理論力學(xué)第三章習(xí)題

1、第三章習(xí)題 ( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22) 3.1 半徑為的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均質(zhì)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端則在碗外，在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為，試證棒的全長(zhǎng)為3.1解 如題3.1.1圖。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長(zhǎng)度為。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過(guò)點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即： 由式得：又由于即將代入得： 3.6把分子看作相互間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，試決定以下兩種情況下分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：二原子分子。它們的質(zhì)量是，距離是。形狀為等腰三角形的三原子分子，三角

2、形的高是，底邊的長(zhǎng)度為。底邊上兩個(gè)原子的質(zhì)量為，頂點(diǎn)上的為。 3.6解 （a）取二原子的連線為軸，而軸與軸通過(guò)質(zhì)心。為質(zhì)心，則，軸即為中心慣量主軸。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（如題3.6.2圖）故且 由得所以中心慣量主軸：（b）如題3.6.3圖所示，該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。為三個(gè)原子分子的質(zhì)心。由對(duì)稱(chēng)性可知，圖中、軸即為中心慣量主軸。設(shè)、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。所以=又由于由得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.7如橢球方程為試求此橢球繞其三個(gè)中心主軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)此橢球的質(zhì)量為，并且密度是常數(shù)。3.7解 如題3.7.1圖所示。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為

3、： 可求該切面的面積故積分同理可求 故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得：3.9立方體繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的回轉(zhuǎn)半徑為試證明之。式中為對(duì)角線的長(zhǎng)度。3.9解 如題3.9.1圖所示坐標(biāo)系。為正方體中心。、分別與正方體的邊平行。由對(duì)稱(chēng)性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，則正方體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得易求正方體的對(duì)角線與、軸的夾角都為。且故正方體繞對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又由于繞對(duì)角線的回轉(zhuǎn)半徑由得 3.10一均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為，放在粗糙水平桌上，繞通過(guò)其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)的角速度為。已知圓盤(pán)與桌面的摩擦系數(shù)為，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后盤(pán)將靜止？3.10解

4、 如題3.10.1圖。軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤(pán)的密度為。設(shè)盤(pán)沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則沿的方向有即為轉(zhuǎn)盤(pán)繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（為盤(pán)的質(zhì)量）， （為盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，負(fù)號(hào)因?yàn)橐?guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）=由得又因?yàn)楣仕缘?3.12矩形均質(zhì)薄片，邊長(zhǎng)為與，重為，繞豎直軸以初角速轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)薄片的每一部分均受到空氣的阻力，其方向垂直與薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)為。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，薄片的角速減為初角速的一半？3.12解 如題3.12.1圖，第3.12.1圖坐標(biāo)與薄片固連，則沿軸方向有： 且現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域 ，該區(qū)域受到的阻力對(duì)軸的力矩 所以又薄片對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由得：當(dāng)時(shí)，3.13一段半徑為

5、已知的均質(zhì)圓弧，繞通過(guò)弧線垂直的軸線擺動(dòng)。求其作微振動(dòng)時(shí)的周期。3.13解 如題3.13.1圖所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)很小時(shí)，代入上式得：圓弧上對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度 又其中，將代入得解式得通解微振動(dòng)周期3.20質(zhì)量為半徑為的均質(zhì)圓柱體放在粗糙水平面上。柱的外面繞有輕繩，繩子跨過(guò)一個(gè)很輕的滑輪，并懸掛一質(zhì)量為的物體。設(shè)圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的。求圓柱體質(zhì)心的加速度，物體的加速度及繩中張力。3.20解 如題3.20.1圖

6、，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知： 對(duì)于滑塊。由動(dòng)量定理知： 又無(wú)滑滾動(dòng)條件： 兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：以為基點(diǎn)：假設(shè)繩不可拉伸。則。故由解得：3.21一飛輪有一半徑為的桿軸。飛輪及桿軸對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。在桿軸上繞有細(xì)而輕的繩子，繩子的另一端掛一質(zhì)量為的重物。如飛輪受到阻尼力矩的作用，求飛輪的角加速度。若飛輪轉(zhuǎn)過(guò)角后，繩子與桿軸脫離，并再轉(zhuǎn)過(guò)角后，飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求飛輪所受到的阻尼力矩的量值。3.21解 （1）如題3.21.1圖。設(shè)軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。繩子上的彈力為。對(duì)于飛輪，根據(jù)動(dòng)量矩定理，在軸方向：為物塊下落的加速度。因?yàn)槲飰K的加速度應(yīng)與點(diǎn)加速度一樣大小，故 由解得：（2） 假若飛輪受到的阻尼力矩為的話，由（1）問(wèn)知，飛輪的角加速度?，F(xiàn)在來(lái)求繩子脫落以后飛輪的角加速度。同樣根據(jù)動(dòng)量矩，在軸方向：可以證明：類(lèi)似于位移、加速度、初速度和末速度之間的關(guān)系式。角位移、角加速度、角初速度、角末速度之間也有類(lèi)似的關(guān)系：對(duì)于繩子脫落到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程有：式中指繩子脫落時(shí)飛輪的角加速度，由解得： 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，質(zhì)量為，將光滑的一面放在水平桌上，木板上放一質(zhì)量為的球。若板沿其長(zhǎng)度方向突然有一速度，問(wèn)此球經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后開(kāi)始滾動(dòng)而不滑動(dòng)？3.22解 如