高中數(shù)學(xué)1.2應(yīng)用舉例(第3課時(shí))學(xué)案設(shè)計(jì)新人教A版必修5-新人教A版高三必修5數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第一章解三角形1.2 應(yīng)用舉例1.2 應(yīng)用舉例 (第 3 課時(shí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題.2.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課, 在對(duì)解法有了基本了解的基礎(chǔ)上, 通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化相應(yīng)的能力.3.提升提出問題、 正確分析問題、 獨(dú)立解決問題的能力, 并在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揚(yáng)探索精神.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境提問 : 前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度, 這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化為已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題.然而在實(shí)際的航海生活中, 人們又會(huì)遇到新的問題, 在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向, 保持一定的航速和航向呢?今天我們接

2、著探討這方面的測(cè)量問題.二、信息交流,揭示規(guī)律在實(shí)際的生活中, 人們又會(huì)遇到新的問題, 仍然需要用我們學(xué)過的解三角形的知識(shí)來(lái)解決, 大家身邊有什么例子嗎? 三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例 1】如圖 , 一艘海輪從a出發(fā) , 沿北偏東 75的方向航行67.5n mile 后到達(dá)海島b,然后從b出發(fā) , 沿北偏東32的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島c.如果下次航行直接從a出發(fā)到達(dá)c, 此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行, 需要航行多少距離?( 角度精確到0.1, 距離精確到 0.01n mile) 問題 1:要想解決這個(gè)問題, 首先應(yīng)該搞懂“北偏東 75的方向”這指的是什么? 【例 2】某巡邏艇在a處發(fā)

3、現(xiàn)北偏東45相距 9 海里的c處有一艘走私船, 正沿南偏東75的方向以10 海里/時(shí)的速度向我海岸行駛, 巡邏艇立即以14 海里/時(shí)的速度沿著直線方向追去 , 問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追?需要多長(zhǎng)時(shí)間才追趕上該走私船? 問題 2:你能否根據(jù)題意畫出方位圖? 問題 3:以上是用正弦定理、余弦定理來(lái)解決的, 我們能不能都用余弦定理來(lái)解決呢? 四、變式訓(xùn)練,深化提高【例 3】如圖 , 海中小島a周圍 38 海里內(nèi)有暗礁, 船正向南航行 , 在b處測(cè)得小島a在船的南偏東30, 航行 30 海里到c處, 在c處測(cè)得小島a在船的南偏東45, 如果此船不改變航向 , 繼續(xù)向南航行, 有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)? 練習(xí)

4、:如圖 , 有兩條相交成60角的直線xx,yy, 交點(diǎn)是o, 甲、乙分別在ox,oy上, 起初甲在離o點(diǎn) 3 千米的a點(diǎn), 乙在離o點(diǎn) 1 千米的b點(diǎn), 后來(lái)兩人同時(shí)以每小時(shí)4千米的速度 ,甲沿xx方向 , 乙沿yy方向步行.(1) 起初 , 兩人的距離是多少? (2) 用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離; (3) 什么時(shí)候兩人的距離最短? 五、限時(shí)訓(xùn)練1.在某電場(chǎng)中 , 一個(gè)粒子的受力情況如圖所示, 則粒子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)? ) a.南偏西b.北偏西c.北偏東d.南偏東2.如圖 , 位于a處的信息中心獲悉: 在其正東方向相距40 海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知

5、在其南偏西30、相距 20 海里的c處的乙船 , 現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援 , 則 cos=. 3.一輛汽車從a點(diǎn)出發(fā) , 沿一條筆直的海岸公路以100km/h 向東勻速行駛 , 汽車開動(dòng)時(shí) ,在點(diǎn)a的南偏東方向距點(diǎn)a 500km的b處的海上有一快艇, 此時(shí) , 快艇所在b處距海岸300km.現(xiàn)快艇上有一快遞要送給汽車的司機(jī), 求快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與ab所成的角 ,并求出快艇的最小速度.六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉解三角形應(yīng)用題的一般步驟: 參考答案三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例 1】解: 在abc中, abc=180-75+32=137, 根據(jù)余弦定理, ac=113.1

6、5(n mile), 根據(jù)正弦定理, sin cab=0.3255, 所以cab19.0,75 -cab=56.0.答: 此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行, 需要航行 113.15n mile.問題1: 這是方位角 , 這實(shí)際上就是解三角形, 由方位角的概念可知, 首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ac邊所對(duì)的角abc, 即可用余弦定理算出ac邊, 再根據(jù)正弦定理算出ac邊和ab邊的夾角cab, 就可以知道ac的方向和路程.【例2】 解 : 如圖 , 設(shè)該巡邏艇沿ab方向經(jīng)過x小時(shí)后在b處追上走私船, 則cb=10 x,ab=14x,ac=9, acb=75+45=120, 則由余弦定理, 可得

7、(14x)2=92+(10 x)2-2910 xcos120, 化簡(jiǎn)得32x2-30 x-27=0, 即x=或x=-( 舍去 ).所以bc=10 x=15,ab=14x=21.又因?yàn)?sin bac=, 所以bac=3813, 或bac=14147( 鈍角不合題意 , 舍去 ).所以 3813+45=8313.答: 巡邏艇應(yīng)沿北偏東8313的方向追趕 , 經(jīng)過 1.5 小時(shí)追趕上該走私船.問題2: 在解三角形中有很多問題都要畫出平面示意圖, 圖畫的好壞有時(shí)也會(huì)影響到解題, 這是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要方面.問題 3:同例 2 中解得bc=15,ab=21, 在abc中, 由余弦定理 , 得cos

8、cab=0.7857, 所以cab3813,38 13+45=8313.所以巡邏艇應(yīng)沿北偏東8313的方向追趕 , 經(jīng)過 1.5 小時(shí)追趕上該走私船.四、變式訓(xùn)練,深化提高【例 3】解: 在abc中,bc=30,b=30,acb=180-45=135,則a=15.由正弦定理知,即.所以ac=60cos15=15+15.所以a到bc所在直線的距離為acsin45 =(15+15)=15(+1)40.9838( 海里 ).答: 不改變航向 , 繼續(xù)向南航行, 無(wú)觸礁的危險(xiǎn).練習(xí) :解 : (1) 因?yàn)榧住⒁覂扇似鸪醯奈恢檬莂,b, 則ab2=oa2+ob2-2oaobcos60=32+12-231

9、=7, 所以起初 , 兩人的距離是千米.(2) 設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是p,q, 則ap=4t,bq=4t, 當(dāng) 0t時(shí) ,pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7; 當(dāng)t時(shí),pq2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7, 所以 ,pq=48t2-24t+7.(3)pq2=48t2-24t+7=48+4, 所以當(dāng)t=時(shí) , 即在第 15 分鐘末 ,pq最短.答: 在第 15 分鐘末 , 兩人的距離最短.五、限時(shí)訓(xùn)練1.d 2.解析 :如圖所示 , 在abc中,ab=40,ac=20, bac=120,由余弦定理 , 知bc2=ab2+ac2-2abaccos120=2800, 即得bc=20( 海里 ).由正弦定理 , , 所以 sin acb=sin bac=.由bac=120, 知acb為銳角 ,cos acb=.由=acb+30, 則 cos=cos( acb+30)=cosacbcos30-sin acbsin30 =.3.分析 : 設(shè)快艇在b處以v km/h 的速度出發(fā) , 在abc中, 由正弦定理求解.解: 如圖 , 設(shè)快艇在b處以v km/h 的速度出發(fā) , 沿bc方向航行t小時(shí)與汽車相遇( 在c點(diǎn)).在abc中,ab=500km,bq=30