數(shù)學(xué)專題講座.ppt

1、（一）（一） 春秋前中國春秋前中國 數(shù)學(xué)的萌芽數(shù)學(xué)的萌芽 最早的計(jì)數(shù)法最早的計(jì)數(shù)法十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法（算籌記數(shù)法）（算籌記數(shù)法） 最古老的計(jì)算工最古老的計(jì)算工具：算籌具：算籌 （二）（二） 戰(zhàn)國至兩漢戰(zhàn)國至兩漢 中國數(shù)學(xué)框架的確立中國數(shù)學(xué)框架的確立 九章算術(shù)九章算術(shù) 張倉（？前張倉（？前152年）年） 耿壽昌（前耿壽昌（前1世紀(jì)）世紀(jì)） 九章算術(shù)九章算術(shù)九章算術(shù)九章算術(shù)衰(音崔cui)（三）（三） 魏晉至唐初魏晉至唐初 中國數(shù)學(xué)理論體系的中國數(shù)學(xué)理論體系的建立建立 早在公元早在公元263年年劉徽劉徽的的注注九章九章中論證了中論證了九章九章的公式、解法，在圓面積公的公式、解法，在圓

2、面積公式和錐體體積公式的證明中式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割原理和極引入了無窮小分割原理和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，探索出求球體積正確方法，探索出求球體積的正確途徑，使用了大量類的正確途徑，使用了大量類比、歸納推理和演繹推理。比、歸納推理和演繹推理。 算籌與圓周率算籌與圓周率算籌為人類文明做出過巨大貢算籌為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)，我國古代著名的數(shù)學(xué)家祖獻(xiàn)，我國古代著名的數(shù)學(xué)家祖沖之，就是借助算籌計(jì)算出圓沖之，就是借助算籌計(jì)算出圓周率的值介于周率的值介于3.1415926和和3.1415927之間；中國古代的之間；中國古代的天文學(xué)家也運(yùn)用算籌，總結(jié)出天

3、文學(xué)家也運(yùn)用算籌，總結(jié)出了精密的天文歷法。了精密的天文歷法。 綴術(shù)綴術(shù) 祖沖之（祖沖之（429500）父子撰）父子撰 l圓周率算法圓周率算法l球體積推導(dǎo)球體積推導(dǎo)l三次方程問題三次方程問題l球體積球體積(祖暅祖暅)算盤算盤中國人發(fā)明算盤中國人發(fā)明算盤 中國人發(fā)明了算盤，它結(jié)合了中國人發(fā)明了算盤，它結(jié)合了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和一整套計(jì)算口訣并十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和一整套計(jì)算口訣并一直沿用至今，被許多人看作是最一直沿用至今，被許多人看作是最早的數(shù)字計(jì)算機(jī)早的數(shù)字計(jì)算機(jī) 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)海島算經(jīng)海島算經(jīng)劉徽劉徽（生于公元（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上

4、一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作史上，也占有杰出的地位他的杰作九九章算術(shù)注章算術(shù)注和和海島算經(jīng)海島算經(jīng)，是我國最寶，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn) 唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長足的發(fā)唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長足的發(fā)展。展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋人編纂注釋算經(jīng)十書算經(jīng)十書包括包括周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)、九章算術(shù)九章算術(shù) 海島算經(jīng)海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)孫子算經(jīng) 張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)夏侯陽算經(jīng) 緝古算經(jīng)緝古算經(jīng)、五曹算經(jīng)五曹算經(jīng) 五經(jīng)算術(shù)五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)綴術(shù)，作為算學(xué)館學(xué)

5、生用的課本。對保存古作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。 李淳風(fēng)李淳風(fēng) (公元公元604-672年年) 唐代岐州雍人唐代岐州雍人(今陜西風(fēng)翔今陜西風(fēng)翔)宋元全盛時期宋元全盛時期 楊輝三角楊輝三角”又稱為又稱為“賈憲三角賈憲三角”在西方，在西方，稱為稱為“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”賈憲比帕斯卡早賈憲比帕斯卡早600年左右，楊輝比帕斯卡早年左右，楊輝比帕斯卡早400多年多年中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家家和數(shù)學(xué)教育家 楊輝楊輝秦九韶（秦九韶（1202-1261年）年） 創(chuàng)造了創(chuàng)造了大衍求大衍求1術(shù)術(shù)（整數(shù)論中的（整數(shù)論中的

6、一次同余式求解法）。不僅在當(dāng)一次同余式求解法）。不僅在當(dāng)時處于領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學(xué)和時處于領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代電子計(jì)算設(shè)計(jì)中，也起到重現(xiàn)代電子計(jì)算設(shè)計(jì)中，也起到重要的作用，被稱為要的作用，被稱為中國剩余定理中國剩余定理。他所論的。他所論的正負(fù)開方術(shù)正負(fù)開方術(shù)（數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)高次方程根法），被稱為高次方程根法），被稱為秦九韶秦九韶程序程序?，F(xiàn)在世界各國從小學(xué)、中?，F(xiàn)在世界各國從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接學(xué)、大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律、解題原則。觸到他的定理、定律、解題原則。 西學(xué)輸入時期西學(xué)輸入時期徐光啟（徐光啟（1562-1633），）， 上海徐上海徐家匯（今屬上海

7、市）人，他是明家匯（今屬上海市）人，他是明末著名的科學(xué)家，第一個把歐洲末著名的科學(xué)家，第一個把歐洲先進(jìn)的科學(xué)知識，特別是天文學(xué)先進(jìn)的科學(xué)知識，特別是天文學(xué)知識介紹到中國，可謂我國近代知識介紹到中國，可謂我國近代科學(xué)的先驅(qū)者。科學(xué)的先驅(qū)者。 梅文鼎梅文鼎（16331721年），是清代年），是清代具有世界影響的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，具有世界影響的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，宣城數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人。清宣城（今宣城數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人。清宣城（今安徽宣州市）人安徽宣州市）人 梅文鼎幼時注意觀察天象，梅文鼎幼時注意觀察天象，27歲起，始治數(shù)歲起，始治數(shù)學(xué)、歷法，終身潛心學(xué)術(shù)。后接觸西方書籍?？祵W(xué)、歷法，終身潛心學(xué)術(shù)。后接觸

8、西方書籍?？滴跄觊g進(jìn)京，以學(xué)識為康熙帝賞識，曾系統(tǒng)考察熙年間進(jìn)京，以學(xué)識為康熙帝賞識，曾系統(tǒng)考察古今中外歷法，又介紹歐洲數(shù)學(xué)，研究中西歷算。古今中外歷法，又介紹歐洲數(shù)學(xué)，研究中西歷算。其間，為其間，為明史明史館校訂館校訂歷志歷志舛錯舛錯10余處，余處，撰成撰成明史歷志擬稿明史歷志擬稿。近人稱梅文鼎和日本的。近人稱梅文鼎和日本的關(guān)孝和、英國的牛頓為關(guān)孝和、英國的牛頓為“當(dāng)時世界的三大數(shù)學(xué)當(dāng)時世界的三大數(shù)學(xué)家家”，著有，著有方田通法方田通法、方程論方程論。 近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時期近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時期 陳省身陳省身 數(shù)學(xué)家，美國國籍?dāng)?shù)學(xué)家，美國國籍 。曾獲美國國家科。曾獲美國國家科學(xué)獎學(xué)獎(1975)，沃

9、爾夫數(shù)學(xué)獎，沃爾夫數(shù)學(xué)獎(1984)等。等。1994年當(dāng)選為中國科學(xué)院外籍院士。陳省年當(dāng)選為中國科學(xué)院外籍院士。陳省身是身是20世紀(jì)的偉大幾何學(xué)家，在微分幾何世紀(jì)的偉大幾何學(xué)家，在微分幾何方面的成就尤為突出，被世人稱為方面的成就尤為突出，被世人稱為“微分微分幾何之父幾何之父”。丘成桐丘成桐，1949年生年生,廣東汕頭人廣東汕頭人,1969年畢業(yè)于香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)系年畢業(yè)于香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)系,22歲獲歲獲博士學(xué)位博士學(xué)位,27歲因證明世界數(shù)學(xué)難題卡歲因證明世界數(shù)學(xué)難題卡拉比猜想而引起轟動拉比猜想而引起轟動,華人中惟一獲得華人中惟一獲得被稱為世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諾貝爾獎的菲被稱為世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諾貝爾獎的

10、菲爾茲獎爾茲獎,美國哈佛大學(xué)講座教授美國哈佛大學(xué)講座教授,中科中科院外籍院士院外籍院士,美國科學(xué)院院士美國科學(xué)院院士,中科院中科院晨興數(shù)學(xué)研究中心、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)研晨興數(shù)學(xué)研究中心、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)研究中心主任究中心主任,香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長。所長。 數(shù)學(xué)界的戰(zhàn)略科學(xué)家數(shù)學(xué)界的戰(zhàn)略科學(xué)家中科院院士中科院院士吳文俊吳文俊 吳文俊在拓?fù)鋵W(xué)、自動推理、機(jī)吳文俊在拓?fù)鋵W(xué)、自動推理、機(jī)器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學(xué)史、對器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學(xué)史、對策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻(xiàn)，在策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻(xiàn)，在國內(nèi)外享有盛譽(yù)。國內(nèi)外享有盛譽(yù)。 他在拓?fù)鋵W(xué)的示性類、示嵌類的他在拓?fù)鋵W(xué)

11、的示性類、示嵌類的研究方面取得一系列重要成果，是拓研究方面取得一系列重要成果，是拓?fù)鋵W(xué)中的奠基性工作，并有許多重要撲學(xué)中的奠基性工作，并有許多重要應(yīng)用。他創(chuàng)立的應(yīng)用。他創(chuàng)立的“吳文俊方法吳文俊方法”在國在國際機(jī)器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有際機(jī)器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有廣泛的重要的應(yīng)用價(jià)值。廣泛的重要的應(yīng)用價(jià)值。 華羅庚華羅庚（hua loo-keng，公元，公元1910年年11月月12日日公元公元1985年年6月月12日）是近代世界有名的日）是近代世界有名的中國數(shù)學(xué)家。對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是多方面的，在數(shù)中國數(shù)學(xué)家。對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是多方面的，在數(shù)論中，他解決了高斯完整三角和的估計(jì)，對華論中，他解決了高

12、斯完整三角和的估計(jì)，對華林問題、塔里問題的結(jié)果做出了重大推進(jìn)。他林問題、塔里問題的結(jié)果做出了重大推進(jìn)。他在圓法與三角和估計(jì)法方面的結(jié)果長期居世界在圓法與三角和估計(jì)法方面的結(jié)果長期居世界領(lǐng)先地位。他的著作領(lǐng)先地位。他的著作堆壘素?cái)?shù)論堆壘素?cái)?shù)論、數(shù)論數(shù)論導(dǎo)引導(dǎo)引及與王元合著的及與王元合著的數(shù)論在近似分析中的數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用應(yīng)用等都已成為經(jīng)典著作。華羅庚在復(fù)分析等都已成為經(jīng)典著作。華羅庚在復(fù)分析和典型群方面也有許多工作，其中論文和典型群方面也有許多工作，其中論文典型典型域上的多元復(fù)變量函數(shù)論域上的多元復(fù)變量函數(shù)論被國際學(xué)術(shù)界稱為被國際學(xué)術(shù)界稱為華氏定理。華氏定理。 陳景潤陳景潤，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家

13、，世界著名解析數(shù)中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家，世界著名解析數(shù)論學(xué)家之一。論學(xué)家之一。 1966年，陳景潤攻克了世界年，陳景潤攻克了世界著名數(shù)學(xué)難題著名數(shù)學(xué)難題“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”中的中的(1+2)，創(chuàng)造了距摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠創(chuàng)造了距摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遙的輝煌。他在哥德巴赫猜想的只是一步之遙的輝煌。他在哥德巴赫猜想的研究上居世界領(lǐng)先地位。他研究哥德巴赫猜研究上居世界領(lǐng)先地位。他研究哥德巴赫猜想和其他數(shù)論問題的成就，至今，仍然在世想和其他數(shù)論問題的成就，至今，仍然在世界上遙遙領(lǐng)先。世界級的數(shù)學(xué)大師、美國學(xué)界上遙遙領(lǐng)先。世界級的數(shù)學(xué)大師、美國學(xué)者阿者阿 威爾威爾(a we

14、il)曾這樣稱贊他：曾這樣稱贊他：“陳景陳景潤的每一項(xiàng)工作，都好像是在喜馬拉雅山山潤的每一項(xiàng)工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。巔上行走?！?陳景潤于陳景潤于1978年和年和1982年兩年兩次收到國際數(shù)學(xué)家大會請他作次收到國際數(shù)學(xué)家大會請他作45分鐘報(bào)告的分鐘報(bào)告的邀請，這是中國人的自豪和驕傲邀請，這是中國人的自豪和驕傲 大約公元前世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯大約公元前世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研悖論。當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為 四藝

15、四藝 ，在其中追求宇宙，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為的直角三角形就之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時認(rèn)識上的時認(rèn)識上的

16、危機(jī)危機(jī) ，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。 到了公元前到了公元前370370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得出現(xiàn)在歐幾里得原本原本第卷中。歐多克斯和狄德金于第卷中。歐多克斯和狄德金于18721872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困

17、難和微妙之處。帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對古希臘的數(shù)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份升高了。表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，危機(jī)也表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，從此希臘人開

18、始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！ 1818世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。 17341734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表分析學(xué)家或者分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)- -無窮無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：小的問題，提

19、出了所謂貝克萊悖論。他指出： 牛頓在求牛頓在求x xn n的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)時，采取了先給數(shù)時，采取了先給x x以增量，應(yīng)用二項(xiàng)式（以增量，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0 x+0）n n，從中減去，從中減去x xn n以求得增量，并除以以求出以求得增量，并除以以求出xnxn的增量與的增量與x x的增量之比，然后的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)律的手續(xù)先設(shè)先設(shè)x x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x x沒有增沒有增量。量。 他認(rèn)為無窮小他認(rèn)為無窮小dxdx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即既

20、等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，去，這是荒謬，dxdx為逝去量的靈魂為逝去量的靈魂 。無窮小量究竟是不是零？。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。達(dá)一個半世紀(jì)的爭論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的，直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性，符號的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及

21、積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。 直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，是由數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，是由18971897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合

22、概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。 18971897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。19021902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾

23、被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于式通俗化。其中最著名的是羅素于19191919年給出的，它涉及到某村年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們試圖回答刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們試圖回答下列疑問時，就認(rèn)識到了這種情況的悖論性質(zhì)：下列疑問時，就認(rèn)識到了這種情況的悖論性質(zhì)： 理發(fā)師是否自己理發(fā)師是否自己給自己刮臉？給自己刮臉？ 如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮

24、臉，那么他就不符合他的原則。臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。 羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的到羅素的信之后，在他剛要出版的算術(shù)的基本法則算術(shù)的基本法則第第卷末尾寫道：卷末尾寫道： 一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地 。于是終結(jié)了。于是終結(jié)了近近1212年的刻苦鉆研。年的刻苦鉆

25、研。 承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連的。所不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它

26、形式延續(xù)著。式延續(xù)著。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所倡導(dǎo)的是一種畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所倡導(dǎo)的是一種“唯數(shù)論唯數(shù)論”的哲學(xué)，認(rèn)為的哲學(xué)，認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧性，即一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧性，即一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比。但關(guān)于正方形的對角線與其邊長的不可公整數(shù)與整數(shù)的比。但關(guān)于正方形的對角線與其邊長的不可公度線段度線段( (即其長度不能歸結(jié)為整數(shù)的比即其長度不能歸結(jié)為整數(shù)的比) )的存在和證明，使畢氏的存在和證明，使畢氏學(xué)派的基本信念遭到了致命的打擊。這一不可公度性的證明學(xué)派的基本信念遭到了致命的打擊。這一不可公度性的證明在當(dāng)時就被認(rèn)為是悖論，人們稱之為畢達(dá)哥拉斯悖論。在當(dāng)

27、時就被認(rèn)為是悖論，人們稱之為畢達(dá)哥拉斯悖論。 埃利亞學(xué)派在世界本質(zhì)問題上認(rèn)為只有埃利亞學(xué)派在世界本質(zhì)問題上認(rèn)為只有“存存在在”( (神神) )是不生不滅的，它是完整、唯一和不動的。是不生不滅的，它是完整、唯一和不動的。芝諾力圖證明，如果承認(rèn)芝諾力圖證明，如果承認(rèn)“多多”和和“運(yùn)動運(yùn)動”，就會，就會招致招致“更加可笑的后果更加可笑的后果”，陷入更大的矛盾。在芝，陷入更大的矛盾。在芝諾的論證中，有四個是最著名的，即諾的論證中，有四個是最著名的，即“二分法二分法”、“阿基里斯追龜阿基里斯追龜”、“飛箭飛箭”、“運(yùn)動場運(yùn)動場”等，人等，人們稱之為芝諾悖論。們稱之為芝諾悖論。 二分法二分法l“二分法二分

28、法”是這樣陳述的：物體在到達(dá)目的是這樣陳述的：物體在到達(dá)目的地之前必須先到達(dá)全程的一半，要到達(dá)全地之前必須先到達(dá)全程的一半，要到達(dá)全程的一半，就必須到達(dá)全程的四分之一，程的一半，就必須到達(dá)全程的四分之一，這樣的要求可以無限下去。所以，如果物這樣的要求可以無限下去。所以，如果物體起動了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者它根體起動了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者它根本動本動 不了。不了。 阿基里斯追龜阿基里斯追龜 阿基里斯是古希臘的長跑健將，但是芝諾說阿基里斯是古希臘的長跑健將，但是芝諾說他永遠(yuǎn)也追不上一只烏龜。他永遠(yuǎn)也追不上一只烏龜。 如果讓烏龜先行一段路程，那么阿基里斯將永如果讓烏龜先行一段路程，那么阿基里斯

29、將永遠(yuǎn)追不上烏龜。烏龜先行了一段距離，阿基里斯遠(yuǎn)追不上烏龜。烏龜先行了一段距離，阿基里斯為了趕上烏龜，必須要到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)為了趕上烏龜，必須要到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)a。但當(dāng)。但當(dāng)阿基里斯到達(dá)阿基里斯到達(dá)a點(diǎn)時，烏龜已經(jīng)向前進(jìn)到了點(diǎn)時，烏龜已經(jīng)向前進(jìn)到了b點(diǎn)。點(diǎn)。而當(dāng)阿基里斯到達(dá)而當(dāng)阿基里斯到達(dá)b點(diǎn)時，烏龜又已經(jīng)到了點(diǎn)時，烏龜又已經(jīng)到了b前面前面的的c點(diǎn)點(diǎn).依此類推，兩者雖越來越接近，但阿依此類推，兩者雖越來越接近，但阿基里斯永遠(yuǎn)落在烏龜?shù)暮竺娑凡簧蠟觚??；锼褂肋h(yuǎn)落在烏龜?shù)暮竺娑凡簧蠟觚敗?古典數(shù)學(xué)名著古典數(shù)學(xué)名著幾何原本幾何原本的第一個注釋者普羅的第一個注釋者普羅克魯斯看到圓的直徑把圓分成兩

30、個半圓，而圓的直徑克魯斯看到圓的直徑把圓分成兩個半圓，而圓的直徑有無窮多，所以他認(rèn)為半圓的數(shù)目應(yīng)當(dāng)是兩倍的無窮有無窮多，所以他認(rèn)為半圓的數(shù)目應(yīng)當(dāng)是兩倍的無窮多。按當(dāng)時的無窮思想，無窮應(yīng)當(dāng)是相等的，于是產(chǎn)多。按當(dāng)時的無窮思想，無窮應(yīng)當(dāng)是相等的，于是產(chǎn)生了生了“一個無窮大等于兩個無窮大一個無窮大等于兩個無窮大”的悖論，被人稱的悖論，被人稱為普羅克魯斯悖論。為普羅克魯斯悖論。 亞里士多德發(fā)現(xiàn)，在兩個同心而半徑不相等的亞里士多德發(fā)現(xiàn)，在兩個同心而半徑不相等的圓周上有相同的點(diǎn)數(shù)，被稱之為亞里士多德悖論，圓周上有相同的點(diǎn)數(shù)，被稱之為亞里士多德悖論，即即“大小不同的兩個圓之周長相等大小不同的兩個圓之周長相等

31、”的悖論。的悖論。l 伽利略注意到，固定兩個半徑不相等的同心圓，伽利略注意到，固定兩個半徑不相等的同心圓，再將其旋轉(zhuǎn)一周，并認(rèn)為證明了這兩個圓的周長再將其旋轉(zhuǎn)一周，并認(rèn)為證明了這兩個圓的周長相等的悖論，這是亞里士多德悖論的另一種證明。相等的悖論，這是亞里士多德悖論的另一種證明。同時，伽利略還用今天的一一對應(yīng)方法證明了同時，伽利略還用今天的一一對應(yīng)方法證明了“整數(shù)同其平方數(shù)相等整數(shù)同其平方數(shù)相等”，于是得出，于是得出“部分等于部分等于全體全體”的悖論，被人稱為伽利略悖論。的悖論，被人稱為伽利略悖論。l 早在早在16381638 年，意大利天文學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣年，意大利天文學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣

32、一個問題，就是：正整數(shù)集合：一個問題，就是：正整數(shù)集合： s1= 1, 2, 3, , n,s1= 1, 2, 3, , n,與正整數(shù)的平方數(shù)集合：與正整數(shù)的平方數(shù)集合： s2= 1, 4, 9, , ns2= 1, 4, 9, , n2 2,這兩個集合中，哪一個的元素更多一些呢？一方面，這兩個集合中，哪一個的元素更多一些呢？一方面，凡是凡是s2s2中的元素，都是中的元素，都是s1s1 中的元素，亦即中的元素，亦即s2s2 是是s1s1的一個子集合，而且是一個真子集合，的一個子集合，而且是一個真子集合，這樣，這樣，s1s1的元素要比的元素要比s2s2的元素多一些，但是，另一方面，的元素多一些，

33、但是，另一方面，s1s1中每一個元素都有中每一個元素都有s2s2中唯一的元素與之對應(yīng)，中唯一的元素與之對應(yīng)，這樣這樣s2s2的元素個數(shù)又不比的元素個數(shù)又不比s1s1少了。到底少了。到底s2s2是否比是否比s1s1少呢？伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學(xué)家也回答不少呢？伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學(xué)家也回答不了這個問題。了這個問題。 因?yàn)橘だ允亲钤缣岢鰜聿糠志烤沟炔坏扔谡w因?yàn)橘だ允亲钤缣岢鰜聿糠志烤沟炔坏扔谡w的，所以這個悖論便稱為是伽利略悖論的，所以這個悖論便稱為是伽利略悖論 在在1717世紀(jì)末期產(chǎn)生了牛頓和萊布尼茨的微積分。這個微積分世紀(jì)末期產(chǎn)生了牛頓和萊布尼茨的微積分。這個微積分完全以實(shí)無窮小為基礎(chǔ)。關(guān)于實(shí)無窮小，人們自然地會問：它完全以實(shí)無窮小為基礎(chǔ)。關(guān)于實(shí)無窮小，人們自然地會問：它到底是零還是非零？如果到底是零還是非零？如果dxdx=0=0，就得出，就得出dy/dxdy/dx=0/0=0/0這一毫無意這一毫無意義的結(jié)果；如果義的結(jié)