2022年2022年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)32：中位線(xiàn)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,細(xì)心整編吐血舉薦、 如如有用請(qǐng)打賞支持,感謝不盡！初 中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（32） 中位線(xiàn)一.內(nèi)容提要1. 三角形中位線(xiàn)平行于第三邊,并且等于第三邊的一半；梯形中位線(xiàn)平行于兩底,并且等于兩底和的一半；2. 中位線(xiàn)性質(zhì)定理的結(jié)論,兼有位置和大小關(guān)系,可以用它判定平行,運(yùn)算線(xiàn)段的長(zhǎng)度,確定線(xiàn)段的和.差.倍關(guān)系；3. 運(yùn)用中位線(xiàn)性質(zhì)的關(guān)鍵為從顯現(xiàn)的線(xiàn)段中點(diǎn),找到三角形或梯形,包括作出幫助線(xiàn)；4. 中位線(xiàn)性質(zhì)定理,常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用；它的逆定理就為平行線(xiàn)截比例線(xiàn)段定理及推論,一組平行線(xiàn)在始終線(xiàn)上截得相等線(xiàn)段,在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等

2、經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線(xiàn),必平分第三邊經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線(xiàn),必平分另一腰5. 有關(guān)線(xiàn)段中點(diǎn)的其他定理仍有：直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線(xiàn)和底上的高,頂角平分線(xiàn)相互重合對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形為平行四邊形線(xiàn)段中垂線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必需全面考慮；二.例題例1.已知： abc中,分別以 ab.ac為斜邊作等腰直角三角形abm和 can,p 為 bc的中點(diǎn)；求證： pmpn證明：作 me ab,nfac,垂足 e,fma abm. can為等腰直角三角形nefae ebme,af fcnf,p依據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)bc精品學(xué)習(xí)資

3、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pe1 acnf,pf21 ab me2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pe ac,pfab peb bac pfc即 pem pfn pem pfn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pm pn例 2. 已知 abc中, ab10, ac7,ad為角平分線(xiàn), cmad于 m,且 n為 bc的中點(diǎn)；求 mn的長(zhǎng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析： n為 bc的中點(diǎn),如 m為另一邊中點(diǎn), 就可運(yùn)用中位線(xiàn)的性質(zhì)求mn的長(zhǎng),a1 2107m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依據(jù)軸稱(chēng)性質(zhì)作出 amc的全等三角形即

4、可； bcnd幫助線(xiàn)為：延長(zhǎng)cm交 ab于 e（證明略）例 3. 求證梯形對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)連線(xiàn)平行于兩底,且等于兩底差的一半；已知：梯形 abcd中, ab cd,m.n分別為 ac.bd的中點(diǎn)求證： mnab cd,mn 1 （ abcd）2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c1d2dced3c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mnmneabamnbaeb分析一： m為 ac中點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)三角形,使n為另一邊中點(diǎn),以便運(yùn)用中位線(xiàn)的性質(zhì)；連結(jié) cn并延長(zhǎng)交 ab于 e（如圖 1）證 bne dnc可得 n為 ce的中點(diǎn)；（證明略）分析二：圖 2 與圖 1 思路一樣；分析三：

5、直接挑選 abc,取 bc中點(diǎn) p 連結(jié) mp和 np,證明 m,n,p 三點(diǎn)在同始終線(xiàn)上,方法也為運(yùn)用中位線(xiàn)的性質(zhì)；例4.如圖已知： abc中, ad為角平分線(xiàn), becf,m.n分別為 bc和 ef的中點(diǎn)求證： mnad證明一：連結(jié) ec,取 ec的中點(diǎn) p,連結(jié) pm.pn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mpab, mp1 ab,npac, np 1 ac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22abecf, mpnp1 2enf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 3= 4=180- mpn 23p4bd mc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

6、載mpn bac 180 （兩邊分平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1= 2=180- mpn 2, 2=3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載npac mnad證明二：連結(jié)并延長(zhǎng)em到 g,使 mgme連結(jié) cg,fg就 mnfg, mcg mbeacg becfb bcgenfabcg, bac fcg1801jc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cad2（ 180 fcg）bd m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cfg 1 （ 180 fcg）=cadg2mnad例5.已知： abc中,abac,ad為高, ce為

7、角平分線(xiàn), efbc于 f,gece交 cb的延長(zhǎng)線(xiàn)于 g精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： fd1 cgah4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明要點(diǎn)為：延長(zhǎng)ge交 ac于 h,可證 e 為 gh的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn) e 作 em gc交 hc于 m,emo12g bfdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 m為 hc的中點(diǎn), emgc,em由矩形 efdo可得 fdeo 1 em21 gc21 gc4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dgch三.練習(xí) 32f1. 已知 e.f.g.h 為四邊形 a

8、bcd各邊的中點(diǎn)aeb就四邊形 efgh為形當(dāng) acbd時(shí),四邊形 efgh為形當(dāng) acbd時(shí),四邊形 efgh為形當(dāng) ac和 bd時(shí),四邊形efgh為正方形形；2. 求證：梯形兩底中點(diǎn)連線(xiàn)小于兩邊和的一半；3. 已知 ad為銳角三角形 abc的高, e, f, g分別為邊 bc,ca, ab的中點(diǎn),證明順次連結(jié)e, f, g,h所成的四邊形為等腰梯形；,4. 已知：經(jīng)過(guò) abc頂點(diǎn) a 任作始終線(xiàn) a、 過(guò) b,c 兩點(diǎn)作直線(xiàn) a 的垂線(xiàn)段bb 和 cc,設(shè) m為bc的中點(diǎn),a,dm求證： mb mcenbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. 如圖已知 abc中, adbe,

9、dmen bc求證 bcdmen6. 如圖已知：從平行四邊形abcd的各頂點(diǎn)向形外任始終線(xiàn)a 作垂線(xiàn)段 ae,bf,cg, dh；求證 aecg bfdh7. 如圖已知 d 為 ab的中點(diǎn), f 為 de的中點(diǎn),求證 bc2ce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dcoabdadfgba7f精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ch1ee8. 平行四邊形 abcd中, m,n分別為 bc.cd的中點(diǎn),求證 ac平分 mn9. 已知 abc中, d 為邊 bc上的任一點(diǎn), m,n,p,q分別為 bc,ad,ac,mn的中點(diǎn),求證直線(xiàn)pq平分 bd；10. 等腰梯形 abcd中,

10、 abcd,adbc,點(diǎn) o為 ac和 bd的交點(diǎn), aob60 ,p,q,r 分別為 ao,bc,do的中點(diǎn),求證 pqr為等邊三角形；dcar精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dnc9o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載o8pmnabr60qp精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bsm dcab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11. 已知： abc中, ad為高, ae為中線(xiàn),且 ad,ae三等分 bac,求證： abc為 rt；12. 已知：在銳角三角形abc中,高 ad和中線(xiàn) be相交于 o,

11、bod60 ,求證 adbedfc13. 如圖已知：四邊形 abcd中, ad bc,m點(diǎn) e.f 分別為 ab.cd的中點(diǎn), mn efnaeb求證： dmn cnm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí) 32 參考答案：1. 平行四邊形菱形矩形相等且相互垂直2. 取一條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn),利用三角形兩邊差小于第三邊精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. dgef1 ab2, ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 過(guò)點(diǎn) m作 a 的垂線(xiàn) 、 必平分 b c,5. abc的中位線(xiàn)也為梯形bcdd中位線(xiàn)6. 同上,有公共中位線(xiàn)7. 取 bc中點(diǎn) g,連結(jié) dg8. 連結(jié) bd交 ac于 o,易證四邊形 mcno為平行四邊形9. 證四邊形 mpns為平行四邊形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資