第一層練悟篇 第3講 不等式與合情推理 解析版

1、第 3 講不等式與合情推理不等式的性質(zhì)及解法1(2019·全國卷)若 a>b，則()Aln(ab)>0Ca3b3>0題組練透B3a<3bD|a|>|b|2已知關(guān)于 x 的不等式(ax1)(x1)<0 的解集是(，1)è2，ø，則 a解析：選 C法一：不妨設(shè) a1，b2，則 a>b，可驗(yàn)證 A、B、D 錯(cuò)誤，只有 C正確故選 C.法二：由函數(shù) yln x 的

2、圖象(圖略)知，當(dāng) 0<ab<1 時(shí)，ln (ab)<0，故 A 不正確；因?yàn)楹瘮?shù) y3x 在 R 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) a>b 時(shí)，3a>3b，故 B 不正確；因?yàn)楹瘮?shù) yx3 在 R上單調(diào)遞增，所以當(dāng) a>b 時(shí)，a3>b3，即 a3b3>0，故 C 正確；當(dāng) b<a<0 時(shí)，|a|<|b|，故

3、60;D不正確故選 C.æ1ö()A2B2C12D12解析：選 B根據(jù)一元二次不等式與之對應(yīng)方程的關(guān)系知1，  是一元二次方程 ax2(a1)x10 的兩個(gè)根，所以1×æ ö1，解得 a2.故選 B.3設(shè) p：x2x20>0，q： 1x2<0，則 p 是 q 的(   )121è2øa|x|2A充分不必要條件C充要條件B必要不充分條件D

4、既不充分也不必要條件1x2解析：選 Ap：由 x2x20>0，解得 x>5 或 x<4.q：由<0(1x2)(|x|2)<0，|x|2當(dāng) x0 時(shí)，可化為(x1)(x1)(x2)>0，解得 0x<1 或 x>2.1x2當(dāng) x<0 時(shí)，可化為(x1)(x1)(x2)<0，解得1<x<0 或 x<2，故<0 的解為 x<|x|22 或1<

5、;x<1 或 x>2，所以由 pq，但 q/p.故選 A.4若不等式(a24)x2(a2)x10 的解集是空集，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()A.è2，5øBë2，5øC.ë2，5ûDë2，5ø2æ6öé6ùé 6öé 6ö2<a<  .綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為ë

6、2，5ø.故選 B.f(5)0，解得 a，故 a 的取值范圍為è 5 ，ø.答案：è 5 ，ø解析：選 B當(dāng) a240 時(shí)，解得 a2 或 a2，當(dāng) a2 時(shí)，不等式可化為 4x10，解集不是空集，不符合題意；當(dāng) a2 時(shí)，不等式可化為10，此式不成立，解集為空ïìa24<0，集當(dāng) a240 時(shí)，要使不等式的解集

7、為空集，則有í解得ïî(a2)24(a24)<0，6é6ö55若不等式 x2ax2>0 在區(qū)間1,5上有解，則 a 的取值范圍是_解析：由 a28>0，知方程 x2ax20 恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程 x2ax20 必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是23æ23ö5æ23ö題后悟通1明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式 ax2bx

8、c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集；(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解2掌握不等式恒成立問題的解題方法(1)f(x)>a 對一切 xI 恒成立f(x)min>a，f(x)<a 對一切 xI 恒成立f(x)max<a；(2)f(x)>g(x)對一切 xI 恒成立f(x)的圖象在 g(x)的圖象的上方；(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)一般地，

9、知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)利用分離參數(shù)法時(shí)，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等提醒解形如一元二次不等式 ax2bxc>0 時(shí)，易忽視系數(shù) a 的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分 a>0，a<0 進(jìn)行討論.線性規(guī)劃問題ïîx1，題組練透ìïxy20，1(2019·天津高考)設(shè)變量 x，y 滿足約束條件íxy20，y1，y 的最大值為()則目標(biāo)函數(shù) z4xA2C5B3D6  作直線

10、0;l ：y4x，并進(jìn)行平移，顯然當(dāng) l  過點(diǎn) A(1,1)時(shí)，解析：選 C由約束條件作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示 z4xy 可化為 y4xz，00z 取得最大值，zmax4×(1)15.故選 C.ìï2xy20，2(2019·洛陽市統(tǒng)考)如果點(diǎn) P(x，y)滿足íx2y10，ïîxy20，上，則|PQ|的取值范圍是()點(diǎn) Q 在曲線 x2(y2)21A 

11、51， 101C 101,5B 51， 101D 51,5解析：選 D作出點(diǎn) P 滿足的線性約束條件表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)，因?yàn)辄c(diǎn) Q 所在圓的圓心為 M(0，2)，所以|PM|取得最小值的最優(yōu)解為(1,0)，取得最大值的最優(yōu)解為(0,2)，所以|PM|的最小值為 5，最大值為 4，又圓 M 的半徑為 1，所以|PQ|的取值范圍是 51,5故選 D.3某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為 

12、2 千元/件、1 千元/件甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在 A，B 兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用 A 設(shè)備 2 小時(shí)，B 設(shè)備 6 小時(shí)，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用 A 設(shè)備 3 小時(shí)，B 設(shè)備 1 小時(shí)A，B 兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為 480 小時(shí)、960 小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為()A320 千元C400 千元B360

13、0;千元D440 千元解析：選 B設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x 件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品 y 件，利潤為 z 千ïîìï2x3y480，元，則í6xy960，x，yN*，每月利潤 z2xy，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線 2xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過直線 2x3yz480 與直線 6xy960 的交點(diǎn) A(150,60)時(shí)， 取得最大值，故 z150×260&#

14、215;1360.max故選 B.ìï2x3y60，4(2019·全國卷)若變量 x，y 滿足約束條件íxy30，ïîy20，值是_解析：作出已知約束條件對應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線 y3xz 過點(diǎn) C 時(shí)，z 最小，即 z 最大ïïìxy30，ìx3，由í解得í即 C 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，îîï2x3y60&

15、#239;y0，故 zmax3×309.答案：9ìï3xy10，5(2019· 湖南省湘東六校聯(lián)考)若變量 x，y 滿足í3xy110，ïîy2，則 z3xy 的最大且 zaxy 的最小值為1，則實(shí)數(shù) a 的值為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，若 a3，則直z線 zaxy 經(jīng)過點(diǎn) B(1,2)時(shí)， 取得最小值，由 a21，得 

16、a1，與 a3 矛盾；若 0<a<3，則直線 zaxy 經(jīng)過點(diǎn) A(2,5)時(shí)，z 取得最小值，由 2a51，解得 a2；若 a0，則直線 zaxy 經(jīng)過點(diǎn) A(2,5)或 C(3,2)時(shí)，z 取得最小值，此時(shí) 2a51 或 3a21，解得 a2 或 a1，與 a0 矛盾綜上可知實(shí)數(shù) a 的值為 2.3(1)截距型：形如

17、60;zaxby，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù) zaxby 轉(zhuǎn)化為 y答案：2題后悟通記牢三種常見的目標(biāo)函數(shù)及其求法abzzxb，通過求直線的截距b的最值間接求出 z 的最值；(2)距離型：形如 z(xa)2(yb)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x，y)，定點(diǎn) M(a，b)，則 z|PM|2；(3)斜率型：形如 zybxa，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x，y)，定點(diǎn) M(a，b)，則 zkPM.提醒1忽視目標(biāo)函數(shù)中 y 的系數(shù)的正負(fù)，而由直線截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值2求解

18、含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值.基本不等式題組練透111已知正數(shù) a，b 的等比中項(xiàng)是 2，且 mba，nab，則 mn 的最小值是()A3C5B4D6解析：選 C由正數(shù) a，b 的等比中項(xiàng)是 2，可得 ab4，又 mba，nab，所以mnabab2   ab5     

19、60;                        B211112 5，當(dāng)且僅當(dāng) ab2 時(shí)取等號(hào)，故 mn 的最小值為 5.ab故選 C.142已知 P(a，b)為圓 x2y24 上任意一點(diǎn)，則當(dāng)a2b2取最小值時(shí)，a2 的值為()4A3

20、0;                             D3解析：選 CP(a，b)為圓 x2y24 上任意一點(diǎn)，a2b24.又 a0，b0，   2   2a4C14b1æ 

21、0;    ö·(a2b2)1æ5   b2 ø   è52b2· 4a2ö9，當(dāng)且僅當(dāng)  b2      28時(shí)取等號(hào)，故 a24.故選 C.4èa2b2ø4èa2431  4 b2 4a2ö 1æa2

22、60;b2 ø 4 33(2019·天津高考)設(shè) x>0，y>0，x2y5，則解析： x>0，y>0，xy >0.(x1)(2y1)的最小值為_xy  x2y5，                         

23、0; 2   xy  6(x1)(2y1)2xyx2y12xy6xyxyxyxy2 124 3.所以 ab(ab)æ   ö53b2a52   6，當(dāng)且僅當(dāng)3b2a，即 a3   6，b2體內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn) O 到平面 ABC，平面 ACD，平面 ABD，平面 BCD 的距離分別為  ，x， 

24、和解析：棱長為   6的正四面體的體積 V    2×(   6)3   3，每個(gè)面的面積為 ×   6×   6sin3   3，由等體積法可得 VV×è3x6yø13   3     æ11

25、46;60°VO-ACDVO-ABDVO-BCD  ×當(dāng)且僅當(dāng) 2 xy 6 時(shí)取等號(hào)xy(x1)(2y1)的最小值為 4 3.xy答案：4 34已知直線 l：axbyab0(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，則 ab 的最小值為_解析：因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，所以 2a3bab0，即321，ab32èabøabab 6時(shí)等號(hào)成立答案：52 65(2019·

26、四川成都青羊區(qū)模擬改編)已知四面體 ABCD 的所有棱長都為 6，O 是該四面113611y，則 xy_，x2y的最小值是_1122O-ABC2323，即  xy  .    (xy)èx2yø è22yxø è  22x2y333 23 1  1  2 æ1 1 ö&

27、#160;2æ3 x yö 2æ3x · yö32 2，當(dāng)且2y xø 3ìxy3，僅當(dāng)í即íïîy3   23時(shí)等號(hào)成立，1 1 的最小值為    .2xyî2yx，ïìx63 2，22x 2y      &

28、#160;     332 22    3332 2答案：題后悟通掌握基本不等式求最值的 3 種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值；(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值；(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等分開，即化為 ym式來求最值

29、.Ag(x)合情推理題組練透1(2019·全國卷)在“一帶一路”知識(shí)測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測甲：我的成績比乙高乙：丙的成績比我和甲的都高丙：我的成績比乙高成績公布后，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)?)A甲、乙、丙C丙、乙、甲B乙、甲、丙D甲、丙、乙解析：選 A依題意，若甲預(yù)測正確，則乙、丙均預(yù)測錯(cuò)誤，此時(shí)三人成績由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若乙預(yù)測正確，此時(shí)丙預(yù)測也正確，這與題意相矛盾；若丙預(yù)測正確，則甲預(yù)測錯(cuò)誤，此時(shí)乙預(yù)測正確，這與題意相矛盾綜上所述，三人成績由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙故選 A.(2甲、乙、丙三人

30、中，一人是教師，一人是記者，一人是醫(yī)生，已知：丙的年齡比醫(yī)生大，甲的年齡和記者不同，記者的年齡比乙小根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是)A甲是教師，乙是醫(yī)生，丙是記者B甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是教師C甲是醫(yī)生，乙是教師，丙是記者D甲是記者，乙是醫(yī)生，丙是教師解析：選 C甲的年齡和記者不同，記者的年齡比乙小，所以丙一定是記者，丙的年齡又比醫(yī)生大，所以乙不是醫(yī)生，乙是教師，則甲是醫(yī)生故選 C.3(2019·柳州模擬)給出以下數(shù)對序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)記第 i 行的第

31、60;j 個(gè)數(shù)對為 aij，如 a43(3,2)，則 anm()A(m，nm)C(m1，nm1)B(m1，nm)D(m，nm1)解析：選 D由前 4 行的特點(diǎn)，歸納可得，若 anm(a，b)，則 am，bnm1，anm(m，nm1)故選 D.4我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在2 2 2中“”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值 x，這可以通過方(