2022年小學六年級奧數(shù)試題詳解長方體和正方體

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載第五講長方體和正方體長方體和正方體在立體圖形中為較為簡潔的,也為我們較為熟識的立體圖形如下圖,長方體共有六個面（每個面都為長方形）,八個頂點,十二條棱；在六個面中, 兩個對面為全等的, 即三組對面兩兩全等 （疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形兩個全等圖形的面積相等,對應邊也相等）長方體的表面積和體積的運算公式為：長方體的表面積： s 長方體 2（ abbc ac）；長方體的體積： v 長方體 abc正方體為各棱相等的長方體, 它為長方體的特例, 它的六個面都為正方形 如23果它的棱長為 a,那么：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載s正方體

2、=6 a , v正方體 = a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1 有一個長方體,它的底面為一個正方形,它的表面積為190 平方厘米,假如用一個平行于底面的平面將它截成兩個長方體,就兩個長方體表面積的和為240 平方厘米,求原先長方體的體積解：設原先長方體的底面邊長為a 厘米,高為 h 厘米,就它被截成兩個長方體后,兩個截面的面積和為2 a 2 平方厘米, 而這也就為原長方體被截成兩個長方體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數(shù)值,因此,依據(jù)題意有：1902 a 2 240,可知, a 2 25,故 a5（厘米）又由于 2 a 2 4ah190,精品學習資料精選學習資料 -

3、- - 歡迎下載解得h1 9 022 5=7（厘米）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載45所以,原先長方體的體積為：v a 2 h 25×7175（立方厘米）例 2 如下圖,一個邊長為 3a 厘米的正方體,分別在它的前后.左右.上下各面的中心位置挖去一個截口為邊長為 a 厘米的正方形的長方體（都和對面打通）假如這個鏤空的物體的表面積為 2592 平方厘米,試求正方形截口的邊長；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：原先正方體的表面積為：6×3a×3a6×9 a 2 （平方厘米） 六個邊長為 a 的小正方形的面積為： 6×

4、a× a 6 a2 （平方厘米）；挖成的每個長方體空洞的側面積為：3a×a×412 a 2 （平方厘米）；三個長方體空洞重疊部分的校長為a 的小正方體空洞的表面積為： a× a× 4 4 a2 （平方厘米）依據(jù)題意： 6×9 a 2 6 a 2 3（12 a 2 4 a2 ） 2592,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載化簡得： 54 a2 6 a 2 24 a 2 2592,解得米即正方形截口的邊長為6 厘米a2 36（平方厘米）,故 a6 厘精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3 有一些相同尺寸的正方體積

5、木,預備在積木的各面上粘貼嬉戲所需的字母和數(shù)目字但全部積木的表面總面積不夠用,仍需增加一倍,請你想方法,在不另添積木的情形下,把積木的各面面積的總和增加一倍；解：把每一塊積木鋸三次,鋸成8 塊小立方體（如上圖） 這樣,每鋸一次便得到兩個大截面,使表面積增加1 （倍）,鋸三次使截面增加3× 1 =1（倍）,33因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍；例 4 有大.中.小三個正方形水池, 它們的內(nèi)邊長分別為4 米.3 米.2 米,把兩堆碎石分別沉沒在中. 小水池的水中, 兩個水池的水面分別上升了4 厘米和11 厘米假如將這兩堆碎石都沉沒在大水池中,大水池水面將上升多少厘

6、米？ 解：水池中水面上升部分水的體積就為投入水中的碎石體積；沉入中.小水池中的碎石的體積分別為：3× 3× 0.040.36 立方米,2× 2× 0.110.44 立方米它們的和為：0.360.44 0.8 立方米精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載把它們都沉入大池里,大池水面上升部分水的體積也應當為 0.8 立方米,而大池的底面面積為 4×416 平方米,所以,大水池的水面上升：0.8÷16=5（厘米）例 5 下圖為正方體的綻開圖之一,當用它組成立方體時,圖中的哪一邊與帶記號的邊相接觸呢？解：對于這個問題, 考慮將各面拼湊

7、成正方體為一種方法, 但如只考慮邊的連接會更簡潔：第一和 g 連接,其次 h 和 i 連接,且 x .y .z 三點重合為正方體的一個頂點,因此與連接的為 k 邊例 6 下圖為正方體的11 種綻開圖和 2 種假裝圖（即它們不為正方體的綻開圖）請你指出假裝圖為哪兩個？解：無論哪一個圖中都有六個小正方形, 都似乎有道理, 但當我們把相鄰兩邊逐一拼合后,不能變成正方體的為（ 10）和（ 12）,這兩個圖形,都為有五面在拼合時不成問題,但為最終一面總為擠在外面而成不了正方體例 7 如下面的各圖中均有如干個六面體, 每道題圖中的幾個六面體上a .b. c.d.e.f 六個字母的排列次序完全相同（即每個小

8、題中六面體上刻字母的方式為完全一樣的）試判定各小題的圖中a .b.c 三個字母的對面依次為哪幾個字母？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：（1）由圖中可知, a 與 b.c.e.f 都相鄰,故 a 的對面為 d；e.f的位置可按右手關系得出,伸出右手,伸直大拇指按（1）中右圖所示,讓四指 方向從 a 轉動而指向 f,此時大拇指正好指向e（向上）；假如,判定為f 在 c對面,由（ 1）中左圖所示,讓四指的方向從a 向 f,此時大拇指指向b,與（1）中右圖沖突,故f 在 b 的對面, e 在 c 的對面；（2）（ 6）按 a .b.c 次序給出對面的字母：（2）e.d.f；（ 3）f

9、.e.d；（4）d.f.e；（5）e.d.f；（ 6）f.e.d例 8 有一塊正方體的蛋糕用刀子將它一刀切成兩半,為了使切口成正六邊形,應當怎樣切呢？解：一般地,依據(jù)平常習慣的切法切下去,得到的切口成為上圖中（1）的正方形或者像（ 2）.（ 3）那樣的長方形 假如斜切下去時樣子就不一樣了,比如像（4）那樣,以準備切的頂點作一方, 將不相鄰的某一邊的中點作另一方,沿它的連接線來切,切口變成菱形假如再進一步,連接相鄰邊的中點,沿著它的連線來切,如上圖中（ 5）所示,由于切口的各邊都為連接邊和邊的中點的直線, 所以長度都相等, 相鄰邊夾角也相等,邊數(shù)為六,故為正六邊形；精品學習資料精選學習資料 -

10、- - 歡迎下載一.填空題：習題五精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1一塊矩形紙板,長8 厘米,寬 6 厘米,把它折成底面為正方形的長方體的側面,就這個長方體的底面面積為 平方厘米2有一個棱長為6 厘米的正方體木塊,假如把它鋸成棱長為2 厘米的正方體如干塊,表面積增加了 平方厘米3把一根 2 米長的方木鋸成兩段,表面積增加288 平方厘米,原先這根方木的體積為 立方厘米4把棱長為 a 厘米的兩個正方體拼成一個長方體,長方體的表面積為5把棱長 1 厘米的正方體2100 個,堆成一個實心的長方體,它的高為10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載厘米,長和寬都大于高,這個長方體

11、的長與寬的和為二.挑選題： 厘米精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1一個正方體的體積為343 立方厘米,它的全面積為平方厘米（a）42 （ b）196 （c）294 （d）3922把棱長為 3 分米的正方體鋸成兩個長方體,這兩個長方體表面積的和為 平方分米（a）54 （ b）72 （c）108 （d）以上都不對3如下圖,一個木制的正方體的棱長為2 分米,每個面的正中有一個正方形的孔通到對邊, 邊長為 1 分米, 孔的各棱平行于正方體相對的棱,那么這個鏤空幾何體的總表面積的平方分米數(shù)為 （a）24 （ b）30 （c）36 （ d）424如下頁圖立方體的每個角都被切下去（圖中僅畫了兩

12、個） 問所得到的幾何體有 條棱？（a）24（b）30 （ c） 36 （d）425立方體各面上的數(shù)字為連續(xù)的整數(shù)（如圖）假如每對對面上的兩個數(shù)的和相等,那么,這三對數(shù)的和為 ；（a）75 （ b）76 （c）78 （ d）81精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.解答題：1一個木盒從外面量長10 厘米,寬 8 厘米,高 5 厘米,木板厚 1 厘米問做這個木盒最少需要1 厘米厚的木板多少平方厘米？這個木盒的容積為多少立方厘米？2將一個長 9 厘米,寬 8 厘米,高 3 厘米的長方體木塊鋸成如干個小正方體（鋸痕寬度忽視不計） ,然后再拼成一個大正方體,求這個大正方體的表面積3一個邊長為 6 厘米的正方體鐵盒裝滿了水,將水倒入一個長9 厘米,寬8 厘米的長方形水槽內(nèi),如鐵皮厚度不計,求水深4把 19 個邊長為 2 厘米的正方體重疊起來,作成如下圖那樣的組合形體, 求這個組合形體的表面積5將表面積為 54 平方厘米. 96 平方厘米. 150 平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗） 求這個大正方體的體積和表面積6用字母標出一個正方體的各面,下圖中為三個不同方位的這一個正方體,問字母 a.b.c 的對面為什么字母？7下圖為一個正方體及其兩個綻開圖這個正方體仍有九種不同的綻開圖（下圖）,請把這九個綻開圖