2015年山東省高考數(shù)學試卷(理科)答案與解析

1、2015年山東省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1（5分）（2015山東）已知集合a=x|x24x+30，b=x|2x4，則ab=（）a（1，3）b（1，4）c（2，3）d（2，4）2（5分）（2015山東）若復數(shù)z滿足=i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）a1ib1+ic1id1+i3（5分）（2015山東）要得到函數(shù)y=sin（4x）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象（）a向左平移單位b向右平移單位c向左平移單位d向右平移單位4（5分）（2015山東）已知菱形abcd的邊長為a，abc=60，則=（）aa2ba2ca2da25（5分

2、）（2015山東）不等式|x1|x5|2的解集是（）a（，4） b（，1） c（1，4）d（1，5）6（5分）（2015山東）已知x，y滿足約束條件，若z=ax+y的最大值為4，則a=（）a3b2c2d37（5分）（2015山東）在梯形abcd中，abc=，adbc，bc=2ad=2ab=2，將梯形abcd繞ad所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）abcd28（5分）（2015山東）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布n（0，32），從中隨機抽取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3，6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布n（，2），則p（+）=68.26%，p（

3、2+2）=95.44%）a4.56%b13.59%c27.18%d31.74%9（5分）（2015山東）一條光線從點（2，3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（）a或b或c或d或10（5分）（2015山東）設函數(shù)f（x）=，則滿足f（f（a）=2f（a）的a的取值范圍是（）a，1b0，1c，+）d1，+）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11（5分）（2015山東）觀察下列各式：c=40；c+c=41；c+c+c=42；c+c+c+c=43；照此規(guī)律，當nn*時，c+c+c+c=12（5分）（2015山東）若“x0，tanxm”

4、是真命題，則實數(shù)m的最小值為13（5分）（2015山東）執(zhí)行如圖程序框圖，輸出的t的值為14（5分）（2015山東）已知函數(shù)f（x）=ax+b（a0，a1）的定義域和值域都是1，0，則a+b=15 （5分）（2015山東）平面直角坐標系xoy中，雙曲線c1：=1（a0，b0）的漸近線與拋物線c2：x2=2py（p0）交于點o，a，b，若oab的垂心為c2的焦點，則c1的離心率為三、解答題16（12分）（2015山東）設f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若f（）=0，a=1，求abc面積的最大值 17（12

5、分）（2015山東）如圖，在三棱臺defabc中，ab=2de，g，h分別為ac，bc的中點（）求證：bd平面fgh；（）若cf平面abc，abbc，cf=de，bac=45，求平面fgh與平面acfd所成的角（銳角）的大小18（12分）（2015山東）設數(shù)列an的前n項和為sn，已知2sn=3n+3（）求an的通項公式；（）若數(shù)列bn，滿足anbn=log3an，求bn的前n項和tn 19（12分）（2015山東）若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”

6、中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得1分，若能被10整除，得1分（）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（）若甲參加活動，求甲得分x的分布列和數(shù)學期望ex 20（13分）（2015山東）平面直角坐標系xoy中，已知橢圓c：+=1（ab0）的離心率為，左、右焦點分別是f1，f2，以f1為圓心以3為半徑的圓與以f2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓c上（）求橢圓c的方程；（）設橢圓e：+=1，p為橢圓c上任意一點，過點p的直線y=kx+m交橢圓e于a，b兩點，射線po交橢圓e于點q（

7、i）求|的值；（ii）求abq面積的最大值 21（14分）（2015山東）設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中ar，（）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；（）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍 答案：1、解：集合a=x|x24x+30=x|1x3，b=x|2x4，則ab=x|2x3=（2，3）故選：c2、 解：=i，則=i（1i）=1+i，可得z=1i故選：a3、 解：因為函數(shù)y=sin（4x）=sin4（x），要得到函數(shù)y=sin（4x）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象向右平移單位故選：b4、 解：菱形abcd的邊長為a，abc=60，=a2，=aacos60

8、=，則=（）=故選：d6、 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）則a（2，0），b（1，1），若z=ax+y過a時取得最大值為4，則2a=4，解得a=2，此時，目標函數(shù)為z=2x+y，即y=2x+z，平移直線y=2x+z，當直線經(jīng)過a（2，0）時，截距最大，此時z最大為4，滿足條件，若z=ax+y過b時取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，此時，目標函數(shù)為z=3x+y，即y=3x+z，平移直線y=3x+z，當直線經(jīng)過a（2，0）時，截距最大，此時z最大為6，不滿足條件，5、 解：當x1，不等式即為x+1+x52，即42成立，故x1；當1x5，不等式即為x1+x52，得x4，故1

9、x4；當x5，x1x+52，即42不成立，故x綜上知解集為（，4）故選a 故a=2，故選：b7、 解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉體是底面半徑為1，高為2的圓錐，挖去一個相同底面高為1的倒圓錐，幾何體的體積為：=故選：c8、 解：由題意p（33）=68.26%，p（66）=95.44%，所以p（36）=（95.44%68.26%）=13.59%故選：b9、 解：點a（2，3）關于y軸的對稱點為a（2，3），故可設反射光線所在直線的方程為：y+3=k（x2），化為kxy2k3=0反射光線與圓（x+3）2+（y2）2=1相切，圓心（3，2）到直線的距離d=1，化為24k2+50k+24=0，

10、k=或故選：d10、解：令f（a）=t，則f（t）=2t，當t1時，3t1=2t，由g（t）=3t12t的導數(shù)為g（t）=32tln2，在t1時，g（t）0，g（t）在（，1）遞增，即有g（t）g（1）=0，則方程3t1=2t無解；當t1時，2t=2t成立，由f（a）1，即3a11，解得a，且a1；或a1，2a1解得a0，即為a1綜上可得a的范圍是a故選c11、解：因為c=40；c+c=41；c+c+c=42；c+c+c+c=43；照此規(guī)律，可以看出等式左側最后一項，組合數(shù)的上標與等式右側的冪指數(shù)相同，可得：當nn*時，c+c+c+c=4n1；故答案為：4n112、解：“x0，tanxm”是真

11、命題，可得tanx1，所以，m1，實數(shù)m的最小值為：1故答案為：113、解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得n=1，t=1滿足條件n3，t=1+xdx，n=2滿足條件n3，t=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不滿足條件n3，退出循環(huán)，輸出t的值為故答案為：14、解：當a1時，函數(shù)f（x）=ax+b在定義域上是增函數(shù)，所以，解得b=1，=0不符合題意舍去；當0a1時，函數(shù)f（x）=ax+b在定義域上是減函數(shù)，所以解得b=2，a=綜上a+b=，故答案為；15、解：雙曲線c1：=1（a0，b0）的漸近線方程為y=x，與拋物線c2：x2=2py聯(lián)立，可得x=0或x=，取a（，），則=，oab的垂心為c2的焦

12、點，（）=1，5a2=4b2，5a2=4（c2a2）e=故答案為：16、解：（）由題意可知，f（x）=sin2x=sin2x=sin2x由2k2x2k，kz可解得：kxk，kz；由2k2x2k，kz可解得：kxk，kz；所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k，（kz）；單調(diào)遞減區(qū)間是：k，k，（kz）；（）由f（）=sina=0，可得sina=，由題意知a為銳角，所以cosa=，由余弦定理a2=b2+c22bccosa，可得：1+bc=b2+c22bc，即bc，且當b=c時等號成立因此bcsina，所以abc面積的最大值為17、解：（）證明：根據(jù)已知條件，bc=2ef，h為bc中點，efbc；ef

13、bh，且ef=bh；四邊形efhb為平行四邊形；behf，hf平面fgh，be平面fgh；be平面fgh；同樣，因為gh為abc中位線，ghab；又deab；degh；de平面fgh，debe=e；平面bde平面fgh，bd平面bde；bd平面fgh；（）連接he，則hecf；cf平面abc；he平面abc，并且hghc；hc，hg，he三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設hc=1，則： h（0，0，0），g（0，1，0），f（1，0，1），b（1，0，0）；連接bg，根據(jù)已知條件ba=bc，g為ac中點；bgac；又cf平面abc，bg平面abc；bg

14、cf，accf=c；bg平面acfd；向量為平面acfd的法向量；設平面fgh的法向量為，則：，取z=1，則：；設平面fgh和平面acfd所成的銳二面角為，則：cos=|cos|=；平面fgh與平面acfd所成的角為6018、解：（）因為2sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，當n1時，2sn1=3n1+3，此時，2an=2sn2sn1=3n3n1=23n1，即an=3n1，所以an=（）因為anbn=log3an，所以b1=，當n1時，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以t1=b1=；當n1時，tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以3t

15、n=1+（130+231+332+（n1）32n），兩式相減得：2tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n）=，所以tn=，經(jīng)檢驗，n=1時也適合，綜上可得tn=19、解：（）根據(jù)定義個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345；（）由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為，隨機變量x的取值為：0，1，1，當x=0時，可以選擇除去5以外的剩下8個數(shù)字中選擇3個進行組合，即；當x=1時，首先選擇5，由于不能被10整除，因此不能選擇數(shù)字2，4，6，8，可以從1，3，5，7中選擇兩個數(shù)字和5進行組合，即；當x=1時，有兩種組合方式，第一種方案

16、：首先選5，然后從2，4，6，8中選擇2個數(shù)字和5進行組合，即；第二種方案：首先選5，然后從2，4，6，8中選擇1個數(shù)字，再從1，3，7，9中選擇1個數(shù)字，最后把3個數(shù)字進行組合，即則p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=1）=，x011pex=0+（1）+1=20、解：（）由題意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2c2=b2，可得b=1，即有橢圓c的方程為+y2=1；（）由（）知橢圓e的方程為+=1，（i）設p（x0，y0），|=，由題意可知，q（x0，y0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以=2，即|=2；（ii）設a（x1，y1），b（x2，y2），將直線y=kx

17、+m代入橢圓e的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得m24+16k2，則有x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直線y=kx+m與y軸交于（0，m），則aob的面積為s=|m|x1x2|=|m|=2，設=t，則s=2，將直線y=kx+m代入橢圓c的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0可得m21+4k2，由可得0t1，則s=2在（0，1遞增，即有t=1取得最大值，即有s，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，abq的面積為3s，即abq面積的最大值為621、解：（i）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中ar，x（1

18、，+）=令g（x）=2ax2+axa+1（1）當a=0時，g（x）=1，此時f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，無極值點（2）當a0時，=a28a（1a）=a（9a8）當時，0，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞增，無極值點當a時，0，設方程2ax2+axa+1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，x1x2x1+x2=，由g（1）0，可得1x1當x（1，x1）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x（x1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增因此函數(shù)f（x）有兩個極值點（3）當a0時，0由g（1）=10，可得1x1當x（1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減因此函數(shù)f（x）有一個極值點綜上所述：當a0時，函數(shù)f（x）有一個極值點；當0a時，函數(shù)f（x）無極值點；當a0時，函數(shù)f（x）有兩個極值點（ii）由（i）可知：（1）當0a時，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增f（0）=