用導數方法解決參數和函數零點技巧專題

1、用導數方法解決參數和函數零點技巧專題一參變分離1. 注意分離后的函數是否嚴格單調2. 注意定義域上是否取遍3. 嚴格單調且定義域取遍用端點效應二端點效應比較適用于恒成立問題，那么區(qū)間的端點也一定滿足恒成立要求1. 優(yōu)先論證函數嚴格單調2. 在區(qū)間左右端至少能找一點滿足題干3. 不到萬不得已不要取無窮遠端注：一旦定義域完全為開區(qū)間，要么丟失此法，要么洛必達開始論述，要么證明函數嚴格單調并證函數值大于（小于）端點值【例 1】f ( x) = e x - e-&

2、#160;x - ax，其中"x f 0，使得f ( x) ³ 0恒成立，求a的取值范圍Q f ( x) ³ 0, "x f 0恒成立又f (0) = 0方法 1：參變分離方法 2：端點效應解：f ( x) ³ 0, "x f 0恒成立的必要條件為f 

3、;'( x) ³ 0+ e   x - a-f '( x) = e x （我們可以看到函數要非負一定要增，也可能又增又減出現極小值）f '(0) = 2 - a ³ 0 a £ 2充分性：f '( x) = e x + 

4、;e- x - ae x + e- x ³ 2（這就是函數增的一個條件）Q a £ 21 f '( x) = e x + e- x - a ³ 0 f ( x) ³ 0, "x f 0恒成立的充分必要條件是a&#

5、160;£ 2（這就是函數值非負的必要條件，我們僅考慮的是函數嚴格遞增的條件）（現在我們論證一下函數是否在此條件下單調增）顯然我們應有此方法成立的充要條件是函數嚴格單調，我們考慮的端點并不是整個定義域的增減趨勢，但是從 0 開始函數值一定要單調增，否則恒成立失效。于是才有導函數在 0 處也非負，我們就得到 a 的一個大致范圍，通過這個大致范圍作為已知條件驗證其充分性。【注】：充分性驗證時一旦出現導函數有小于 0 的情況，表示函數不單調，則在必要性的條件下研究函數的最值?！舅伎?#160;1】&#

6、160;f ( x) = (ax - 1)e x + ax + 1，"x f 0, 有f ( x) ³ 0，求a的取值范圍f ( x) = ax 2 + bx + c，$x , x ( x  ¹ x )使得f 

7、( x ) = f ( x ), x 是二次函數的對稱軸， 我們有 x  + x  = 2 x三：極值點偏移我們分析一下二次函數：12121201220x + x f 2 x 稱為極值點左偏， x + x p 2 x 稱為極值點右偏。120120我們把x + x122&

8、#160;可視為理想極值點，x 為實際極值點02.x x 與x , 構造G( x) = f ( x) - f (0 )x1）.構造：判斷函數單調性確定兩對稱點的區(qū)間，分析法（傳統(tǒng)藝能，不在論述）已知函數f ( x), $x , x ( x ¹ x ), f ( x ) = f (

9、 x )1212121.x + x 與2 x , 構造F ( x) = f ( x) - f (2 x - x)1200x 221 201   1        ln a -ln b   222） 對

10、數均值不等式 若0 p b p a，則證明：a -ba +b2                          a 2 +b2p ab p       

11、60;p    p+a b要證   ab p  a -bÛ  1ln a -ln b   2      af     Û ln  f 2令t =  f 1, 則原式 &#

12、219; ln t f 2則令f (t ) = ln t - 2   (t f 1),只需證f (t ) f 0令t =   f 1原式 Û t - 1 f 2 ln t (t f 1)f ' (t&#

13、160;) = 1 +  - = (   - 1)2 ³ 0x 2 x不妨設a f b f 0a +bpln a -ln b21ln a -ln b2Ûffaba -ba +b左邊：ln a -ln babafÛ-f lnaba -bbab

14、abt則令f (t ) = t - 1 - 2 ln t,只需證f (t ) f 0恒成立t121x f (t ) f f (1) = 03右邊：a-1ba -b    a +b     b a+1ba     

15、;             t - 1b                  t + 1t - 1t + 11    4    (t

16、 - 1)2f ' (t ) = -      =       f 02t  (t + 1)   t (t + 1)2故f (t ) f f (1) = 0引理：    &

17、#160; f【例 2】 f ( x) = ln x - ax的兩個零點為 x1 , x2，證明x1 x2 f e2【分析】這是一個極值點左偏的例題，并且含參，欲證不等式中不含參，我們需將參數消掉。ln a -ln b2a -ba +b證明：f     Û ln  f 2 bln

18、 a -ln b2aaa -b    a +b     b ab-1+1令t =  f 1, 則原式 Û ln t f 2則令f (t ) = ln t - 2   (t f 1),只需證f (t )

19、 f 0兩式相加得：ln x  + ln x  = a( x + x ) Þ a =x  + x兩式相減得：ln x - ln x  = a( x - x ) Þ a =x  - x  ln

20、 x + ln xln x  - ln x2  ln x - ln xat - 1bt + 1t - 1t + 114(t - 1)2f ' (t ) = -=f 0t(t + 1)2t (t + 1)2故f (t

21、0;) f f (1) = 0引理得證。lnln由題意得： x = ax ， x = ax111212121212ln x - ln x12 =12x + xx - x1212由引理可得：12 fx - xx + x1212ln x + ln x212 =12 fx -

22、 xx + xx + x121212 ln x + ln x f 212 x x f e21 2命題得證ln x + ln x11 2ln x - ln x1 21 242f【思考 2】( x) = xe - x , x1 

23、85; x2 , 且f ( x1 ) = f ( x2 ), 證明x1 + x2 > 21. 一旦出現對數指數極值點偏移能用此不等式2. 注：一旦還有三角函數法失效！要么回到構造，要么對三角函數放縮3. 三角放縮 sinx £ x £ tanx4.出現參數嘗試作差消參，代換消參四不等式證明1）關于函數值恒成立問題不再論述2）作差比較

24、法不再論述3）關于 n Î N * 問題1. 題目所給函數賦值放縮（傳統(tǒng)藝能不再論述）2.數學歸納法第一數學歸納法：當 n = 1成立，設n = k成立，歸納n = k + 1成立 。歸納時加強命題第二數學歸納法：當n = 1,2成立，假設n £ k成立，歸納n = k + 1成立 ?！纠?#160;3】 證明

25、9;ni=1< 1 -1       1 (4i 2 2  4nn Î N * , n ³ 1)5當n = 1時，左邊 =   ，右邊 = -   ，左邊 < 右邊成立證明：11 142 4假設n 

26、= k時，成立，即åki=11  1  1< -4i 2 2 4k當n = k + 1時，å只需證： -  +       < -k11111+<-+22444i 2（k + 1）2 4k（k + 1）i=142111112 4k（k +&#

27、160;1）2 4(k + 1)2111Û -+< -k （k + 1）(k + 1)-2k （k + 1）Û< -12k（k + 1）-22Û k （k + 1） < -k（k + 1）Û k - k 2 - 1 - 2

28、k < -k 2 - kÛ -1 < 0顯然成立綜上，命題得證å ln k【思考 3】nk =2k + 1<n(n - 1) (4n Î N * , n ³ 2)【思考 4】此題可以通過函數賦值放縮，請讀者自行嘗試3.定積分幾何意義兩側有參數則是黎曼和。此時構造函數必然單調通過寬為 

29、;1 的矩形面積放縮òå f ( x )Dxn1f ( x)dx fni =1i【例4】å< ln(n + 1) < å   (n Î N * , n ³ 1nk =1n1         

30、;     1k + 1 kk =16取函數f ( x) = 1x< òndx, 從而   i < ònSABCF1n-i x1 1n n-i xdx = ln x n = ln n - ln(n - i)n-i>

31、; òndx, 從而   i > ònSABDE1n-i x1      1n - i n-i xdx = ln x n = ln n - ln(n - i)n-i證明提示就到這里，希望讀者能夠自行動筆思考。此外對于兩邊都是含 n 的依舊可以采用數學歸納法證明，請

32、讀者進行嘗試【思考5】ånk =11k> 2( n + 1 - 1)(n Î N * , n ³ 2)單有一側有參數，則是廣義黎曼。此時這是 1n為寬的矩形面積。åòf ( x)dx f  å 1 f ( x )nnini-1i=1nni=1i【例5】å 1nk&

33、#160;=1n + k7<   (n Î N * , n ³ 4)107考慮f ( x) =    1    é i - 1  i ù在區(qū)間ê  ,   ú(i = 1,2

34、,3,., n)上的定積分1   1  1       1=  ×     < ò n   dxn + i  n  1 +nn  1 + i1 + xë nn &#

35、251;iii-1 1 + xnnnniå 1 = å 1 × 1< å ò n1 dx = ò1 1 dx = ln(1 + x) 1 = ln 2 < 7n + ii-1 1 + x0 1

36、60;+ x010i=1i=1i=1nn【注】此時的矩形面積不再是以 1 為寬【思考 6】依舊可以采用數學歸納法證明，請讀者自行嘗試（對命題加強）4.積分還原法：先對欲證不等式微分，在通過變上限積分還原原不等式【例6】   < ln(1 + x) < xx > 0時，     <     < 1òdx

37、0;< ò xdx < ò x1dx則，x故    < ln(1 + x) < x5.中值定理&泰勒展開x1 + x證明：112（1 + x） （1 + x）11002（1 + x）（1 + x）0x1 + x【注】對不等式各個求導，根據積分的保號性和變上限積分的性質可以進行證

38、明?！舅伎?#160;7】讀者可以根據自身條件采用積分中值定理，柯西中值定理證明或者泰勒展開證明8點范圍。 f  x  f g x；   g x  f 0  是易解的；當自變量 x 趨向于定義域某端點（哪( )( )f ' (x )= 0, f (x )f 0, $x Î (x  - d , x )使得f (x )p 0, $x