 等利用鐘擺共鳴法測得G為(6.6719±0.0008)×/(kg·)。1998年，Schumacher等利用改進(jìn)過的實(shí)驗(yàn)，得到了新的結(jié)果 (6.6637±0.0004 ±0.0044)×/(kg·)。Fitzgerald和Arms- trong以及Michaelis分別利用扭秤法在1995年測得G為(6.6656± 0.00063)×/(k

6、g·)和 (6.7154±0.00055)×/(kg·)。Schurr 在1998年測得萬有引力常數(shù)G為(6.6754±0.0015)×/(kg·)。羅俊使用長周期，高Q值扭力天平在一個(gè)恒定的溫度、振動隔離、以及外部的引力干擾較小的環(huán)境中，嚴(yán)格控制諸多影響因素，最后測出的G值的相對精度有105 ppm （1ppm=1×），其值為(6.6699±0.0007)×/(kg·) 。近年來, Gundlach、Merkowitz和Quinn等、Schlamminger 等以及Armstrong

7、和Fitzgerald先后測量出相對測量精度高于50 ppm的G值。2005年，在 HUST-99工作中，結(jié)果進(jìn)行了一次修正，其原因是因?yàn)橘|(zhì)量密度的不均勻性，修正結(jié)果為(6.6723±0.0009)×/(kg·)，這是Hu等人最早發(fā)現(xiàn)的。 2 簡述測量引力常數(shù)的實(shí)驗(yàn)室方法由上文可知，地球物理方法、空間以及實(shí)驗(yàn)室測量為引力常數(shù)G的主要測量方法。地球物理方法是使用大型自然對象(如形狀規(guī)則的礦山等)以吸引質(zhì)量,這種方法的優(yōu)勢是引力效應(yīng)是顯著的。因?yàn)槲|(zhì)量規(guī)則物體大，故其吸引質(zhì)量、密度和分布的規(guī)模不能精確測量，從而精度低。地面實(shí)驗(yàn)室出現(xiàn)了兩個(gè)問題：一個(gè)是易受到地面振動噪

8、聲的影響；第二個(gè)是地面實(shí)驗(yàn)室易受到背景引力場的影響。為了有效避免這兩個(gè)問題，空間測量被投入大量期望。但依現(xiàn)狀來看，空間測量方法面臨許多新的技術(shù)挑戰(zhàn)，尚在探索。 精密扭秤比地球物理方法優(yōu)越，表現(xiàn)在它能夠使吸引質(zhì)量與即將檢測的檢驗(yàn)質(zhì)量間的相互作用的萬有引力放置在水平面垂直的方向地球重力場。這使得實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，大大降低了重力和波動影響。進(jìn)而精密扭秤成為常見的實(shí)驗(yàn)室測量工具，主要的測量方法：傾斜法、共振法、補(bǔ)償法和自由落體，下面的討論在自由落體測量G上進(jìn)行。3 用自由落體法測量G自由落體測G是一種測量精度低于扭秤的方法，而扭秤測定引力常數(shù)G是容易受到外界干擾的影響，但是二者系統(tǒng)誤差有差異，所以可以充分利用

9、扭秤的方法的結(jié)果，以測量引力常數(shù)G。在施瓦茨實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從不同的區(qū)域和不同的時(shí)間上來使用絕對重力儀，測量萬有引力常數(shù)G，從而提高其準(zhǔn)確性。3.1 自由落體法原理重力加速度g與位移z對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為 （1）（1）式的解為：Z（t）= （2）為初始位移，為初始速度。假若與重力梯度的影響有關(guān)，重力加速度g與位移z對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ：+z (3) 其中式中為梯度。絕對重力儀的理論計(jì)算公式是Z（t）= (4)(4)式是(3)式的解，測定出位移Z（t），該位移是自由落體質(zhì)量在時(shí)間t上所對應(yīng)的，再用最小二乘法解得局部重力加速度和擾動重力加速度之和。 若考慮到擾動質(zhì)量，則 (3)式變?yōu)槎A常微

10、分方程： + z+ P(z, G) （5）P(z, G) 為擾動加速度，由上式解得不同時(shí)間t對應(yīng)不同位移z(t)，重力加速度 作用的結(jié)果就是此時(shí)的位移時(shí)間數(shù)據(jù)對。（6）式可求得擾動加速度: P(z, G)= (6)為落體質(zhì)量， 為落體密度，為擾動質(zhì)量密度， 為落體體積，為擾動質(zhì)量體積，G為萬有引力常數(shù)。如果擾動質(zhì)量和落體質(zhì)量都是圓柱體，且前者為空心的，則在柱坐標(biāo)下則有：P(z,G)= （7）假定值給定的前提下，落體的上下兩個(gè)位置放置的擾動質(zhì)量所得到的差值，就是此時(shí)的理論值。絕對重力儀測得實(shí)測，又G與g是線性關(guān)系，則由（8）式可得實(shí)測的精確的G值： （8）為什么不使用一個(gè)位置處重力值而要使用上下

11、兩個(gè)不等處的引力差異值呢？一是因?yàn)闇y量信噪比由此提升，二是因?yàn)橥饨缬绊懣梢栽诙痰臅r(shí)間內(nèi)消除。測量原理圖如下圖1所示。 圖1 測量原理圖3.2 測量3.2.1 擾動質(zhì)量形狀及位置的確定空心圓環(huán)形用來提高對稱性。擾動質(zhì)量的設(shè)計(jì)就用這種樣式，絕對重力儀可以放置在空心部分。這樣設(shè)計(jì)形狀是根據(jù)相等的高度和直徑的原理，因?yàn)?，同樣質(zhì)量的前提下，當(dāng)幾乎相等的高度和直徑，生成最大擾動加速度。擾動質(zhì)量的材料選擇鉛，一是由于鉛的密度大，二是由于金屬如鉛、鎢相比更經(jīng)濟(jì)。在實(shí)驗(yàn)前測量鉛塊的質(zhì)量、密度、形狀以及大小的量。在同一時(shí)間，確定使用非磁性的材料。重力儀擾動加速度計(jì)算表明，有兩個(gè)極端值（如圖2所示)，鉛塊處于這兩個(gè)

12、值時(shí)，擾動重力差最大。 圖2高度的變化對擾動重力加速度影響的走勢圖3.2.2 重力加速度的測量在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行時(shí)，為了進(jìn)行校正，就得用重力儀測定相對重力。擾動質(zhì)量重力值的測量，必須測量其在最佳位置的上部和下部時(shí)的值，并利用FG5絕對重力儀。重復(fù)測量一定的時(shí)間，可以通過以下方式獲得一定數(shù)量的重力值。此實(shí)驗(yàn)共進(jìn)行了兩次測量，第一次測量進(jìn)行了12h 20min，總計(jì)有3800次落體，共測得38個(gè)重力數(shù)據(jù)(如圖3(a)。第二次測量進(jìn)行了26h 50min，共計(jì)有3780次落體，共測得54個(gè)重力數(shù)據(jù)(如圖3(b)。 圖3 實(shí)測重力數(shù)據(jù)3.3 計(jì)算過程（i）因?yàn)镕G5重力儀只能測量絕對重力值，所以要修改儀表的測

13、量軟件。要得到微分方程(5)式的解，就要先明確落體質(zhì)量初始位移、速度以及初始和結(jié)束時(shí)間。 （ii）根據(jù)(5)式，采用四階Runge-Kutta法解二階常微分方程，從而得到不同時(shí)間所對應(yīng)的位移。為了獲得一組位移時(shí)間數(shù)據(jù)對的理論值，重力儀記錄了落體質(zhì)量自由下落時(shí)的150個(gè)數(shù)據(jù)對。因?yàn)橄侣溥^程中位移的變化，所以每個(gè)位移均要利用(2)式進(jìn)行數(shù)值積分。 （iii）理論重力加速度的計(jì)算，可以由(3)式所得的位移時(shí)間數(shù)據(jù)對結(jié)合(4)式的最小二乘法計(jì)算求得。在給定G值條件下，擾動重力差的理論值是擾動質(zhì)量分別置于上下最佳位置時(shí)的重力差值。 （iv）FG5測得的絕對重力值的改正要用重力儀記錄的相對重力值來進(jìn)行，消

14、除極地運(yùn)動、地球潮汐、氣壓等影響。采用三段重力差分法，實(shí)測重力數(shù)據(jù)。擾動重力差測量值需要使用正確的數(shù)據(jù)。 （v）計(jì)算實(shí)測萬有引力常數(shù)G可用關(guān)系式：3.4 計(jì)算結(jié)果在第一次測量中，其特征在于，一組的重力差大于兩倍，因錯誤而丟棄，并最終為18套重力差，圖4所示的（a）中的引力常數(shù)G平均值計(jì)算，可以通過以下方式獲得6.6771×/(kg·)在第二次測量，丟棄7個(gè)重力差誤差較大的組，20個(gè)組的重力差，通過以下計(jì)算方式獲得引力常數(shù)G的值，如圖4（b）所示，其平均值6.6558×/(kg·)。 兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中得到的最終值6.6665×/(kg·)圖4

15、 實(shí)測G的結(jié)果3.5 誤差分析影響G值的誤差主要由重力測量誤差和理論計(jì)算誤差兩部分構(gòu)成。FG5重力儀誤差、干涉條紋的選擇對結(jié)果的影響以及對測量結(jié)果等的外部干擾構(gòu)成了重力測量誤差。該儀器的偏差主要是由垂直校正的激光束、干涉儀相位偏差以及時(shí)鐘頻率偏差產(chǎn)生。干涉激光控制反饋電路也由開始的落體聲諧振脈沖進(jìn)一步刺激導(dǎo)致干涉儀系統(tǒng)偏差，除去儀器本身的偏差造成的，外部干擾將產(chǎn)生一定的影響。在FG5重力儀內(nèi)的電動馬達(dá)下落時(shí)會產(chǎn)生一個(gè)磁場信號的干擾，置于下部時(shí)，就會屏蔽磁場擾動質(zhì)量的導(dǎo)通特性，當(dāng)置于上部時(shí)，該屏蔽消失，因此，會產(chǎn)生不同的系統(tǒng)誤差。擾動質(zhì)量的測量和定位誤差、不含有擾動質(zhì)量實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之前背景場的重力、有

16、關(guān)參數(shù)的計(jì)算誤差和重力梯度值測量誤差共同導(dǎo)致理論計(jì)算誤差。重力測量結(jié)果之間的不同是由選擇開始干涉條紋的差異所導(dǎo)致的。在實(shí)際測量中，在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中重力測量偏差是0.451×m/，從而使得實(shí)測G的偏差是0.0531× /(kg·)；g? )；第二個(gè)實(shí)驗(yàn)重力測量偏差是0.559×m/，G的偏差是0.0570×m/擾動質(zhì)量的厚度、密度測量偏差、定位偏差、測量的內(nèi)徑和外徑偏差、擾動質(zhì)量和落體質(zhì)量的軸線偏差所造成的偏差統(tǒng)稱擾動質(zhì)量的測量和定位偏差。其中，擾動質(zhì)量的定位偏差對結(jié)果的干擾占主要地位。 表1所列兩次實(shí)驗(yàn)的各項(xiàng)誤差及其產(chǎn)生的G值的誤差，誤差平方和的

17、平方根為總誤差，可通過以下方式獲得。由表一計(jì)算得平均總誤差是0.0554×/(kg·)，相對誤差是8310×，并可以得出，重力測量產(chǎn)生的誤差占總誤差的比重大。 此外，在觀測和實(shí)驗(yàn)方面可以通過以下兩個(gè)方面來提高相對測量精度：一個(gè)方面是增加重力測量的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，若將重力差數(shù)據(jù)增加到2500組左右，那么重力測量誤差就會減小一個(gè)數(shù)量級；另一個(gè)方面是增加擾動重力差。但只有在觀察和實(shí)驗(yàn)方面，來提高準(zhǔn)確度是有限的，考慮到現(xiàn)有的重力儀的精度和分辨率，G的測量精度可提高至約5倍。改善的絕對重力儀的精度和觀測和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量的G的測量精度可能會增加至100ppm表1 誤差統(tǒng)計(jì)4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論根

18、據(jù)以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，可測得G為(6.6665±0.0554)×/(kg·)本實(shí)驗(yàn)用FG5絕對重力儀，為了提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，經(jīng)過了大量的重復(fù)精確測量。重力儀測量精度和分辨率也有望改善，需要嚴(yán)格控制實(shí)際測量中的眾多偏差。運(yùn)用自由落體的方法，為G的精確測量奠定了基礎(chǔ)。 5 結(jié)束語長期以來，精確測量引力常數(shù)G以及深入研究引力基本特性是物理學(xué)最基礎(chǔ)的研究領(lǐng)域之一。就測G而言，G測量的準(zhǔn)確性對引力相互作用性質(zhì)的認(rèn)識，甚至對地球物理學(xué)、天體物理等都具有重要意義。因此，G的測量過程是人們?nèi)?、系統(tǒng)地認(rèn)識和研究各種實(shí)驗(yàn)工具的系統(tǒng)誤差過程。目前，引力常數(shù)G的實(shí)驗(yàn)精度仍是所有基本物理常

19、數(shù)中最差的，可能存在的原因是不同測G的方法中存在著較大的誤差。我們就應(yīng)該用多種方法來測量。這樣實(shí)驗(yàn)的動機(jī)是在同一實(shí)驗(yàn)室采用多種不同方法進(jìn)行G的精確測量，尋找多種方法可能存在的誤差，并期待得到相同的G值。參考文獻(xiàn)1 Cavendish H. Experiments to determine the density of the Earth. Philos Trans Roy Soc Lon,1798, 88: 4695262 Boer H,Haars H,Michaelis W. A new experiment for the determination of the Newtonian gr

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