機(jī)器人導(dǎo)論第二章 空間描述和變換

1、第二章第二章 空間描述和變換空間描述和變換2.1 概述2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3 映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4 算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換2.5 總結(jié)和說明2.6 變換算法2.7 變換方程2.8 姿態(tài)的其他描述方法2.9 自由矢量的變換2.10 計(jì)算分析2.1 概述概述v機(jī)器人操作：通過某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運(yùn)動。這自然就需要表達(dá)零件、工具以及機(jī)構(gòu)本身的位置和姿態(tài)。v如何定義和運(yùn)用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量？我們必須定義坐標(biāo)系并并給出表達(dá)規(guī)則。v位姿的描述是表達(dá)線速度和角速度、力和力矩的基礎(chǔ)。v世界坐標(biāo)系：討論任何問題都能夠參照這個坐標(biāo)系，定義的位姿都是參照世界坐標(biāo)系或者由世界

2、坐標(biāo)系定義的笛卡爾坐標(biāo)系。2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系 描述描述：用來確定一個操作系統(tǒng)處理的各種對象的特性。這些對象包括零件、工具和操作臂本身。在本節(jié)中，我們將討論位姿的描述以及包含這兩個描述的統(tǒng)一體：坐標(biāo)系。位置描述位置描述v一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個31位置矢量對世界坐標(biāo)系中的任何點(diǎn)進(jìn)行定位。其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系向量向相應(yīng)軸的投影注意：位置矢量必須附加信息，標(biāo)明是在哪一個坐標(biāo)系被定義的這個前置的上標(biāo)a標(biāo)明此位置矢量是在坐標(biāo)系a中定義的姿態(tài)姿態(tài)描述描述v對于一個剛體來說，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)。v為了描

3、述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對于參考系的表達(dá)。333131232221131211rrrrrrrrrzyxrbababaababababababababababbababaabzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxrzyxabababbababaabzyxrtbabaabrrr1v以上表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3izyxrrababababababbatbazyxtbaabrrv(1)方向角v,稱為向量oa的方向角v(2)方向余弦vcos,cos,cos稱為向量oa的方向余弦222coscbaara222coscbabrb222coscbacrcv

4、(3)性質(zhì) cos,cos,cos,1coscoscos222rrrcbaoa62031612131612131p坐標(biāo)系坐標(biāo)系的描述的描述v完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)v我們可在物體上任選一點(diǎn)描述其位置，為方便起見，將其作為連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)。v在機(jī)器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對出現(xiàn)，于是我們將此組合稱作坐標(biāo)系，四個矢量為一組，表示了位置和姿態(tài)信息。旋轉(zhuǎn)矩陣原點(diǎn)位置矢量v坐標(biāo)系可用三個標(biāo)有箭頭單位矢量定義的坐標(biāo)系的主軸來描述；v從原點(diǎn)到另一點(diǎn)的箭頭表示了一個矢量，這個矢量表示了箭頭處的原點(diǎn)相對于箭尾所在坐標(biāo)系的位置；例如在圖中，箭頭方向表示c相對于a的關(guān)系而不是a相對于c的關(guān)系。

5、v一個參考系可以用一個坐標(biāo)系相對于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來描述。坐標(biāo)系的圖形表示坐標(biāo)系的圖形表示2.3 映射映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換在機(jī)器人學(xué)的許多問題中，需要用不同的參考坐標(biāo)系來表達(dá)同一個量。在上節(jié)中介紹了位置、姿態(tài)和坐標(biāo)系的描述方法；現(xiàn)在為了描述從一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的變換，我們討論映射的數(shù)學(xué)方法。關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射兩個坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)borgabapppb不同于a的只是平移，可用矢量表示b的原點(diǎn)相對于a的位置這個例子說明了如何將一個矢量從一個坐標(biāo)系映射到另一個坐標(biāo)系。映射的概念，即描述一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的變換。關(guān)于關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的

6、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射映射v我們已知矢量相對于某坐標(biāo)系b的定義 ，怎樣求矢量相對另一個坐標(biāo)系a的定義 ？且這兩個坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。pbpazyxabababbababaabzyxrv例2.1 圖中表示坐標(biāo)系b相對于坐標(biāo)系a繞 軸旋轉(zhuǎn)30度。這里 軸指向?yàn)橛杉埫嫦蛲?。zzb繞 軸旋轉(zhuǎn)30度zv在a中寫出b單位矢量，將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 0rab已知：求出 ：pa0 . 00 . 20 . 0pb000. 0732. 1000. 1prpbaba這里， 的作用是將相對于坐標(biāo)系a描述的 映射到

7、。注意:從映射的角度看，原矢量p在空間并沒有改變，我們只不過求出了這個矢量相對于另一個坐標(biāo)系的新的描述。abrpbpa10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxrrrv這些旋轉(zhuǎn)變換可以通過右圖推導(dǎo)zbzaybxbyaybxbxappppppppcossinsincoszbybxbzayaxapppppp1000cossin0sincos關(guān)于關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射一般坐標(biāo)系的映射v問題：我們已知矢量相對某坐標(biāo)系b的描述，想求出它相對于另一個坐標(biāo)系a的描述。v一般的情形：v（1）坐標(biāo)系b和坐標(biāo)系a不具有相同的姿態(tài)v（2）坐標(biāo)系b和坐標(biāo)系a原點(diǎn)不重合v(1)在坐標(biāo)系

8、b和坐標(biāo)系a之間有一個矢量偏移v(2) b 相對于a有旋轉(zhuǎn)，用 描述v問題：給出 ，試著計(jì)算rabpbpaaborgpborgababpprpaptpbaba110001pprpbborgaaba111000333231232221131211333231232221131211333231232221131211zayaxazbybxbbozaboyaboxazabozazbybxbyaboyazbybxbxaboxazbybxbbozaboyaboxazbybxbboababzayaxaappppppprrrprrrprrrppprprprppprprprppprprprpppppprrr

9、rrrrrrpprppppv上式的一般映射矩陣可以寫為:v齊次變換矩陣,綜合表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合v上式可以寫為:v vp點(diǎn)在a和b中的位置矢量分別增廣為:v而齊次變換公式和變換矩陣變?yōu)?v 11010pprpbbaabatbbbbtaaaazyxzyx1,1pp10,0baababbabaprtptpv齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)v所謂齊次坐標(biāo)就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示.有一個特定的投影附加于n維空間,也可以把它看作一個附加于每個矢量的比例系數(shù). v三維直三維直v角坐標(biāo)角坐標(biāo) twwzwywxv v齊次齊次v坐標(biāo)坐標(biāo)顯然顯然,齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一的齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一

10、的,隨隨w值的不同而不同值的不同而不同.在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中,w 作為通用比例因子作為通用比例因子,它可取任意正值它可取任意正值,但在機(jī)器人的運(yùn)動分析中但在機(jī)器人的運(yùn)動分析中,總是取總是取w=1. tzyxv v機(jī)器人的坐標(biāo)變換主要包括平移和旋轉(zhuǎn)變換,平移是矩陣相加運(yùn)算,旋轉(zhuǎn)則是矩陣相乘,綜合起來可以表示為p = m1*p + m2(m1旋轉(zhuǎn)矩陣,m2為平移矩陣,p為原向量,p為變換后的向量).引入齊次坐標(biāo)的目的主要是合并矩陣運(yùn)算中的乘法和加法,合并后可以表示為p = m*p的形式.即它提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個點(diǎn)集從一個坐標(biāo)系變換到另一個坐標(biāo)系的有效方法. v為

11、什么要引進(jìn)齊次坐標(biāo)為什么要引進(jìn)齊次坐標(biāo),它有什么優(yōu)點(diǎn)它有什么優(yōu)點(diǎn)?v例2.2 圖2-8表示了一個坐標(biāo)系b，它繞坐標(biāo)系a的 軸旋轉(zhuǎn)了30度，沿 平移10個單位，再沿 平移5個單位。已知 ，求 。axayz圖2-8 經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系btb0 . 00 . 70 . 3p pav坐標(biāo)系b的定義為：按照b的定義和已知條件進(jìn)行變換：已知：10000 . 0000. 1000. 0000. 00 . 5000. 0866. 0500. 00 .10000. 0500. 0866. 0tab0 . 00 . 70 . 3pb000. 0562.12098. 9ptpbaba2.4 算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換

12、算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換算子：用于坐標(biāo)系間點(diǎn)的映射的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式，包括點(diǎn)的平移算子、矢量旋轉(zhuǎn)算子和平移加旋轉(zhuǎn)算子。平移算子空間點(diǎn)的平移與此點(diǎn)向另一個坐標(biāo)系的映射具有相同的數(shù)學(xué)描述。當(dāng)一個矢量相對于一個坐標(biāo)系“向前移動”時，既可以認(rèn)為是矢量“向前移動”，也可以認(rèn)為坐標(biāo)系“向后移動”，二者的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的，只不過是觀察位置不同。如圖2-9表示矢量 怎樣通過矢量 進(jìn)行平移。這里，矢量 給出了進(jìn)行平移的信息。1apaqaq運(yùn)算結(jié)果是得到一個新的矢量2apqppaaa12用矩陣算子寫出平移變換，有： 12pqdpaqa算子dq可被看成是一個特殊形式的齊次變換： 1000100010001zyxqqq

13、qqd旋轉(zhuǎn)算子旋轉(zhuǎn)矩陣還可以用旋轉(zhuǎn)變換算子來定義，它將一個矢量 用旋轉(zhuǎn)r變換成一個新的矢量 。通常，當(dāng)一個旋轉(zhuǎn)矩陣作為算子時，就無需寫出下標(biāo)或上標(biāo)，因?yàn)樗簧婕皟蓚€坐標(biāo)系。因此可寫為：1ap2ap12prpaa矢量經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)r得到的旋轉(zhuǎn)矩陣與一個坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)r得到的旋轉(zhuǎn)矩陣是相同的。盡管將旋轉(zhuǎn)矩陣看作為一個算子是很簡單的，但是我們將用另一個符號定義旋轉(zhuǎn)算子以明確地說明是繞哪個軸旋轉(zhuǎn)的： 12prpaka 1000010000cossin00sincoszr例2.3 圖2-10給出一個矢量 。計(jì)算繞 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的新矢量 。2ap1ap將矢量繞 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的旋轉(zhuǎn)矩陣

14、與一個坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的旋轉(zhuǎn)矩陣是相同的。因此，正確的旋轉(zhuǎn)算子是zz000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 00 .30zr已知求得 為0 . 00 . 20 . 01pa2ap000. 0732. 1000. 10 .3012prpazaz變換算子與矢量和旋轉(zhuǎn)矩陣一樣，坐標(biāo)系還可以用變換算子來定義。在這個定義中，只涉及到一個坐標(biāo)系，所以符號t沒有上下標(biāo)。算子t將一個矢量 平移并旋轉(zhuǎn)得到一個新的矢量：1ap12ptpaa經(jīng)旋轉(zhuǎn)r和平移q的齊次變換矩陣與一個坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系經(jīng)旋轉(zhuǎn)r和平移q的齊次變換矩

15、陣是相同的。一個變換通常被認(rèn)為是由一個廣義旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。例2.4 圖2-11給出一個矢量 。將其繞 軸旋轉(zhuǎn)30度并沿 軸平移10個單位，沿 軸平移5個單位，已知 ，求 。1ap1370tap 進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的算子t為：2ap10000 . 0000. 1000. 0000. 00 . 5000. 0866. 0500. 00 .10000. 0500. 0866. 0t0 . 00 . 70 . 31pa000. 0562.12098. 912ptpaazaxay已知將t看做算子：2.5 總結(jié)總結(jié)和說明和說明首先介紹了平移的概念，然后介紹了旋轉(zhuǎn)的概念，最后介紹了旋

16、轉(zhuǎn)和平移的一般情況。介紹了一個包括姿態(tài)和位置信息的4x4齊次變換矩陣，作為表示坐標(biāo)系的一般工具。給出了齊次變換矩陣的三個定義：（1）它是坐標(biāo)系的描述。 表示相對于坐標(biāo)系a的坐標(biāo)系b。特別是， 的各列是坐標(biāo)系b主軸方向上的單位矢量， 確定了b的原點(diǎn)。（2）它是變換映射。 是映射 。（3）它是變換算子。 將 變換為 。tababraborgptabbappt1ap2ap由此可見，坐標(biāo)系和變換都可用位置矢量加上姿態(tài)來描述。一般來說坐標(biāo)系主要是用于描述，而變換常用來表示映射或算子。變換是平移和旋轉(zhuǎn)的組合;但有時在純旋轉(zhuǎn)（或純平移）情況下也常用變換這個術(shù)語。2.6 變換算法變換算法本節(jié)介紹變換的乘法和變

17、換的逆運(yùn)算。這兩個基本運(yùn)算組成了一套功能完備的變換算子。v混合變換（乘法變換）v已知 ，求已知坐標(biāo)系c相對于坐標(biāo)系b，并且已知坐標(biāo)系b相對于坐標(biāo)系a。pcpav即，我們知道v答案：v步驟(1)將 變換成 ：v步驟(2)將 變換成 ：v步驟(3)聯(lián)立步驟(1)、(2)，消去中間項(xiàng) ，得到pcpapbpbpbv給定已知的b 和 c的描述：v可以得到從 c到a的齊次變換矩陣：逆變換逆變換v 已知坐標(biāo)系b相對于坐標(biāo)系a 的描述，即已知怎樣求a相對于b的描述？v 一個可能的方法：直接對矩陣 求逆v另一種方法：利用變換的性質(zhì)求逆，即利用矩陣 的特殊結(jié)構(gòu)tabtabv步驟1) 由 計(jì)算出v步驟2) 由 計(jì)算

18、出v上式的左邊是坐標(biāo)系b的原點(diǎn)在b中的描述，所以左邊=0rabrbaborgapaorgbpv步驟3)綜上，計(jì)算 的方法如下：v上式是求齊次逆變換的一般且非常有用的方法v注意，使用符號tba1abbatt1000prrtborgatabtabba一般,若1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaont則10001apopnptzyxzyxzyxaaaooonnntzyxtzyxtzyxtzyxaaaooonnnpppaonp,例2.5 圖2-13表示坐標(biāo)系b繞坐標(biāo)系a的 軸旋轉(zhuǎn)30度，沿 軸平移4個單位，沿 軸平移3單位，于是得到 ，求 。abtbat定義坐標(biāo)系b：10000 . 0

19、000. 1000. 0000. 00 . 3000. 0866. 0500. 00 . 4000. 0500. 0866. 0tab計(jì)算得到：10000 . 0000. 1000. 0000. 0598. 0000. 0866. 0500. 0964. 4000. 0500. 0866. 0tbazaxay2.7 變換方程變換方程圖2-14表示坐標(biāo)系d可以用兩種不同的方式表達(dá)成變換相乘的形式。第一個第二個將兩個表達(dá)式構(gòu)造成一個變換方程tttaduaudttttcdbcubudtttttcdbcubadua如有n個未知變換和n個變換方程，這個變換可由變換方程解出。設(shè)式（2-50）中的所有變換除

20、了外均已知。這里，有一個變換方程和一個未知變換，很容易解出：11ttttcdudubbc在圖2-15中，c的兩個可能的描述為：ttttdcdauauc1tttbcubuc還可用式（2-52）和式（2-53）解出tttttdadcbcubua1例2.6 假定已知圖2-16中變換描述了操作臂指端的坐標(biāo)系t，它是相對于操作臂基座的坐標(biāo)系b的，又已知工作臺相對于操作臂基座的空間位置（因?yàn)橐阎c工作臺相連的坐標(biāo)系s是），并且已知工作臺上螺旋的坐標(biāo)系相對于工作臺坐標(biāo)系的位置，即。計(jì)算螺旋相對操作手的位姿。由公式推導(dǎo)（按照要求和我們的理解）得到相對于操作手坐標(biāo)系的螺旋坐標(biāo)系為：ttttsgbsbttg12.

21、8 姿態(tài)的其他描述方法姿態(tài)的其他描述方法33旋轉(zhuǎn)矩陣是一種特殊的各列相互正交的單位矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣也可被稱為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，“標(biāo)準(zhǔn)”是指其行列式的值為+1.能否用少于九個數(shù)字來表示一個姿態(tài)。線性代數(shù)的結(jié)論告訴我們，對于任何正交矩陣r，存在一個反對稱矩陣s，滿足 sisir313zz000 xyxysssssss任何33旋轉(zhuǎn)矩陣可用三個參量確定。顯然，旋轉(zhuǎn)矩陣的九個分量線性相關(guān)。實(shí)際上，對于一個旋轉(zhuǎn)矩陣r很容易寫出六個線性無關(guān)的分量。如上所述，假定r為三列：rxyz這三個矢量是參考坐標(biāo)系中某坐標(biāo)系的單位軸。每個矢量都是單位矢量，且相互垂直，所以9個矩陣元素有6個約束：000111zyzxyxzyx自

22、然要問是否能找到這樣一種姿態(tài)表示法，用三個參量就能簡單進(jìn)行表述。本節(jié)將給出幾個姿態(tài)表示法。沿著三個垂直的軸的平移運(yùn)動比較直觀，而旋轉(zhuǎn)似乎不太直觀。例2.7 考慮兩個旋轉(zhuǎn)，一個繞軸 轉(zhuǎn)30度，而另一個繞 軸轉(zhuǎn)30度：000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 030zr866. 0500. 0000. 0500. 0866. 0000. 0000. 0000. 0000. 130xr87. 043. 025. 050. 075. 043. 000. 050. 087. 0303087. 050. 000. 043. 0-75. 050

23、. 025. 043. 0-87. 03030zxxzrrrr旋轉(zhuǎn)矩陣一般不是互逆的，即 與 不同。abbcr rbacbr rzx因?yàn)樾D(zhuǎn)既可被看作算子又可被看作是對姿態(tài)的描述，因此毋庸置疑對于不同的用途就有不同的表示法。旋轉(zhuǎn)矩陣可作為算子，、當(dāng)乘以矢量時，旋轉(zhuǎn)矩陣就起到旋轉(zhuǎn)運(yùn)算的作用。但是，用旋轉(zhuǎn)矩陣來確定姿態(tài)有些不便。一個計(jì)算機(jī)終端操作員在輸入一個機(jī)械手的期望姿態(tài)時，需要煩瑣地輸入一個九個元素的正交矩陣。而一種只需三個數(shù)的表示法就顯得簡便些。12種歐拉角坐標(biāo)系：x-y-z x-z-yy-x-z y-z-xz-x-y z-y-xx-y-x x-z-xy-x-y y-z-yz-x-z z-y

24、-z12種固定角坐標(biāo)系：x-y-z x-z-yy-x-z y-z-xz-x-y z-y-xx-y-x x-z-xy-x-y y-z-yz-x-z z-y-zx-y-z固定角坐標(biāo)系描述坐標(biāo)系b姿態(tài)的一種方法：首先將坐標(biāo)系b和一個參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 轉(zhuǎn) 角。每個旋轉(zhuǎn)都是繞著固定參考坐標(biāo)系a的軸。我們規(guī)定這種姿態(tài)的表示法為x-y-z固定角坐標(biāo)系?！肮潭ā币辉~是指旋轉(zhuǎn)是在固定（即不運(yùn)動的）參考坐標(biāo)系中確定的。有時把它們定義為回轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏轉(zhuǎn)角。axayaz cssccssccsscrrrrxyzxyzab000010010010000,ccscssccss

25、ccssscssscsccssscccrxyzab,333231232221131211,rrrrrrrrrrxyzabcrcracrcrarrra/,/2tan/,/2tan2tan33321121212112,3122,122tan0 . 00 .90rra22,122tan-0 . 00 .90-rraatan2（y，x）計(jì)算tan-1（y/x）時，可根據(jù)x和y的符號可判別求得的角所在的象限。例如，atan2（-2,-2）=-135，而atan2（2,2）=45，一個反正切函數(shù)的解可能被丟失。我們經(jīng)常在360的范圍內(nèi)計(jì)算角度，因此一般應(yīng)用atan2函數(shù)。注意，當(dāng)兩個解都是0時，atan2

26、成為不定的。有時稱它為“4象限反正切”，一些編程語言庫中對其作了預(yù)定義。z-y-x歐拉角坐標(biāo)系b的另一種表示法如下：首先將坐標(biāo)系b和一個已知參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 旋轉(zhuǎn) 角。在這種表示法中，每次都是繞運(yùn)動坐標(biāo)系b的各軸旋轉(zhuǎn)而不是繞固定坐標(biāo)系a的各軸旋轉(zhuǎn)。這樣三個一組的旋轉(zhuǎn)被稱為歐拉角。注意每次旋轉(zhuǎn)所繞的軸的方位取決于上次的旋轉(zhuǎn)。由于三個旋轉(zhuǎn)分別是繞著z,y和x，所以稱這種表示法為z-y-x歐拉角。bzbybxrrrrbbbbabab 001000010000100abzyxz y xrrrrcscssccsscsc abz y xc cc s ss cc

27、s cs srs cs s sc cs s cc ssc sc c z-y-z歐拉角坐標(biāo)系b的另一種表示法為：首先將坐標(biāo)系b和一個已知參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 旋轉(zhuǎn) 角。相對于運(yùn)動坐標(biāo)系b的旋轉(zhuǎn)描述是一個歐拉角描述。因?yàn)槿齻€旋轉(zhuǎn)是依次繞z,y和z，所以稱為此描述為z-y-z歐拉角。按上一節(jié)的推導(dǎo)，可得到等效矩陣 ,abz y zc s cs cc c ss cc srs c cc ss c sc cs ss cs sc bzbybz從等效矩陣得出z-y-z歐拉角介紹如下：已知 111213212223313233,abz y zrrrrrrrrrr 2231

28、323323133231tan2,tan2/,/tan2/,/arrrarsrsarsrs11,12-2tan0 . 00 . 0rra11,12-2tan0 . 00 .180rra ,abz y zc s cs cc c ss cc srs c cc ss c sc cs ss cs sc 其他角坐標(biāo)系的表示法已經(jīng)介紹了三種表示姿態(tài)的慣用方法：x-y-z固定角、z-y-x歐拉角和z-y-z歐拉角。每個表示法均需要按一定順序進(jìn)行三次繞主軸的旋轉(zhuǎn)。這些表示法是24種表示法中的典型方法，且都被稱作角坐標(biāo)系表示法。其中，12種為固定角坐標(biāo)系，另12種為歐拉角坐標(biāo)系。注意到由于二者的對偶性，對于繞主

29、軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣實(shí)際上只有12種唯一的參數(shù)表示法。等效軸角坐標(biāo)系表示法符號 表示繞一個給定軸 旋轉(zhuǎn)30度的方位。這是一個等效軸角坐標(biāo)系表示法的例子。如果軸的方向是一般方向，任何方位都可通過選擇適當(dāng)?shù)妮S和角度來得到。30.0xrx坐標(biāo)系b的表述如下：首先將坐標(biāo)系b和一個已知參考坐標(biāo)系a重合將b繞矢量 按右手定則旋轉(zhuǎn) 角。 cos0sin010sin0coscossin0sincos0011yxrr 1000cossin0sincoszr yxxxyzxzkxyzyyyzxxzyyzxzzk k vck k vk sk k vk srk k vk sk k vck k vk sk k vk s

30、k k vk sk k vcak從一個給定的旋轉(zhuǎn)矩陣求出 和 ，這個逆問題大部分留在習(xí)題中，單在此給出一部分結(jié)果。如果 333231232221131211rrrrrrrrrrkab21cos332211rrra122131132332sin21rrrrrrk那么k例2.8 坐標(biāo)系b最初與坐標(biāo)系a重合。我們使坐標(biāo)系b繞矢量 旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角 ，求坐標(biāo)系b的描述。0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 0866. 0354. 0354. 00 . 0354. 0933. 0067. 00 . 0354. 0067. 0933. 0tab到此為止，我們討論過的所有旋轉(zhuǎn)都是繞經(jīng)過參考系原點(diǎn)的軸進(jìn)行

31、。如果我們遇到的問題不屬于這種情況時，我們可以定義另外一個坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的原點(diǎn)在軸上，為此將這類問題簡化為“經(jīng)過原點(diǎn)的軸”的情況來解決，然后再求解這個變換方程。0.707 0.70 70.0tak 30例2.9 坐標(biāo)系b最初與坐標(biāo)系a重合。我們使坐標(biāo)系b繞矢量 旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角 ，求坐標(biāo)系b的描述。0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 30 . 10 . 00 . 00 . 20 . 00 . 10 . 00 . 10 . 00 . 00 . 1taa0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 30 . 10 . 00 . 00 . 20 . 00 . 10 . 00 . 10 . 00 . 00 . 1tbb0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 0866. 0354. 0354. 00 . 0354. 0933. 0067. 00 . 0354. 0067. 0933. 0tab0.707 0.70 70.0tak 30最后，我們可以用一個變換方程來計(jì)算要求的坐標(biāo)系