綜合題--二次函數平行四邊形匯總

1、1、已知二次函數圖象頂點為 C (1, 0),直線y=x+m與該二次函數交于 A , B兩點，其中A點(3, 4) , B點在y軸上.(1)求m值及這個二次函數關系式;(2) P為線段AB上一動點(P不與A , B重合)，過P做x軸X垂線與二 次函數交于點E ,設線段PE長為h，點P橫坐標為x ,求h與x之間的函數關 系式，并寫出自變量x取值范圍；(3) D為線段AB與二次函數對稱 軸的交點，在AB上是否存在一點P,使 四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出 P點坐標；若不存在，請說明理 由。1因為A (3, 4)是直線y=x+m上的點，所以4=3+m ,解得m=1,進而求 得 B (0,

2、1)設二次函數為y =axA2+bx+c,把A、B、C三點坐標代入得：9a+3b+c=4a+b+c=0c=1解彳4 a=1, b=-2, c=1,所以二次函數的關系式為：y=xA2-2x+1(2因為P為線段AB上，且橫坐標為x ,所以縱坐標是x+1,又因為E在二次 函數的圖像上，且橫坐標是 x ,所以縱坐標是xA2-2x+1 ,于是h=(x+1-(xA2-2x+1=- xA2+3x(3顯然PE/ DC,因此若P點存在，那么必有PE =DC。因為D為直線AB 與這個二次函數圖像對稱軸的交點，所以 D的橫坐標為1,因而縱坐標為2,所以 DC =2。若PE =2,則有-xA2+3x=2,解得x=2或

3、x =1 (跟C點重合，故舍去。 所以這牛¥的點P是存在的，它的坐標是(2,3。6、(10遵義市)如圖，已知拋物線 y =ax +bx +c (a 的坐標為 Q (2,- 1,且與y軸交于點C (0, 3,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側)，點P 是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動(點P與A不重合)，過點P作PD /y軸，交AC于點 D . 2(1)求該拋物線的函數關系式；(2)當4ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點 F的坐標； 若不存在，請說明理由

4、.解：1)拋物線的頂點坐標為Q(2,-1所以 x=-b/2a=2 得 b= -4ay=-b24a+c=-1 得 4a=c+1點c (0,3)在拋物線上得c=3得 a=1 b=-4所以拋物線方程為y=x2-4x+32)當 y=0 時 x2-4x+3=0 解得 x1=3 , x2=1所以由題意得A(3,0舊(1,0所以AC的直線方程為x+y=3設 P(x,y因為PD| y軸所以D的橫坐標為x所以 D (x , 3-x )AADP是直角三角形時所以當/ DPA=90 P與B重合 為(1,0)當/ DAP=90時向量 AP=(3-X,-y 向量 AD=(3,-3所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3

5、=0在拋物線上所以x25x+6=0得x1=2或x2=3 (舍去，P與A不重合)所以P(2, -13當P (1,0)時不存在以APEF為頂點的平行四邊形當P(2, -1設 E(k,0 F (x2,y2)向量 AP=(1,1 向量 FE=(x2-k,y213y2.- 13x2-k=0得y2=x2-k注：平行四邊形對邊平行2= (x2-k ) 2+y2 2所以y2 2=1注：平行四邊形對邊相等當 y2=1 時 y=x2-4x+3=1 得 x 24x+2=0解彳3 x= (4 ± V)/ /2=2 土，2當 x=2-V2 k=x2y2=2-V1=1-V2當 x =2+ VM k=x2-y2=

6、2+V2-1=1+V2當y2=-1時只有一點舍去所以F坐標為(2-M2J或(2+M2,力21、(09煙臺 如圖，拋物線y =ax +bx -3與x軸交于A , B兩點，與y軸交于 C點，且經過點(2, -3a,對稱軸是直線x =1,頂點是M .(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)經過C,M兩點作直線與x軸交于點N ,在拋物線上是否存在這樣的點 P,使以點P, A , C , N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設直線y =-x +3與y軸的交點是D ,在線段B D上任取一點E (不與 B , D重合)，經過A , B , E三點的圓交直線B C于點F ,試判斷'A E F的形 狀，并說明理由；(4)當E是直線y =-x +3上任意一點時，(3)中的結論是否成立？(請直接寫出結論)ZJbA -3a)f對稱軸x=1,即-2b/a=17a+3b=3由方程得a=1, b=-2所以 y=xA2-2x-32,點 A (-1,0) , M (1, -4) , B (3,0) , C (0,-3)過CM作直線，設y=-kx+d代入C,M得直線CM方程y=-x-3 則點N (-3, 0)過點A作平行于CM的直線l ,即y=-x+e,代入A點得e=-1,則直線l方程 y-x-1(5)設拋物線上存在點p ,使以點P,A,