材料力學(xué)I實(shí)用教案

1、16-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法(ji f). . 靜定(jn dn)(jn dn)與超靜定(jn dn)(jn dn)的概念靜定(jn dn)圖a中的內(nèi)力FN1 ,FN2 能用二個(gè)獨(dú)立的平衡方程求解靜定問題. .第1頁/共66頁第一頁，共67頁。2(b)一次超靜定(jn dn)為減小桿1 ,21 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A A的位移, ,增加了桿3.3.圖b b中內(nèi)力FN1 ,FN2 ,FN3FN1 ,FN2 ,FN3不能用二個(gè)獨(dú)立的平衡(pnghng)(pnghng)方程求解超靜定問題. .未知數(shù)個(gè)數(shù)(3)(3)與獨(dú)立的平衡(pnghng)(pnghng)方程個(gè)數(shù)(2)(2)之差(

2、1) (1) 超靜定次數(shù)(1).(1).第2頁/共66頁第二頁，共67頁。3FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2FAxABFBFACFC靜定(jn dn)梁一次超靜定(jn dn)梁第3頁/共66頁第三頁，共67頁。4. . 解超靜定問題的一般(ybn)(ybn)步驟基本(jbn)(jbn)靜定系(primary (primary statically determinate statically determinate system)system)1.1.解除多余約束桿3123第4頁/共66頁第四頁，共67頁。52.在基本靜定系上加上原荷載(hzi)及多余反力并使多余約束處滿足

3、位移( (變形(bin xng)(bin xng)相容方程相當(dāng)(xingdng)(xingdng)系統(tǒng) (equivalent system)(equivalent system)A12BCA3ADA AA AFN3A FFN3第5頁/共66頁第五頁，共67頁。63. 3. 對(duì)相當(dāng)(xingdng)(xingdng)系統(tǒng)求解A12BCA3ADA AFN3A FFN3l1（1 1）平衡(pnghng)(pnghng)方程cos2N3N1FFF（2 2）相容(xin rn)(xin rn)方程1coslAAA FN1FN2第6頁/共66頁第六頁，共67頁。7（3 3）物理(wl)(wl)方程111

4、N11AElFlAElFA3313Ncos （4 4）求解(qi ji)(qi ji)cos2cos311332111NAEAEAFEFcos231133333NAEAEAFEFA12BCA3ADA AFN3A FFN3l1FN1FN2超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力一般(ybn)(ybn)與剛度有關(guān). .第7頁/共66頁第七頁，共67頁。8基本靜定系A(chǔ)Bl補(bǔ)充(bchng)(bchng)方程：048384534 EIlFEIqlC可求出多余(duy)(duy)反力FCFCFC相容方程:Cq+CFc=0 相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2ql超靜定梁yxl/2l/2CABq第8頁/共66頁第八頁，共67頁。9. 注意事項(xiàng) (

5、1) 超靜定次數(shù)=多余約束數(shù)=多余反力數(shù)=位移相容(xin rn)方程數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù),故任何超靜定問題都是可以求解的. (2) 求出多余反力后,超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(nil)和位移等均可用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算. (3) (3) 無論怎樣選擇多余約束, ,只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況(qngkung)(qngkung)和約束條件與原超靜定系統(tǒng)相同, ,則所得最終結(jié)果是一樣的. .第9頁/共66頁第九頁，共67頁。10 (4) 多余約束的選擇雖然(surn)是任意的,但應(yīng)以計(jì)算方便為原則.圖示連續(xù)梁,若取B處支座(zh zu)為多余約束則求解比較復(fù)雜.xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq第10頁/

6、共66頁第十頁，共67頁。116-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. . 拉壓超靜定(jn dn)(jn dn)基本問題【例1】求圖a示等直桿AB的約束反力和C截面的位移(wiy).桿的剛度為EA.【解】取固定(gdng)端B為多余約束,R為多余反力.相當(dāng)系統(tǒng)如圖b,相容方程:B0AFalBC(a)AFalBCR B=0(b)第11頁/共66頁第十一頁，共67頁。12（1）平衡方程）平衡方程 FAF R =0（2）相容）相容(xin rn)方程方程B BF+ BR0（3）物理方程）物理方程EAFaBF EARlBR （4）求解(qi ji)lFaR lalFFA)( EAlaalFEAaFAC

7、)( 由相當(dāng)(xingdng)系統(tǒng)圖b:AFalBCR B=0(b)FAAlB BRRAFalB BFC第12頁/共66頁第十二頁，共67頁。13拉壓超靜定問題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足(mnz)變形相容方程:DlDlAC+DlBC0.變形和位移在數(shù)值上密切相關(guān),可用已知的位移條件B0代替相容方程.3.小變形情況下,利用疊加法求位移時(shí),均是利用構(gòu)件原始尺寸進(jìn)行計(jì)算,所以 BRRl/EA,而不用 BRR(l+ BF)/EA ,A為在F力作用下變形后橫截面的面積.第13頁/共66頁第十三頁，共67頁。qlAB(1)平衡平衡(pnghng)方程方程0FqlFNANB(2)相容相容(xin rn)方程方程0l(

8、3)物理物理(wl)方程方程lNEAdxxFl0)(2qlFNA(4)求解求解2qlFNB【例例2】圖示桿兩端固定圖示桿兩端固定,受均布載荷受均布載荷q作用作用,求約束求約束反力反力.qABFNAFNBlqxFxFNAN)(qdxFN(x)FN(x)+dFN(x)qdxxFdN)(第14頁/共66頁第十四頁，共67頁。15【例3】試求各桿的內(nèi)力(nil).已知梁AB為剛性,各桿的剛度均為EA.aaaACDB132EFFa【解】二次超靜定問題FN245oFFAyFAxFN1FN3aaaACBDCF3基本靜定系基本靜定系A(chǔ)B取桿1和桿2為多余(duy)約束,FN1和FN2為多余(duy)反力.第1

9、5頁/共66頁第十五頁，共67頁。16（1）平衡）平衡(pnghng)方程方程032222N3N1NaFaFFaaFmAFN245oFFAyFAxFN1FN3aaaACBD對(duì)相當(dāng)對(duì)相當(dāng)(xingdng)系統(tǒng)系統(tǒng)第16頁/共66頁第十六頁，共67頁。17（2）相容）相容(xin rn)方程方程123122llll D l2FC l1EFCA l1 l3 l2BD3CD45oC D 12第17頁/共66頁第十七頁，共67頁。18（3）物理）物理(wl)方程方程EAaFlEAaFlEAaFl23N32N21N1D l2FC l1EFCA l1 l3 l2BD3CD45oC D 12第18頁/共66頁

10、第十八頁，共67頁。19)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF （4）求解(qi ji)第19頁/共66頁第十九頁，共67頁。20II. 裝配應(yīng)力(yngl)和溫度應(yīng)力(yngl)(1) 裝配(zhungpi)應(yīng)力超靜定桿系(結(jié)構(gòu)(jigu)由于存在多余約束,故如果各桿件在制造時(shí)長度不匹配,則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力裝配內(nèi)力,以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力.第20頁/共66頁第二十頁，共67頁。21（1 1）對(duì)( (裝配) )平衡節(jié)點(diǎn)(ji din)A(ji din)A列平衡方程0cos21N3NFFFN

11、1FN2FN3l3AA （2 2）相容(xin rn)(xin rn)方程eAAl3cos1lAA（3 3）物理(wl)(wl)方程333N33111N11AElFlAElFl第21頁/共66頁第二十一頁，共67頁。22（4 4）求解(qi ji)(qi ji) 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）各桿的裝配應(yīng)力(yngl)(yngl)只需將裝配內(nèi)力( (軸力) )除以桿的橫截面面積即得. .計(jì)算超靜定桿系( (結(jié)構(gòu)) )中裝配內(nèi)力的關(guān)鍵是建立正確(zhngqu)(zhngqu)的相容方程. . 壓力壓力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFF

12、F第22頁/共66頁第二十二頁，共67頁。BAC12aaA1B1C13lC1C第23頁/共66頁第二十三頁，共67頁。（2）相容(xin rn)方程ell31（1）平衡(pnghng)方程EAlFl113333AElFl（3）物理(wl)方程N(yùn)2N1N322FFFaaFN1FN2FN3EAllAEAeEAEFFF22223333213（4）求解 l1l eBAC12A1C1B13 l3第24頁/共66頁第二十四頁，共67頁。25(2) 溫度(wnd)應(yīng)力超靜定桿系由于存在多余約束, ,桿件因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力. .計(jì)算溫度應(yīng)力的關(guān)鍵在于建立正確的相容方程和物理方

13、程. . 鐵路上無縫(w fn)(w fn)線路的長鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮, ,其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力. .第25頁/共66頁第二十五頁，共67頁。AABl0 lB lFFRBAB lT第26頁/共66頁第二十六頁，共67頁。0FTlllEAlFlRBFlTllTTEAFlRBTEAFlRBTAABlB lFFRBAB lT第27頁/共66頁第二十七頁，共67頁。LLLLFTFT2211AELFLNF1111LTLT11AELFLNF2222LTLT22021NNFFAEAETAEAEFFNN112212221121)(12FN1FN2第28頁/共66頁第二十八頁，共67

14、頁。29【例6】兩端固定的圓截面等直桿AB,在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用(zuyng),如圖a所示.已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp.試求桿兩端的約束反力偶矩及C截面的扭轉(zhuǎn)角.6-3 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(nizhun)超靜超靜定問題定問題第29頁/共66頁第二十九頁，共67頁。30【解】1. 平衡(pnghng)方程0eBAMMMMAMB2. 相容(xin rn)方程0CBACAB第30頁/共66頁第三十頁，共67頁。313. 物理(wl)方程PAACGIaMPBCBGIbM4. 求解(qi ji)lbMMAelaMMBeMAMB第31頁/共66頁第三十一頁，共67頁。(2)相容相容(xin rn)方程方程0

15、1212IGLTP1111(1)平衡平衡(pnghng)方程方程021MTTe21Me【例【例7】抗扭剛度為】抗扭剛度為G1IP1的實(shí)心圓軸的實(shí)心圓軸1,套在抗扭剛度為套在抗扭剛度為G2IP2的空心圓軸的空心圓軸2內(nèi)內(nèi).設(shè)二者無相對(duì)滑動(dòng)設(shè)二者無相對(duì)滑動(dòng),求施加求施加(shji)Me時(shí)時(shí),橫截面上的切應(yīng)力和切應(yīng)變橫截面上的切應(yīng)力和切應(yīng)變.T2T1(3)物理方程物理方程IGLTP2222第32頁/共66頁第三十二頁，共67頁。,0,12211111RIGIGMGPPe,212211222RRIGIGMGPPe(4)求解求解(qi ji),0,122111111RIGIGMGITPPeP,21221

16、12222RRIGIGMGITPPeP【思考】切應(yīng)力和切應(yīng)變【思考】切應(yīng)力和切應(yīng)變(yngbin)沿半徑連續(xù)嗎沿半徑連續(xù)嗎?第33頁/共66頁第三十三頁，共67頁。346-4 簡單簡單(jindn)超靜定梁超靜定梁.超靜定(jn dn)梁的解法相當(dāng)(xingdng)系統(tǒng)相容方程: wB=0選懸臂梁為基本靜定系一次超靜定梁B第34頁/共66頁第三十四頁，共67頁。35相當(dāng)系統(tǒng)相容方程: wB=0用疊加法求解相當(dāng)(xingdng)系統(tǒng)EIqlwBq84EIlFwBBF33第35頁/共66頁第三十五頁，共67頁。36由相容(xin rn)(xin rn)方程wB=wBq+wBF=0wB=wBq+wB

17、F=0得03834EIlFEIqlBqlFB83由靜力平衡(pnghng)(pnghng)方程得 281,85qlMqlFAA相當(dāng)系統(tǒng)相容方程: wB=0EIqlwBq84EIlFwBBF33第36頁/共66頁第三十六頁，共67頁。37該梁的剪力圖(lt)(lt)和彎矩圖可由相當(dāng)系統(tǒng)求得. .【思考】該梁可否取簡支梁為基本靜定(jn dn)(jn dn)系求解? ?如何求? ?第37頁/共66頁第三十七頁，共67頁。38【例8】求桿AD的軸力FN.梁AC和桿AD彈性模量(tn xn m lin)為E;桿AD橫截面積為A,梁AC慣性矩為I .a2a2qqABClD【解】選梁AC為基本(jbn)靜

18、定系,桿AD為多余約束lDFNlAa2a2qqABCFNwA相容(xin rn)方程:wA=l相當(dāng)系統(tǒng)1.對(duì)桿ADEAlFlN第38頁/共66頁第三十八頁，共67頁。39aABwAFN1FNa2aABCFNwAFN2aFNBa2aABCFNwAFNEIaFEIaaFB323)2)(2NN)(33N1EIaFwAFN)(3N21EIaFwwwAFNAFNAFN)(323N2EIaFawBAFN2.對(duì)梁AC(1) 僅施加(shji)FN第39頁/共66頁第三十九頁，共67頁。40a2a2qqABCwAq)(1274EIqawAqEIaFEIqawwwAqAFNA3N4127EIaFEIqaEAlF

19、3N4N1273.由wA=l得) (12734NAalIAqaF(2)僅施加(shji)q(3)同時(shí)(tngsh)施加FN和qa2a2qqABCFNwA第40頁/共66頁第四十頁，共67頁。41 試求圖a a所示等截面連續(xù)梁的約束反力FA , FB , FC,FA , FB , FC,并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖. .已知梁的彎曲(wnq)(wnq)剛度EI=5EI=5106 Nm2.106 Nm2.例題例題(lt) 6-8第41頁/共66頁第四十一頁，共67頁。421. 該梁有三個(gè)未知力FA、 FB 、 FC ,僅有兩個(gè)平衡(pnghng)方程.故為一次超靜定問題.例題例題(lt) 6-8解：

20、第42頁/共66頁第四十二頁，共67頁。43 2. 若取中間支座B處阻止(zzh)其左、右兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為“多余”約束,則B截面上的一對(duì)彎矩MB為“多余”未知力,相當(dāng)系統(tǒng)如圖b.例題例題(lt) 6-8第43頁/共66頁第四十三頁，共67頁。44BB 相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件是B處兩側(cè)截面的相對(duì)(xingdu)轉(zhuǎn)角等于零,即例題例題(lt) 6-83. 查關(guān)于梁位移(wiy)公式的附錄可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 第44頁/共66頁第四十四頁，共67頁。45 4. 將qB qB代入位移(wiy)相容條件補(bǔ)充方程,

21、從而解得 這里的負(fù)號(hào)表示MB的實(shí)際(shj)轉(zhuǎn)向與圖b中所設(shè)相反,即為MB負(fù)彎矩.mkN80.31 BM例題例題(lt) 6-8第45頁/共66頁第四十五頁，共67頁。465. 利用利用(lyng)圖圖b可得約束力分別為可得約束力分別為 kN64.11kN66kN05.32CBAFFF例題例題(lt) 6-8第46頁/共66頁第四十六頁，共67頁。47繪出剪力圖(lt)和彎矩圖分別如圖c,d所示.(c)(d)FS例題例題(lt) 6-8第47頁/共66頁第四十七頁，共67頁。48 超靜定梁多余(duy)約束的選擇可有多種情況,例如,若以支座B為多余(duy)約束,FB為多余(duy)未知力,位

22、移條件為wB=0,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(e)所示.有如以支座C為多余(duy)約束,FC為多余(duy)未知,位移條件為wC=0,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(f)所示. 位移條件容易計(jì)算的相當(dāng)系統(tǒng)就是最適宜的.(f)FC(e)FB例題例題(lt) 6-8第48頁/共66頁第四十八頁，共67頁。49* *II. II. 支座沉陷和溫度(wnd)(wnd)變化對(duì)超靜定梁的影響 超靜定梁由于有“多余”約束存在(cnzi),(cnzi),因而支座的不均勻沉陷和梁的上, ,下表面溫度的差異會(huì)對(duì)梁的約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響, ,在工程實(shí)踐中這是一個(gè)重要問題. .第49頁/共66頁第四十九頁，共67頁。50(1) 支座(zh z

23、u)不均勻沉陷的影響 圖a a所示一次超靜定梁, ,在荷載作用下三個(gè)支座若發(fā)生沉陷A A 、B B 、C,C,而沉陷后的支點(diǎn)A1 A1 、B1 B1 、C1C1不在同一直線上時(shí)( (即沉陷不均勻(jnyn)(jnyn)時(shí)),),支座約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻(jnyn)(jnyn)沉陷時(shí)的值. .而支座均勻(jnyn)(jnyn)沉陷時(shí)梁的約束力和內(nèi)力, ,由于支座沉陷量與梁的跨度相比是微小的, ,故可認(rèn)為與支座無沉陷時(shí)相同. .第50頁/共66頁第五十頁，共67頁。51210CABBBBw 現(xiàn)按如圖a a中所示各支點(diǎn)沉陷B B C C A A的情況進(jìn)行分析. .此時(shí)(c sh),(c

24、sh),支座B B相對(duì)于支座A A 、C C 沉陷后的點(diǎn)A1 A1 、C1 C1 的連線有位移第51頁/共66頁第五十一頁，共67頁。52于是,如以支座B1作為“多余”約束,以約束力FB為“多余”未知力,則作為基本靜定系的簡支梁A1C1(參見圖b)在荷載 q 和“多余”未知力FB共同作用下應(yīng)滿足(mnz)的位移相容條件就是210CABBBBw 第52頁/共66頁第五十二頁，共67頁。53于是得補(bǔ)充(bchng)(bchng)方程由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIq

25、lF其中的wBwB按疊加原理(yunl)(yunl)有( (參見圖c c、d):d):第53頁/共66頁第五十三頁，共67頁。54再由靜力平衡(pnghng)(pnghng)方程可得 23833CABCAlEIqlFF第54頁/共66頁第五十四頁，共67頁。55(2) 梁的上,下表面溫度差異(chy)的影響 圖a a所示兩端固定(gdng)(gdng)的梁ABAB在溫度為 t0 t0 時(shí)安裝就位, ,其后, ,由于梁的頂面溫度升高至 t1, t1,底面溫度升高至 t2, t2,且 t2t1, t2t1,從而產(chǎn)生約束力如圖中所示. . 由于未知的約束力有6 6個(gè), ,而獨(dú)立(dl)(dl)的平衡

26、方程只有3 3個(gè), ,故為三次超靜定問題. .l第55頁/共66頁第五十五頁，共67頁。56 現(xiàn)將右邊的固定端B B處的3 3個(gè)約束(yush)(yush)作為“多余”約束(yush),(yush),則解除“多余”約束(yush)(yush)后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁. .它在上, ,下表面有溫差(wnch)(wnch)的情況下, ,右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角qBtqBt和撓度wBt(wBt(見圖c)c)以及軸向位移Bt.Bt.第56頁/共66頁第五十六頁，共67頁。57 如果忽略“多余”未知力FBx對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的影響,則由上,下表面溫差和“多余”未知力共同(gngtng)引起的位移符合下列相容條件時(shí)

27、,圖b所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 第57頁/共66頁第五十七頁，共67頁。58式中一些符號(hào)(fho)(fho)的意義見圖c c、d d、e.e.0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 第58頁/共66頁第五十八頁，共67頁。59 現(xiàn)在先來求qBtqBt和wBtwBt與梁的上, ,下表面(biomin)(biomin)溫差(t2- t1)(t2- t1)之間的物理關(guān)系. . 從上面所示的圖a a中取出的微段dx, dx, 當(dāng)其下表面和上表面的溫度由t0t0分別升高至t2t2和t1t1時(shí), ,右側(cè)(yu c)(yu c)截面相對(duì)于左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角dq dq 由圖b b可知為 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的負(fù)號(hào)用以表示(biosh)(biosh)圖a a所示坐標(biāo)系中該轉(zhuǎn)角 dq dq 為負(fù). .第59頁/共66頁第五十九頁，共67頁。60將此式積分(jfn),(jfn),并利用邊界條件0| 0|dd|000 xxxwxw， 得 212122 xhttwxhttll ，根據(jù)上式可知, ,該懸臂梁因溫度影響