2022年2022年相似三角形培優(yōu)訓練

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學相像三角形分類提高訓練一.相像三角形中的動點問題1.如圖,在 rt abc中, acb=90°,ac=3,bc=4,過點 b 作射線 bb1ac動點 d 從點 a 動身沿射線 ac 方向以每秒 5 個單位的速度運動, 同時動點 e從點 c 沿射線 ac方向以每秒 3 個單位的速度運動過點 d 作 dh ab 于 h,過點 e作ef ac 交射線 bb1 于 f,g 為 ef 中點,連接 dg設點 d 運動的時間為 t 秒（ 1）當 t 為何值時, ad=ab,并求出此時 de 的長度；（ 2）當 deg 與 acb相像時,

2、求 t 的值2.如圖,在 abc中, abc 90°, ab=6m,bc=8m,動點 p 以 2m/s 的速度從 a 點動身,沿 ac 向點 c移動同時,動點q 以 1m/s 的速度從c 點動身,沿cb向點 b 移動當其中有一點到達終點時,它們都停止移動設移動的時間為t 秒（ 1） 當 t=2.5s 時,求 cpq的面積； 求 cpq的面積 s（平方米）關于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（ 2）在 p, q 移動的過程中,當 cpq為等腰三角形時,求出 t 的值3.如圖 1,在 rt abc中, acb90°, ac 6, bc 8,點 d 在邊 ab 上運動, de平分 cd

3、b 交邊 bc于點 e,em bd,垂足為 m , en cd,垂足為 n（ 1）當 adcd 時,求證： deac；（ 2）探究： ad 為何值時, bme 與 cne相像？4.如下列圖,在 abc 中, ba bc 20cm, ac 30cm,點 p 從 a 點動身,沿著ab 以每秒 4cm 的速度向b 點運動；同時點q 從 c 點動身,沿ca 以每秒 3cm 的速度向 a 點運動,當p 點到達 b 點時, q 點隨之停止運動設運動的時間為x（ 1）當 x 為何值時, pq bc？（ 2） apq 與 cqb能否相像？如能,求出 ap 的長；如不能說明理由1精品學習資料精選學習資料 - -

4、 - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學5.如圖,在矩形abcd中, ab=12cm, bc=6cm,點 p 沿 ab 邊從 a 開頭向點b 以 2cm/s 的速度移動；點q 沿 da 邊從點 d 開頭向點a 以 1cm/s 的速度移動假如p.q 同時動身,用t（ s）表示移動的時間（0 t 6）；（ 1）當 t 為何值時, qap 為等腰直角三角形？（ 2）當 t 為何值時,以點q.a.p 為頂點的三角形與 abc相像？二.構(gòu)造相像幫助線雙垂直模型6. 在平面直角坐標系xoy 中,點 a 的坐標為 2,1,正比例函數(shù)y=kx 的圖象與線段 oa 的夾角為45°,求這個正比例函數(shù)的

5、表達式7. 在abc中, ab=,ac=4,bc=2,以 ab 為邊在 c 點的異側(cè)作 abd,使 abd 為等腰直角三角形,求線段 cd 的長8.在abc 中, ac=bc, acb=90°,點 m 為 ac 上的一點,點n 為 bc 上的一點,沿著直線 mn 折疊,使得點c 恰好落在邊ab 上的 p 點求證： mc：nc=ap： pb2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學9. 如圖,在直角坐標系中,矩形abco的邊 oa 在 x 軸上,邊 oc 在 y 軸上,點b 的坐標為（ 1, 3）,將矩形沿對角線ac 翻折 b 點落在 d 點的位置,且

6、ad 交y 軸于點 e那么 d 點的坐標為（）a.b.c.d.10. .已知,如圖,直線y= 2x2 與坐標軸交于a.b 兩點以ab 為短邊在第一象限做一個矩形abcd, 使得矩形的兩邊之比為1 2；求 c.d 兩點的坐標；三. 構(gòu)造相像幫助線a.x 字型11. 如圖： abc中, d 為 ab 上一點, ad=ac, bc邊上的中線ae 交 cd 于 f；求證：12. 四邊形 abcd中, ac 為 ab.ad 的比例中項,且ac平分 dab；求證：13. 在梯形 abcd中, ab cd, ab b, cd a, e 為 ad 邊上的任意一點,efab,且 ef交 bc于點 f,某同學在討

7、論這一問題時,發(fā)覺如下事實：1當時, ef=； 2當時, ef=；3當時, ef=當時,參照上述討論結(jié)論,請你猜想用a.b 和 k表示 ef的一般結(jié)論,并給出證明3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學14. 已知：如圖,在 abc中, m 為 ac 的中點, e.f 為 bc 上的兩點,且beef fc；求 bn： nq： qm15. 證明：（ 1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（注：重心為三角形三條中線的交點） （2）角平分線定理： 三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例四. 相像類定值問題16.如圖

8、,在等邊 abc中, m .n 分別為邊ab,ac 的中點, d 為 mn 上任意一點, bd.cd 的延長線分別交 ac.ab 于點 e.f求證：17. 已知：如圖,梯形abcd中, ab/dc ,對角線 ac.bd 交于 o,過 o 作 ef/ab分別交 ad.bc 于 e.f；求證：4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學18. 如圖, 在 abc中,已知 cd 為邊 ab 上的高, 正方形 efgh的四個頂點分別在 abc上；求證：19. 已知,在 abc中作內(nèi)接菱形cdef,設菱形的邊長為a求證：五. 相像之共線線段的比例問題20.（ 1）如圖 1

9、,點在平行四邊形abcd的對角線bd 上,始終線過點p 分別交 ba,bc的延長線于點q, s,交于點求證：（ 2）如圖2 ,圖3,當點在平行四邊形abcd的對角線或的延長線上時,為否仍 然成立？如成立,試給出證明；如不成立 ,試說明理 由僅 以（要求圖 2 為例 進行證明或 說明）；5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學21.已知：如圖, abc 中, ab ac, ad 為中線, p 為 ad 上一點,過c 作 cf ab,延長2bp 交 ac 于 e,交 cf于 f求證： bp pe·pf222.如圖,已知 abc 中, ad, bf 分別

10、為 bc, ac邊上的高,過d 作 ab 的垂線交 ab 于 e,交 bf 于 g,交 ac延長線于h；求證：de=eg.eh23.已知如圖, p 為平行四邊形abcd的對角線ac 上一點,過p 的直線與 ad.bc.cd 的延長線. ab 的延長線分別相交于點e.f.g.h.求證：224.已知,如圖,銳角 abc中, ad bc于 d,h 為垂心（三角形三條高線的交點）；在 ad 上有一點p, 且 bpc為直角 求證： pdad·dh ；6精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學六. 相像之等積式類型綜合25.已知如圖, cd 為 rt abc 斜

11、邊 ab 上的高, e 為 bc的中點, ed 的延長線交ca于 f ；求證：26 如圖,在 rt abc 中, cd 為斜邊 ab 上的高,點m 在 cd 上, dh bm 且與 ac的延長線交于點e.求證：（1） aed cbm；（ 2）27.如圖, abc 為直角三角形, acb=90°,cdab 于 d, e 為 ac 的中點, ed 的延長線與cb 的延長線交于點f.（ 1）求證：.（ 2）如 g 為 bc的中點,連接gd, gd 與 ef 垂直嗎？并說明理由.28.如圖, 四邊形 abcd.defg都為正方形, 連接 ae.cg、ae與 cg相交于點m ,cg 與 ad

12、相交于點 n求證：7精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學29.如圖, bd.ce分別為 abc 的兩邊上的高,過d 作 dg bc于 g,分別交 ce及 ba 的延長線于2f.h； 求證：（ 1）dgbg·cg；（2）bg·cggf·gh七.相像基本模型應用30. abc 和 def為兩個等腰直角三角形,a= d=90°, def的頂點 e 位于邊 bc的中點上（ 1）如圖 1,設 de 與 ab 交于點 m ,ef與 ac 交于點 n,求證： bem cne；（ 2）如圖 2,將 def繞點 e 旋轉(zhuǎn),使得de與

13、ba 的延長線交于點m ,ef與 ac交于點n,于為,除（ 1）中的一對相像三角形外,能否再找出一對相像三角形并證明你的結(jié)論31.如圖,四邊形abcd和四邊形 aced都為平行四邊形,點r 為 de 的中點, br 分別交 ac.cd 于點 p. q（ 1）請寫出圖中各對相像三角形（相像比為1 除外）；（ 2）求 bp： pq： qr8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學32.如圖,在 abc中, adbc 于 d,de ab 于 e,df ac于 f；求證：答案： 1.答案： 解：（ 1） acb=90°, ac=3, bc=4 ab=5又 a

14、d=ab, ad=5t t=1 ,此時 ce=3, de=3+3-5=1（ 2）如圖當點d 在點 e左側(cè),即： 0 t時, de=3t+3-5t=3-2t 如 deg 與 acb相像,有兩種情形： deg acb,此時, 即：,求得： t=； deg bca,此時, 即：,求得： t=；如圖,當點d 在點 e 右側(cè),即： t>時, de=5t-3t+3=2t-3 如 deg 與 acb相像,有兩種情形： deg acb,此時,9精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學即：,求得： t=； deg bca,此時, 即：,求得： t=綜上, t 的值為或或或

15、3.答案： 解：（1）證明： ad=cd a= acd de 平分cdb 交邊 bc 于點 e cde=bde cdb 為 cdb 的一個外角 cdb= a+ acd=2 acd cdb= cde+ bde=2 cde acd= cde de ac（ 2） nce= mbe em bd,en cd, bme cne,如圖 nce= mbe bd=cd又 nce+ acd=mbe+ a=90° acd= a ad=cd ad=bd=ab 在 rt abc中,acb 90 °, ac 6, bc8 ab=10 ad=5 nce= meb em bd,en cd, bme enc

16、,如圖 nce= meb em cd cd ab 在 rt abc中,acb 90 °, ac 6, bc810精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 ab=10個性化輔導精品一對一講義同學精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 a= a, adc= acb acd abc綜上： ad=5 或時, bme 與 cne相像 4.答案： 解（ 1）由題意： ap=4x, cq=3x, aq=30-3x,當 pq bc 時,即：解得：（ 2）能, ap=cm 或 ap=20cm apq cbq,就,即解得：或（舍）此時： ap=cm apq cqb,就,即解得：（符合題意）

17、此時： ap=cm故 ap=cm 或 20cm 時, apq 與 cqb 能相像 5.答案： 解：設運動時間為t,就 dq=t, aq=6-t, ap=2t, bp=12-2t（ 1）如 qap 為等腰直角三角形,就aq=ap,即： 6-t=2t ,t=2 （符合題意） t=2 時, qap 為等腰直角三角形（ 2） b= qap=9°0 當 qap abc時,即：,解得：（符合題意） ； 當 paq abc時,即：,解得：（符合題意） 當或時,以點q. a.p 為頂點的三角形與 abc相像 6.答案： 解：分兩種情形第一種情形,圖象經(jīng)過第一.三象限11精品學習資料精選學習資料 -

18、- - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學過點 a 作 ab oa,交待求直線于點b,過點 a 作平行于y 軸的直線交x 軸于點 c,過點 b 作 bd ac就由上可知： 90°由雙垂直模型知：oca adb a（ 2, 1）, 45 ° oc 2,ac 1, aoab ad oc 2, bd ac 1 d 點坐標為（ 2,3） b 點坐標為（ 1, 3） 此時正比例函數(shù)表達式為：y 3x其次種情形,圖象經(jīng)過其次.四象限過點 a 作 ab oa,交待求直線于點b,過點 a 作平行于x 軸的直線交y 軸于點 c,過點 b 作 bd ac就由上可知： 90°由雙垂直

19、模型知：oca adb a（ 2, 1）, 45 ° oc 1,ac 2, aoab ad oc 1, bd ac 2 d 點坐標為（ 3,1） b 點坐標為（ 3, 1） 此時正比例函數(shù)表達式為：y x7.答案： 解：情形一：12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學情形二：情形三：13精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學8.答案： 證明：方法一：連接 pc,過點 p 作 pd ac 于 d,就 pd/bc依據(jù)折疊可知mn cp 2+ pcn=90 ,° pcn+ cnm=90 ° 2=

20、cnm cdp= ncm=90 ° pdc mcn mc： cn=pd： dc pd=da mc： cn=da： dc pd/bc da： dc=pa：pb mc： cn=pa： pb方法二：如圖,過 m 作 md ab 于 d,過 n 作 ne ab 于 e由雙垂直模型,可以推知 pmd npe,就,依據(jù)等比性質(zhì)可知,而 md=da, ne=eb, pm=cm,pn=cn, mc：cn=pa： pb9.答案： a14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學解題思路： 如圖過點 d 作 ab 的平行線交bc的延長線于點m ,交 x 軸于點 n,就 m

21、= dna=9°0 ,由于折疊,可以得到 abc adc,又由 b（1, 3） bc=dc=1, ab=ad=mn=3, cda= b=90 ° 1+ 2=90 ° dna=90 ° 3+ 2=90 ° 1= 3 dmc and,設 cm=x,就 dn=3x, an=1 x, dm 3x 3 x,就；答案為a10.答案： 解：過點 c 作 x 軸的平行線交y 軸于 g,過點 d 作 y 軸的平行線交x 軸于 f,交 gc的延長線于e； 直線 y=2x 2 與坐標軸交于a.b 兩點 a（ 1、0）, b（ 0、2） oa=1,ob=2, ab=

22、ab： bc=1:2 bc=ad= abo+ cbg=90 ,° abo+ bao=90 ° cbg=bao又 cgb= boa=9°0 oab gbc gb=2,gc=4 go=415精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 c（4、4）個性化輔導精品一對一講義同學精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載同理可得 adf bao,得df=2, af=4 of=5 d（ 5、2）11.答案： 證明：（方法一）如圖延長 ae 到 m 使得 em=ae,連接 cm be=ce, aeb= mec bea cem cm=ab, 1= b ab cm m= m

23、ad, mcf= adf mcf adf cm=ab,ad=ac（方法二）過 d 作 dg bc交 ae 于 g就 abe adg, cef dgf, ad=ac, be=ce12.答案： 證明：過點 d 作 df ab 交 ac 的延長線于點f,就 2= 3 ac 平分 dab16精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學 1= 2 1= 3 ad=df def=bea, 2= 3 bea def ad=df ac 為 ab.ad 的比例中項即又 1=2 acd abc13.答案： 解：證明：過點 e 作 pq bc 分別交 ba 延長線和dc 于點 p 和點

24、 q ab cd, pq bc 四邊形 pqcb和四邊形eqcf為平行四邊形 pb efcq, 又 ab b, cda appb-ab ef-b, dq dc-qc a-ef17精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學14.答案： 解：連接 mf m 為 ac 的中點, ef fc mf ae 且 mf ae ben bfm bn： bm be： bf ne： mfbeef bn： bm ne：mf 1:2 bn： nm 1:1 設 ne x,就 mf2x, ae4x an 3x mf ae naq mfq nq： qm an：mf 3:2 bn： nm 1:

25、1, nq： qm 3:2 bn： nq： qm 5:3:215.答案： 證明：（ 1）如圖 1, ad.be為 abc的中線,且ad.be 交于點 o過點 c 作 cfbe,交 ad 的延長線于點f cf be且 e 為 ac中點 aeo acf, obd fcd, ac 2ae eao caf aeo acf d 為 bc的中點, odb fdc bod cfd bo cf同理,可證另外兩條中線 三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的18精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學（ 2）如圖 2, ad 為 abc 的角平分線過點 c 作 ab 的平

26、行線 ce交 ad 的延長線于e就 bad= e ad 為abc 的角平分線 bad= cad e=cad acce ce ab bad ced16.答案： 證明：如圖,作dp ab, dq ac就四邊形mdpb 和四邊形ndqc 均為平行四邊形且 dpq 為等邊三角形 bp+cq mn , dpdqpq m .n 分別為邊ab, ac的中點 mn bcpq dp ab,dqac cdp cfb, bdq bec, dp dq pqbcabab（）19精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學17.答案： 證明： ef/ab, ab/dc ef/dc aoe a

27、cd, doe dba,18.答案： 證明： ef cd,eh ab, afe adc, ceh cab, ef eh19.答案： 證明： ef ac, de bc, bfe bca, aed abc, ef de a20.答案：（ 1）證明：在平行四邊形abcd中, ad bc, drp= s, rdb= dbs drp bsp同理由 ab cd 可證 ptd pqb（ 2）證明：成立,理由如下：20精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學在平行四邊形abcd中, ad bc, prd= s, rdp= dbs drp bsp同理由 ab cd 可證 ptd

28、 pqb21.答案： 證明 : ab ac, ad 為中線, ad bc、bp=cp 1= 2又 abc=acb 3= 4 cf ab 3= f、4= f又 epc= cpf epc cpf bp2pe·pf 即證所求22.答案： 證明： de ab 90 ° 90 ° ade dbe de2= bf ac 90 ° 90 °且 beg hea21精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個性化輔導精品一對一講義同學 de2=eg•eh23.答案： 證明： 四邊形 abcd為平行四邊形 ab cd, ad bc 1= 2,

29、 g= h, 5= 6 pah pcg又 3=4 ape cpf24.答案： 證明：如圖,連接bh 交 ac于點 e, h 為垂心 be ac ebc+ bca=90 ° ad bc于 d dac+bca=90 ° ebc= dac又 bdh= adc=9°0 bdh adc,即 bpc為直角, ad bc pd2 bd·dc pd2 ad·dh25.答案： 證明： cd 為 rt abc斜邊 ab 上的高, e 為 bc的中點 ce=eb=de22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 b= bde= fda個

30、性化輔導精品一對一講義同學精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 b+ cab=90 ,° acd+ cab=90 ° b= acd fda=acd f= f fda fcd adc= cdb=90 ,° b=acd acd cbd即26.答案： 證明：（ 1） acb adc 90° a acd90 ° bcm acd 90 ° a bcm同理可得： mdh mbd cmb cdb mbd 90 ° mbd ade adc mdh 90 ° mdh ade cmb aed cbm（ 2）由上問可知：,即故只需證明即可 a a, acd abc acd abc,即27.答案：（ 1）將結(jié)論寫成比例的形式,可以考慮證明 fdb fcd（已經(jīng)有一個公共角 f）rt acd中, e 為 ac 的中點 de=a