2022年2022年選修2-3隨機變量及其分布知識點總結典型例題2

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載2-3 隨機變量及其分布要點歸納一.離散型隨機變量及其分布列11隨機變量：在隨機試驗中,我們確定了一個對應關 系,使得每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示在這個對應關系下,數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量通常用字母x, y,等表示2離散型隨機變量：全部取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量3離散型隨機變量的分布列：一般地,如離散型隨機變量x可能取的不同值為x1,x2, xi ,x n, x取每一個值xi i 1, 2, n 的概率 p x xi pi,以表格的形式表示如下：xx1x 2xixnpp1p2pipn我

2、們將上表稱為離散型隨機變量x 的概率分布列,簡稱為x的分布列有時為了簡潔起見,也用等式px xi pi , i 1, 2, n表示 x的分布列4 離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)： pi 0, i 1, 2,n；npi 1.i 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5常見的分布列：兩點分布：假如隨機變量x的分布列具有下表的形式,就稱x聽從兩點分布,并稱ppx 1為勝利概率 .x01p1pp兩點分布又稱0 1 分布,伯努利分布超幾何分布：一般地,在含有m 件次品的n 件產(chǎn)品中,任取n 件,其中恰有x 件次品,就大事 x k 發(fā)生的概率為p xkn k精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

3、迎下載k cm c n mcn n, k 0, 1, 2, m, 即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x01m精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0n 01n 1mn m精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載pc m cn mcn nc m c n mcn nc m c n mcn n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其中 mmin m , n ,且 n n ,m n, n,m , n n* .假如隨機變量 x的分布列具有上表的形式,就稱隨機變量x 聽從超幾何分布2二項分布及其應用1條件概率：一般地,設a 和 b 為兩個大事,且p a 0,p（ ab）

4、稱 pb|a p（ a） 為 在 大事a 發(fā)生的條件下,大事 b 發(fā)生的條件概率pb |a讀作 a 發(fā)生的條件下b 發(fā)生的概率2條件概率的性質(zhì)：0 pb|a 1；必定大事的條件概率為1,不行能大事的條件概率為0；假如b和c 為兩個互斥大事,就p b c |a p b|a pc|a 3大事的相互獨立性：設a, b 為兩個大事,假如p ab papb,就稱大事a 與 大事b 相互獨立假如大事a 與 b相互獨立,那么a 與 , 與 b, 與 也都相互獨立baab(4) 獨立重復試驗：一般地,在相同條件下重復做的n 次試驗稱為 n 次獨立重復試驗(5) 二項分布：一般地,在 n 次獨立重復試驗中,設大

5、事 a 發(fā)生的次數(shù)為 x ,在每次試驗中大事 a 發(fā)生的概率為 p,那么在 n次獨立重復試驗中,大事 a恰好發(fā)生 k次的概率為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載p x k c pk 1 pn k , k 0,1, 2, n.此時稱隨機變量 x聽從二項分布,記作x b n, p,并稱 p為勝利概率兩點分布為當n 1時的二項分布,二項分布可以看成為兩點分布的一般形式3離散型隨機變量的均值與方差(1) 均值.方差：一般地,如離散型隨機變量x的分布列為 xx1x2x ix npp1p2pipn就稱 ex x1 p1 x2p2 xi pixn pn為隨機變量 x的均值或數(shù)學期望,它反映了離散

6、型隨機變量取值的平均水平精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載稱 d x nx i e x 2 pi 為隨機變量x 的方差,d （ x ）為i 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載隨機變量x 的標準差(2) 均值與方差的性質(zhì)：如y ax b,其中 a,b為常數(shù), x為隨機變量,就y也為隨機變量,且eaxbaex b,d axb a2d x(3) 常見分布的均值和方差公式：兩點分布：如隨機變量 x 聽從參數(shù)為 p的兩點分布,就均值exp,方差 dx p1p二項分布：如隨機變量xb n, p,就均值 exnp,方差 dx np1p精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2

7、 正態(tài)曲線的特點：曲線位于x 軸上方,與x 軸不相交；曲線為單峰的,它關于直線x對稱；曲線在x處達到峰值1；2曲線與 x 軸之間的面積為1.3 和 對正態(tài)曲線的影響：當 肯定時,曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移；當 肯定時,曲線的外形由確定, 越小,曲線越“瘦高 ”,表示總體的分布越集中；越大,曲線越“矮胖 ”,表示總體的分布越分散4 正態(tài)分布的3原就：如隨機變量xn , 2,就 p x 0.682 6, p 2 x 2 0.954 4, p 3 x 3 0.997 4.在實際應用中,通常認為聽從于正態(tài)分布n,2的隨機變量 x 只取 3, 3之間的值,并簡稱之為3原就精品學習資料精

8、選學習資料 - - - 歡迎下載專題一條件概率1條件概率的求法1 利用定義,分別求出pa和 pab ,解得pb |a p（ ab ）p（ a） .2 借助古典概型公式,先求大事a 包含的基本領件數(shù)na,再在大事a 發(fā)生的條件下求大事b 包含的基本領件數(shù) n ab ,得 pb|a n（ ab ） .n（ a）2解決概率問題要留意“三個步驟,一個結合”1求概率的步驟為： 第一步,確定大事性質(zhì)；其次步,判定大事的運算；第三步,運用公式2概率問題經(jīng)常與排列.組合學問相結合精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例1】在5道題中有 3道理科題和 2道文科題假如不放回地依精品學習資料精選學習資料

9、- - - 歡迎下載次抽取 2道題,求：1第1次抽到理科題的概率；2第1次和第 2次都抽到理科題的概率；53在第 1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率解設“第1次抽到理科題”為大事 a, “第2次抽到理科題”為大事 b,就 “第1次和第 2次都抽到理科題”為大事 ab . 1從 5 道題中不放回地依次抽取2 道題的大事數(shù)為n a 220.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,na a1× a 1 12.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于 為 pan（ a）n（ ）34123.205精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載專題二相互獨立大事的概率1求相互獨立大事一般與互斥

10、大事.對立大事結合在一起進行考查,解答此類問題時應分清大事間的內(nèi)部聯(lián)系,在些基礎上用基本領件之間的交.并.補運算表示出有關大事,并運用相應公式求解2特殊留意以下兩公式的使用前提1如a, b互斥,就 pa bpapb,反之不成立2如a, b相互獨立,就 pab papb,反之成立【例 2】 甲.乙.丙三臺機床各自獨立加工同一種零件,甲機床加工的零件為一等品而乙機床加工的零件不為一等品的概率為1,4乙機床加工的零件為一等品而丙機床加工的零件不為一等品的概率為1 ,甲丙兩臺機床加工的零件都為一等品的概率為2.1291 分別求出甲.乙.丙三臺機床各自獨立加工的零件為一等品的概率；2 從甲.乙.丙加工的

11、零件中各取一個檢驗,求至少有一個一等品的概率精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3m 5; x:精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載專題三離散型隨機變量的分布列.均值與方差1離散型隨機變量的分布列在高中階段主要學習兩種：超幾何分布與二項分布,由于這兩種分布列在生活中應用較為廣泛,故在高考中對該學問點的考查相對較敏捷,常與期望.方差融合在一起,橫向考查2對于分布列的求法,其難點在于每個隨機變量取值時相關概率的求法,運算時可能會用到等可能大事.互斥大事.相互獨立大事的概率公式等3均值與方差都為隨機變量重要的數(shù)字特點,方差為建立在均值這一概念之上的,它說明白隨機變量所取的值相對于

12、它的均值的集中與離散程度,二者聯(lián)系親密,在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中特殊為風險決策中有著重要意義,因此在當前的高考中為一個熱點問題【例3】 某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉辦5 次統(tǒng)一測試, 同學假如通過其中2 次測試即可獲得足夠學分升上高校連續(xù)學習,不用參與其余的測試,而每個同學最多也只能參與5 次測試 假設某同學每次通過測試的概率都為1,每次測試時3間間隔恰當每次測試通過與否相互獨立1 求該同學考上高校的概率；2 假如考上高?；騾⑴c完5次測試就終止,記該生參與測試的次數(shù)為 x,求x的分布列及 x的數(shù)學期望精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載

13、4··px 5 c112 3332 4316.27精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 x 的分布列為：x2345精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載p149274162727精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ex 2×1 3× 4 4× 4 5× 1638.92792727【例4】 2021 ·棗莊檢測 某單位為了參與上級組織的普及消防學問競賽,需要從兩名選手中選出一人參與為此,設計了一個選擇方案：選手從6 道備選題中一次性隨機抽取3 題通過考查得知： 6 道備選題中選手甲有4 道題能夠答

14、對,2 道題答錯；選手乙答對每題的概率都為2,且各題答對與否互不影響設3選手甲.選手乙答對的題數(shù)分別為, .1 寫出的概率分布列 不要求運算過程,并求出 e,e；2 求d, d請你依據(jù)得到的數(shù)據(jù),建議該單位派哪個選手參與競賽？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載123解1的概率分布列為p13 1555所以 e 1123312.×5× 5×5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由題意, b 3, 233或者 p 0 c0 13, e 3×3 1 ；2722,3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3p 1 c1 232 21 1 232 1 2； 943 2 38精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載p 2 c3 33 9； p 3 c3 327,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載專題四正態(tài)分布精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例5】某市去年高考考生成果聽從正態(tài)分布n500