(word完整版)橢圓知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題,推薦文檔

1、1 圓錐曲線與方程-橢圓 知識點(diǎn) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1 橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1, F2距離的和等于常數(shù) 2a 圓，即點(diǎn)集 M=P| |PF i|+|PF 2|=2a , 2a|FiF2|=2c; 這里兩個定點(diǎn) Fi, F2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距 2 標(biāo)準(zhǔn)方程: 2 2 . 2 cab (2a F1F2 時為線段 F1F2, 2a F1F2無軌跡)。 焦點(diǎn)在 x 軸上: 焦點(diǎn)在 y 軸上: 2 X 2 a 2 y 2 a 2 y 1 .2 1 (a b 0)； F ( c, 0) b 2 x 彳 1 (ab0)； F (0, c) b 注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a

2、 b 0,并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上; 兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示: x2 2 1 或者 mx2+ny2=1 n 橢圓的簡單幾何性質(zhì): 1.范圍 (1)橢圓 2 X 2 a 2 1 (a b 0)橫坐標(biāo)-a x a ,縱坐標(biāo)-b xb0) 橫坐標(biāo)-b x b,縱坐標(biāo)-a x a b2 2.對稱性 橢圓關(guān)于 x 軸 y 軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱 中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) (1)橢圓的頂點(diǎn)：A1 (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B2 (0, b) (2)線段 AA, BB2分別叫做橢圓的長軸長等于 2a,短軸長等于

3、 2b, a 和 b 分別叫做橢 圓的長半軸長和短半軸長。 4 .離心率 F1F2的點(diǎn)的軌跡叫做橢 2 e 0是圓; 越接近于 0 (e 越小)，橢圓就越接近于圓 e 越接近于 1 ( e 越大)，橢圓越扁； 注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān) 小結(jié)一：基本元素 (1) 基本量：a、b、c、e、(共四個量)， 特征三角形 (2) 基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心(共七個點(diǎn)) (3) 基本線：對稱軸(共兩條線) 5 橢圓的的內(nèi)外部 6. 幾何性質(zhì) (2)最大距離，最小距離 7. 直線與橢圓的位置關(guān)系 (1) 位置關(guān)系的判定：聯(lián)立方程組求根的判別式; (2) 弦長公式：_ (3)

4、 中點(diǎn)弦問題：韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法(1)我們把橢圓的焦距與長軸長的比 2c，即-稱為橢圓的離心率, 2a a , 2 記作 e ( 0 e 1), e (1)點(diǎn) P 在橢圓上, 最大角 F1PF2 max F1B2F2 , (1)點(diǎn)P(x), yo)在橢圓 2 y_ b2 1(a b 0)的內(nèi)部 (2)點(diǎn)P(x),y)在橢圓 2 x 2 a 2 y b2 1(a b 0)的外部 2 x 2 a 2 -2 a y2 1 孑1 2 烏1 b2 3 例題講解： 一.橢圓定義： 1 方程. x 2 2 y2 . x 2 2 y2 10 化簡的結(jié)果是 _ 2若 ABC 的兩個頂點(diǎn) A 4,0 ,B 4,0

5、 , ABC 的周長為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 _ 2 =1 上的一點(diǎn) P 到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為 9 二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù) 2 2 1. 若方程 厶 +丄 =1 (1)表示圓，則實(shí)數(shù) k 的取值是 5 k k 3 (2) _ 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ . _ (3) _ 表示焦點(diǎn)在 y 型上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ . _ (4) _ 表示橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 . 2. 橢圓4x2 25y2 100的長軸長等于 _ ，短軸長等于 _ ,頂點(diǎn)坐標(biāo) 是 _ , _ 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 _ , _ 焦距是 _ 離 心率等于, _ 2 2 3. 橢

6、圓-1的焦距為 2，則 m= _ 。 4 m 4. 橢圓5x2 ky2 5的一個焦點(diǎn)是(0,2)，那么k _ 。 三待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 1 若橢圓經(jīng)過點(diǎn)(4,0)，(0, 3)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 。 2焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且a2 13，c2 12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 3. 焦點(diǎn)在 x 軸上，a: b 2:1， c ,6 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 4. 已知三點(diǎn) P (5, 2)、F1 (-6，0)、F2 (6，0)，求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn) P 的橢圓的標(biāo) x2 3.已知橢圓一+ 16 3,則 P 到另一焦點(diǎn)距離為 _ 4 準(zhǔn)方程； 變式：求與橢圓4x2 9y2 36共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(

7、3, 2)的橢圓方程。4 5 四焦點(diǎn)三角形 2 2 1 橢圓 仝1的焦點(diǎn)為 F,、F2 , AB 是橢圓過焦點(diǎn) F,的弦，則 ABF2的周長是 。 9 25 - 2設(shè)Fi , F2為橢圓 16x2 25y2 400 的焦點(diǎn)，P 為橢圓上的任一點(diǎn)，貝U PF1F2的周長是多 少？ PFi F2的面積的最大值是多少？ 2 2 3設(shè)點(diǎn) P 是橢圓 孔1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是焦點(diǎn)，若 EPF?是直角，貝U F1PF2的面積 25 16 為 _。 變式：已知橢圓 9x2 16y2 144，焦點(diǎn)為F1、F2，P 是橢圓上一點(diǎn). 若 F1PF2 60， 求PF1F2的面積. 五. 離心率的有關(guān)冋題 2 2

8、1 1. 橢圓乂 1的離心率為-，則 m 4 m 2 2. 從橢圓短軸的一個端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為 1200，貝吐匕橢圓的離心率 e 為 _ 3. 橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個等邊三角形，貝 U 橢圓的離心率為 _ 4. 設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為 R、F2,過 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn) 卩，若厶 FPF 為等腰 直角三角形，求橢圓的離心率。 5. 在厶 ABC 中，A 30,|AB| 2,S ABC 3 .若以A B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ,貝U該橢圓 的離心率 e _ . 六、最值問題： 2 1、已知橢圓一寸1，A（1，0），P 為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值 4 值 _。 最

9、小 6 1兩焦點(diǎn)為 R、F2,點(diǎn) P 在橢圓上，則|PF1| |PF2|的最大值為2.橢圓 7 七、弦長、中點(diǎn)弦問題 1、已知橢圓4x2 y2 1及直 y x m 線. (1) 當(dāng) m 為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？ (2) 若直線被橢圓截得的弦長為 仝衛(wèi)，求直線的方程. 5 2 2已知橢圓7 y2 1， (1)求過點(diǎn)(1,0 )且被橢圓截得的弦長為2、2的弦所在直線的方程 求過點(diǎn)丐，扌且被p平分的弦所在直線的方程; 同步測試 1 已知 R(-8 , 0) , F2(8 , 0)，動點(diǎn) P 滿足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn) P 的軌跡為() A 圓 B 橢圓 C 線段 D 直線 2 2

10、2、橢圓L 1左右焦點(diǎn)為 F1、F2, CD 為過 F1的弦，則 CDF 的周長為 _ 16 9 2 2 3 已知方程- 匚 1表示橢圓，則 k 的取值范圍是() 1 k 1 k 4、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長軸長為 10,短軸長為 6 _ (2) 長軸是短軸的 2 倍，且過點(diǎn)(2 , 1) _ (3) 經(jīng)過點(diǎn)(5 , 1) , (3 , 2) _ A -1k0 C k 0 D k1 或 k-1 8 2 2 5. 橢圓 篤 爲(wèi)1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別是 Fi、F2,過點(diǎn) Fi作 x 軸的垂線交橢圓于 P 點(diǎn) a b 若/FIPFF60。，則橢圓的離心率為 _ 2 2 6已知

11、橢圓的方程為X4 3 1，p點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且FiPF2 60 ,求PF1F2的面積 7.若橢圓的短軸為 AB,它的一個焦點(diǎn)為 Fi,則滿足 ABF 為等邊三角形的橢圓的離心率為 2 2 8.橢圓 L 1上的點(diǎn) P 到它的左焦點(diǎn)的距離是 12,那么點(diǎn) P 到它的右焦點(diǎn)的距離是 100 36 2 9已知橢圓x2 a 2 y 1(a 25 5)的兩個焦點(diǎn)為 F1、 F2，且 F1 F2 8，弦 AB 過點(diǎn) F1，則 ABF2 的周長 2 2 2 2 10、橢圓+ L =1 與橢圓+乙=( 0)有 3 2 2 3 (A)相等的焦距 (B) 相同的離心率 (C) 相同的準(zhǔn)線 (D) 以上都不對 2 2

12、11、橢圓厶 2 1與X 2 y 1 (0kb0)的左、右焦點(diǎn) F1、F2作兩條互相垂直的直線 11、12，它們 的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是 ( A (0,1) B.0, # C.#1 D. 0,孑 積是() 2 橢圓蓋+ 64= 1 的焦點(diǎn)為 Fi、F2,橢圓上的點(diǎn) P 滿足/ FiPF2= 60則厶 F1PF2的面 A 63 A - 3 B. 64 D-64 3已知橢圓 E 的短軸長為 6, 焦點(diǎn) F 到長軸的一個端點(diǎn)的距離等于 9,則橢圓 E 的離心 率等于() 4 已知點(diǎn) F， 2 A 分別是橢圓?+淳=1(ab0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B(0, b)滿足FB AB=

13、0, x2 則橢圓的離心率等于( ) .5- 1 Bh 5+ 1 Dh 2 2 5.已知橢圓X + 2 二 1 的左右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過 F2且傾角為 45 的直線 I 交橢圓于 A、 8 B 兩點(diǎn)，以下結(jié)論中： ABF1的周長為 8;原點(diǎn)到 I 的距離為 1;|AB 匸 3；正確結(jié)論的 個數(shù)為() A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6 .已知圓(x+ 2)2+ y2= 36 的圓心為 M，設(shè) A 為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段 AN 的垂直平 分線交 MA 于點(diǎn) P,則動點(diǎn) P 的軌跡是( ) A .圓 B .橢圓 C.雙曲線 D .拋物線 2 2 7.過橢圓 C:拿+ *= 1(ab0)的一個頂點(diǎn)作圓 x2 + y2= b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B,若/ AOB = 900 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓 C 的離心率為 _ . 10 2 2 8 若橢圓字+治=1(ab0)與曲線 x2 + $ = a2- b2無公共點(diǎn)，則橢圓的離心率 e 的取值范 圍是 _ X