第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 2013-4-20

1、 §8.3 偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用教學(xué)目的：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)概念，能正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義了解偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用重點(diǎn)：正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：分清常量與變量，正確運(yùn)用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法：啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 1.二元函數(shù)的全增量（全改變量） .二元函數(shù)對(duì)的偏增量（偏改變量） .二元函數(shù)對(duì)的偏增量 .2.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義【定義8.4】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若一元函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù),則稱為在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，或.其中 .(2) 類似可定義函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)

2、數(shù): 結(jié)論(1)當(dāng)在點(diǎn)處同時(shí)存在對(duì)，的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，簡稱在點(diǎn)可偏導(dǎo).(2)當(dāng)在平面某一區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處都存在對(duì)，的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，則稱函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)，記作也簡稱偏導(dǎo)數(shù)3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè),若一元函數(shù)在處存在極,則稱此極限為在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，或.提問：用定義表示三元函數(shù)在點(diǎn)處的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù).；.結(jié)論：多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只將一個(gè)變量看作未知量，而其余變量均看作常量，按照一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則求導(dǎo)數(shù)即是.即將中所有看作常量而對(duì)求導(dǎo)可得.4.偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)設(shè)區(qū)域,若在內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)或都存在,那么或就稱為對(duì)的偏導(dǎo)函數(shù)，（它仍是的函數(shù)）.記作 ，（或）（或），（或）或（或）.可見,函數(shù)在處的值為

3、偏導(dǎo)數(shù).以后在不混淆的情況下,將偏導(dǎo)函數(shù)也稱為偏導(dǎo)數(shù).例1(1) 求 在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)分析：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 將中的看作常量而對(duì)求導(dǎo)可得. 將中的看作常量而對(duì)求導(dǎo)可得.解 , , (2)，則 ， .(3) （09.3.4）設(shè)，則.（4）（2013.4）設(shè)函數(shù)由方程確定，則_.提示：， 由對(duì)數(shù)求導(dǎo)法知，代值得 ，解出 .例2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （注意 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:層層求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)相乘的含義）(1) 求 解 , （2）解 （3）設(shè)，其中可微，求解 （4）（考慮兩層復(fù)合的函數(shù)）解 ,.（5）（考慮三層復(fù)合的函數(shù)）解 （6）解 ，（7）解 提問（2012-2-4-11）設(shè)，其中可微，則 .提示：，.

4、練習(xí)：（1）提示：（2）設(shè)函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù) .提示：.（3）(95.3) 設(shè),可導(dǎo),則 .提示.提問:二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且,，則【 】.(A) 關(guān)于是減函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(B) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(C) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(D) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是減函數(shù).答(D).因?yàn)楸硎井?dāng)保持不變時(shí),是的單調(diào)增加函數(shù)表示當(dāng)保持不變時(shí),是的單調(diào)減少函數(shù).例3 設(shè)，求證 .證明 因 , , 所以 例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程(為常數(shù)),求證:.證明 因 , , .所以 .二、偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)并不一定在該點(diǎn)連續(xù)，但在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函

5、數(shù)，同樣函數(shù)在一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函數(shù).并且有關(guān)于一元函數(shù)的增減性.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系（1）一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，（2）多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).例如:設(shè) 由于,.即在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在點(diǎn)顯然間斷 因?yàn)? 又如，在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在且為0，（用下列方法可求）,但是在點(diǎn)不連續(xù)，因?yàn)闃O限不存在.結(jié)論：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)沒有必然關(guān)系.三、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.提問：是否存在一個(gè)函數(shù)，使得，？（分析：，所以這樣的不存在.）四、高階偏導(dǎo)數(shù) 1.高階偏導(dǎo)數(shù)

6、: 偏導(dǎo)函數(shù)，還是的函數(shù)，若，在區(qū)域內(nèi)對(duì)存在有偏導(dǎo)數(shù),則稱此偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù),并記作 ,，, 同理有,等等.2.【定理】如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)必.二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)情況下與求導(dǎo)數(shù)的順序無關(guān).此性質(zhì)可以推廣到高階混合偏導(dǎo)數(shù).例5 設(shè),于是 ， ； ， ； , .例6 求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解 ，練習(xí):求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解 ;.例7(05.8) 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,求.解由條件知, , 故.練習(xí) 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，例8 證明函數(shù)滿足方程 其中.證明: , ；同理, .（補(bǔ)充內(nèi)容）、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用交叉彈性(一元函數(shù)彈性)我們知道一元函數(shù)邊際與

7、彈性分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率與相對(duì)變化率.將邊際與彈性概念推廣到多元函數(shù)微積分學(xué)中并被賦予經(jīng)濟(jì)含義,如某商品銷售是它的價(jià)格及其它商品價(jià)格的函數(shù),稱為對(duì)的交叉彈性.交叉彈性反映了兩種商品間的相關(guān)性當(dāng)交叉彈性大于零時(shí),兩商品為互為替代品； 當(dāng)交叉彈性小于零時(shí),兩商品為為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性等于零時(shí),兩商品為相互獨(dú)立商品.【偏彈性定義】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對(duì)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比稱為函數(shù)對(duì)從到兩點(diǎn)間的彈性當(dāng)時(shí)，的極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的彈性，記作，即.類似可以定義函數(shù)在處對(duì)的彈性為.特別地，如果中表示需求量，表示價(jià)格，表示消費(fèi)者收入，則表示需求對(duì)價(jià)格的彈性，表示需求對(duì)收入的

8、彈性.( 恒為正)【交叉彈性概念】設(shè)兩種商品彼此相關(guān)，它們的需求量分別為兩種商品價(jià)格及其消費(fèi)者收入的函數(shù)即，則直接價(jià)格偏彈性；交叉價(jià)格彈性.當(dāng)則說明兩種商品中任一價(jià)格減少都將使其中一個(gè)需求量增加且另一個(gè)需求量減少此時(shí)稱互為替代品；如蘋果與香蕉.當(dāng)則說明兩種商品中任一價(jià)格減少都將使其中一個(gè)需求量同時(shí)增加此時(shí)稱互為互補(bǔ)品；如汽車與汽油.例 某種數(shù)碼相機(jī)的銷售量除與它自身的價(jià)格有關(guān)外，還與彩色噴墨打印機(jī)的價(jià)格有關(guān),具體求 ，時(shí)（1）對(duì)的彈性；（2）對(duì)的交叉彈性.解：（1）對(duì)的彈性為當(dāng)=50，=5時(shí)（2）對(duì)的交叉彈性為 =50，=5時(shí)小結(jié)：1多元函數(shù)求對(duì)偏導(dǎo)數(shù)，就把函數(shù)看作的一元函數(shù)，求函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)即為所求偏導(dǎo)數(shù)2一元函數(shù)的可導(dǎo)必連續(xù)在多元函數(shù)中不再成立，即在一點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，但在這一點(diǎn)不一定連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在，則有在點(diǎn)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點(diǎn)連續(xù). 3. 二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)情