2018年湖南省長(zhǎng)沙市善山嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析（精編版）

1、2018 年湖南省長(zhǎng)沙市善山嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期 末試題含解析一、 選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 如圖，已知正方體 的棱長(zhǎng)為 1，動(dòng)點(diǎn) p 在此正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且，記點(diǎn) p 的軌跡的長(zhǎng)度為 ，則函數(shù)的圖像 可能是（ ）參考答案：b略2. 設(shè)變量 x,y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最小值為a 6 b 7 c 8 d 23參考答案：b解析： 由已知，先作出線性規(guī)劃區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域，得到三個(gè)交點(diǎn)（ 2 ，1）（ 1，2）（ 4 ，5），那么作一系列平行于直線 的平行直線，當(dāng)過(guò)其中點(diǎn)（ 2 ，1 ）

2、時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最小。3. 定義在 1 ，+ ）上的函數(shù) 滿足： （ 為正常數(shù)）；當(dāng)時(shí)， 。若函數(shù) 的圖象上所有極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均落在同一條直線上，則等于（ ）a 1 b 2 c 1 或2 d 4 或 2參考答案：c4. 在 中，角 的對(duì)邊分別為 ，且 若 的面積為 ，則 的最小值為（ ）a24 b12 c6 d4參考答案：考點(diǎn)： 1. 余弦定理； 2. 基本不等式 .，若5. 已知恒成立， 則 的取值范圍是a b cd參考答案：6. 若角 終邊上的點(diǎn) 在拋物線 的準(zhǔn)線上，則 cos2 =（ ）a b c d參考答案：a【考點(diǎn)】 g9：任意角的三角函數(shù)的定義【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可得 a=1

3、，再由任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得結(jié)論【解答】解：拋物線 即 x2= 4y 的準(zhǔn)線為 y=1，即有 a=1，點(diǎn) a（ ， 1），由任意角的三角函數(shù)的定義，可得 sin = ，cos = ，cos2 = = 故選 a7. 已知函數(shù) ，函數(shù) ，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出 的值為 的函數(shù)值的概率為（ ）a b c. d 參考答案：c8. 的a充分不必要條件 必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分又不必要條件參考答案：a本題考查充要條件的問(wèn)題，難度較低。 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)， ，所以選擇 a。9. 已知命題 p: 則a. b.c. d.參考答案：c略10.數(shù)列 中， 且數(shù)列 是等差數(shù)列，

4、則 等于（ ）a. b. c. d.5參考答案：答案 : b二、 填空題 : 本大題共 7 小題 ,每小題 4 分 ,共 28 分11. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 f，過(guò)點(diǎn) f 的直線與拋物線 c 相交于點(diǎn) m（點(diǎn) m 位于第一象限），與它的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) n，且點(diǎn) n 的縱坐標(biāo)為 4，則實(shí)數(shù) _參考答案：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) a ，過(guò)點(diǎn) m 作 mb an ，垂足為 b.設(shè)|mn|=3m,|fm|=|bm|=m,由題得 故填 .12. 以 的直角邊 ab 為徑作圓 o,圓 o 與斜邊 ac 交于 d，過(guò) d 作圓 o 的切線與 bc交于 e，若 bc=3，ab=4，則 oe=；參考答案：略13.

5、 已知 ， ，則 =_. 參考答案：-7略14. 給出下列關(guān)于互不相同的直線 m、l 、n 和平面 、 的四個(gè)命題：若若 m、l 是異面直線，若若其中為真命題的是 .參考答案：15. （ 5 分） 對(duì)于函數(shù) f （x ），若存在常數(shù) a0，使得取 x 定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有 f（x） = f （2a x ），則稱 f （x）為準(zhǔn)奇函數(shù)給出下列函數(shù) f （ x）=（x 1 ）2 ，f（x） = ，f （ x） =x3 ，f （ x） =cosx ，其中所有準(zhǔn)奇函數(shù)的序號(hào)是 參考答案：【考點(diǎn)】： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用【專題】： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】： 判斷對(duì)于函數(shù) f （x ）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)

6、準(zhǔn)是：若存在常數(shù) a0，函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于（ a，0）對(duì)稱，則稱 f （x）為準(zhǔn)奇函數(shù)解：對(duì)于函數(shù) f （x），若存在常數(shù) a0，使得 x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有 f （x） = f （2a x ）知，函數(shù) f （x）的圖象關(guān)于（ a ，0）對(duì)稱，對(duì)于 f （ x） =（x 1 ）2 ，函數(shù)無(wú)對(duì)稱中心，對(duì)于 f （ x） = ，函數(shù) f （x ）的圖象關(guān)于（ 1 ，0）對(duì)稱，對(duì)于 f （ x） =x3 ，函數(shù) f （x）關(guān)于（ 0 ，0）對(duì)稱，對(duì)于 f （ x） =cosx ，函數(shù) f （x ）的圖象關(guān)于（ k + ，0）對(duì)稱，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，函數(shù)

7、f （x）的圖象關(guān)于（ a ，0）對(duì)稱，則稱f （x ）為準(zhǔn)奇函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題16. 九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題： “今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問(wèn)各得幾何 ”其意思為 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問(wèn)五人各得多少錢？ ”（ “錢”是古代的一種重量單位）這個(gè)問(wèn)題中，乙所得為 _錢 .錢參考答案：，由題意 ,設(shè)這五人所得錢分別為則，且，所以.所以乙所得為的中位線，5， 是梯形17. （幾何證明選講選做題）如圖的面積為，若記梯形 的面積為 ，梯形，則參考答案：略三、 解答題：本

8、大題共 5 小題，共 72 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算 步驟18. 如圖，已知四棱錐 p-abcd 的底面是等腰梯形， ， ， ， 為等邊三角形，且點(diǎn) p 在底面 abcd 上的射影為 ad 的中點(diǎn) g，點(diǎn) e 在線段 bc 上，且 .（1）求證： de平面 pad .（2）求二面角 的余弦值 . 參考答案：（1 ）證明見解析（ 2） 【分析】（1）由等腰梯形的性質(zhì)可證得 , 由射影可得 平面 ,進(jìn)而求證；（2）取 的中點(diǎn) f,連接 , 以 g 為原點(diǎn) , 所在直線為 x 軸 , 所在直線為 y 軸,所在直線為 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 ,分別求得平面 與平面 的法向量 ,再利

9、用數(shù)量積求解即可 .【詳解】（ 1）在等腰梯形 中 ,點(diǎn) e 在線段 上 ,且點(diǎn) e 為 上靠近 c 點(diǎn)的四等分點(diǎn) , , ,點(diǎn) p 在底面 上的射影為 的中點(diǎn) g ,連接 ,平面 ,平面 , .又 , 平面 , 平面 ,平面 .則 令（2）取 的中點(diǎn) f,連接 , 以 g 為原點(diǎn) , 所在直線為 x 軸 , 所在直線為 y 軸,所在直線為 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 ,如圖所示 , ,由（ 1）易知 ,又,為等邊三角形 ,則, , ,設(shè)平面,的法向量為則,，即令設(shè)平面, ,則,的法向量為,即,則 ,對(duì)一設(shè)平面 與平面 的夾角為 ,則.二面角 的余弦值為,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力

10、與空間想象能【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明力.是正項(xiàng)數(shù)列 的前項(xiàng)和，且19. （本小題滿分 12 分）設(shè)（ 1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）是否存在等比數(shù)列 ，使 切正整數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論（3）設(shè) ，且數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，試比較 與 的 大小參考答案：解： （ 1 ） 得，相減并整理為又由于 ，則 ，故 是等差數(shù)列，故，4 分時(shí)，（2）當(dāng)使，猜想可解得，成立恒成立下面證明令 可得8 分（3）則，故 14 分略20. 過(guò) 軸上動(dòng)點(diǎn) ，引拋物線 的兩條切線 、 。切線斜率分別為 和 ，切點(diǎn)分別為 、 。（1）求證： 為定值；并且直線 過(guò)定點(diǎn)；（2）記 ，當(dāng) 最小時(shí)，求 的值。參考答案：（1

11、）（法一）證明：設(shè)過(guò) a 點(diǎn)的直線為： 與拋物線聯(lián)立得：得：，定為值。拋物線方程4分求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，以，由，pq 的直線方程：得到過(guò) 定 點(diǎn)線直整 理 可 得。7分。求導(dǎo)得，（法二）證明：設(shè)切點(diǎn) 坐標(biāo)分別為 ， 在直線上，即,整理可得， p 在拋物線方程上得同理 ，線 直3分和拋物線方程過(guò) 定 點(diǎn)所 以 。聯(lián)立 pq 的直線方程，可得： ，所以 ，為 定所 以值（2）解：設(shè) a 到 pq 的距離為 d.。 所， 10 分設(shè)，所以 。當(dāng)且僅當(dāng) 取等號(hào)，即因?yàn)橐驗(yàn)橐运?略21. 已知函數(shù) （1）若 求不等式 的解集；（2）若 的解集包含 0,1 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍參考答案：(1) ;(2) .試題分析：（ 1）當(dāng) 時(shí)， ，利用零點(diǎn)分段法將表達(dá)式分成三種情況，分別解不等式組，求得解集為 ；（ 2 ） 等價(jià)于，即 在 上恒成立，即 .試題解析：（1）當(dāng) 時(shí)， ，即 或 或，解得 或 ，不等式的解集為 ；（2 ）原命題等價(jià)于 在 上恒成立，即在 上恒成立，即 在 上恒成立，即，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 22. （本小題滿分 15 分）函數(shù) ，（1）若 ，試討論函數(shù) 的單調(diào)性；（2）若 ，試討論