人教版高中數(shù)學必修一各章知識點總結

1、學習必備歡迎下載函數(shù)單調性u=g(x) 增增減減y=f(u) 增減增減y=fg(x) 增減減增新課標人教版高中數(shù)學 (必修 1)知識點導學一、集合 :1. 集合的含義 : 某些指定的對象集在一起就成為一個集合, 每一個對象叫集合的一個元素。2. 元素的三個特性:(1)確定性 : 對于一個給定的集合, 集合中的元素是確定的, 任何一個對象或者是或者不是這個給定集合的元素,(2) 互異性 : 任何一個給定的集合中, 任意兩個元素都是不同的對象, 相同的對象歸入一個集合時, 僅算一個元素,(3) 無序性 : 集合中的元素是平等的 , 沒有先后順序, 判斷兩個集合是否一樣, 僅需比較它們的元素是否一樣

2、, 不需考查排列順序是否一樣,(4) 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3. 集合的表示 : 列舉法 : 把集合中的元素一一列舉出來, 用一個大括號括起來 , 元素與元素之間用逗號隔開, 描述法 : 將集合中元素的公共屬性描述出來, 寫在大括號內表示集合的方法, 語言描述法 : 如: 不是直角三角形的三角形, 數(shù)學式子描述法: 如: 不等式 x-32 的解集是 xr|x-32 或x| x-32。4. 集合的分類:(1) 有限集 : 含有有限個元素的集合,(2)無限集 : 含有無限個元素的集合,(3)空集 : 不含任何元素的集合,如:x|x2=-5 。 5. 集合間的基本關系:(

3、1) 包含關系 ( 子集 ):ab有兩種可能 : a是 b的一部分 ,a與 b是同一集合 , 集合a不包含于集合b或集合 b不包含集合a,記作 ab或 ba,(2) 相等關系 (若 55 且 55，則 5=5), 如 :a=x|x2-1=0 與b=-1,1相等 , 對于兩個集合a與 b,如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素 , 集合 b 的任何一個元素都是集合a的元素 , 就說集合a等于集合 b,即:a=b, 任何一個集合是它本身的子集,aa,真子集 : 如果 ab且 a b, 就說集合 a是集合 b的真子集 , 記作 ab或 ba,若 ab且 bc, 則 ac,若 ab且 ba,則 a=

4、b,(3) 不含任何元素的集合叫空集 , 記為, 規(guī)定 : 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。6. 集合的運算 :(1) 交集 : 一般地 , 由所有屬于a且屬于 b的元素所組成的集合叫a與 b的交集 ,記作 ab(讀作 a交 b), 即 a b=x|x a且 xb,(2)并集 : 一般地 , 由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合叫a與 b的并集 , 記作 ab( 讀作 a并 b), 即 ab=x|x a或 xb,(3)交集與并集的性質:aa=a,a=,a b=b a,aa=a,a=a,ab= ba,(4) 全集與補集 : 補集 : 設 s是一個集合 ,a是 s 的

5、一個子集 , 即 as, 由 s 中所有不屬于a 的元素組成的集合叫s 中子集a 的補集 ( 余集或差集 ), 記作 :csa,即 csa =x xs 且 xa, 全集 : 如果集合s 含有我們所要研究的各個集合的全部元素, 這個集合就可以看作一個全集, 通常用 u來表示 , 性質 :cu(c ua)=a,(cua)a=,(cua) a=u 。二、 函數(shù)概念及其性質:1. 函數(shù)的概念 : 設 a,b 是兩個非空數(shù)集, 按照某個確定的對應關系f, 使得對于集合a中的任意一個數(shù) x, 在集合 b中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應 , 稱 f:a b為從集合a到集合 b的一個函數(shù) , 記作 y=f(

6、x)(xa),x 叫自變量 ,x 的取值范圍a叫函數(shù)的定義域, 與 x 的值相對應的y 值叫函數(shù)值 , 函數(shù)值的集合 f(x)|xa叫函數(shù)的值域 ,(1) 若只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域, 則函數(shù)的定義域是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合,(2)函數(shù)的定義域 ,值域要寫成集合或區(qū)間的形式,(3) 能使函數(shù)解析式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域,(4) 求函數(shù)定義域的主要依據(jù): 分式的分母不為零, 偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零, 對數(shù)式的真數(shù)大于零, 指數(shù)和對數(shù)式的底數(shù)大于0 且不等于 1, 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的, 那么它的定義域是使各部分都有

7、意義的x的值組成的集合, 指數(shù)為零底數(shù)不等于0, 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義,(5) 函數(shù)三要素 : 定義域 , 對應關系和值域 , 構成函數(shù)的三個要素是定義域, 對應關系和值域, 值域是由定義域和對應關系決定的, 兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致, 這兩個函數(shù)是同一個函數(shù), 兩個函數(shù)相同當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致, 而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關,(6)值域 : 函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則, 不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域 , 熟練掌握一次函數(shù), 二次函數(shù) , 指數(shù)函數(shù) , 對數(shù)函數(shù)的值域, 它是求解復雜函數(shù)值域的基礎。2. 函數(shù)圖象

8、 :在平面直角坐標系中 , 以函數(shù) y=f(x)(x a)中的 x 為橫坐標 ,函數(shù)值 y 為縱坐標的點p(x,y) 的集合 c,叫函數(shù) y=f(x)(xa)的圖象 ,c上每一個點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關系y=f(x),以滿足 y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x,y 為坐標的點 (x,y)均在 c上, 記為c= p(x,y)|y=f(x),xa, 圖象 c一般是一條光滑的連續(xù)曲線( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與y 軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。3. 區(qū)間 :(1) 區(qū)間的分類 : 開區(qū)間 , 閉區(qū)間 ,半開半閉區(qū)間,(2) 無窮區(qū)間 ,(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示。 4

9、. 映射 : 一般地 , 設 a,b 是兩個非空集合, 如果按照某一個確定的對應法則f, 使得對于集合a 中的任意一個元素x,在集合 b中都有唯一確定的元素y 與之對應 ,那么就稱對應f:ab 為從集合a到集合 b的一個映射 , 記作 f:ab,給定一個集合 a到 b的映射 ,a a,b b且元素 a 和元素 b 對應 , 元素 b 叫元素 a 的象 , 元素 a叫元素 b 的原象 , 函數(shù)是一種特殊的映射 , 映射是一種特殊的對應, 集合 a,b 及對應法則f 是確定的 , 對應法則具有方向性, 強調從集合a 到集合 b的對應, 它與從 b到 a的對應關系一般是不同的, 映射 f:a b應滿

10、足 :(1) 集合 a中的每一個元素, 在集合 b中都有象 , 并且象是唯一的 ,(2) 集合 a中不同的元素, 在集合 b中對應的象可以是同一個,(3) 不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。 5. 分段函數(shù) : 在定義域的不同部分上有不同的解析式的函數(shù), 在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的解析式 , 分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程, 而應寫出函數(shù)的幾種不同解析式并用一個左大括號括起來, 分別注明各部分自變量的取值范圍,(1) 分段函數(shù)是一個函數(shù), 不要把它誤認為是幾個函數(shù),(2) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集 , 值域是各段值域的并集。6. 復合函數(shù) :

11、若 y=f(u)(um),u=g(x)(x a), 則 y=fg(x)=f(x)(xa), 稱 f,g的復合函數(shù) , 如:12xy,212logxy等。7. 函數(shù)的單調性 :(1) 增減性 : 設函數(shù) y=f(x)的定義域為i, 如果對于定義域i 內的某個區(qū)間 d內的任意兩個自變量x1,x2, 當 x1x2時, 都有 f(x1)x2時, 都有 f(x1)f(x2), 那么就說f(x)在區(qū)間 d上是增函數(shù) ,區(qū)間 d稱為 y=f(x)的單調增區(qū)間 , 如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值x1,x2, 當 x1f(x2),或當 x1x2時, 都有 f(x1)f(x2), 那么就說f(x) 在區(qū)間

12、d上是減函數(shù) , 區(qū)間 d稱為 y=f(x)的單調減區(qū)間 , 函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質,是函數(shù)的局部性質,(2) 圖象特點 : 函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間內是增函數(shù)或減函數(shù), 函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有( 嚴格的 ) 單調性 , 在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的( 從右到左是下降的), 減函數(shù)的圖象從左到右是下降的( 從右到左是上升的),(3)函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法:a. 定義法 : 任取x1,x2d 且 x11 且nn*, 當n是奇數(shù)時 , 正數(shù)的n次方根是一個正數(shù), 負數(shù)的n次方根是一個負數(shù),a的n次方根用符號na表示 , 式子na叫根式 ,n叫

13、根指數(shù) ,a叫被開方數(shù) , 當n是偶數(shù)時 , 正數(shù)的n次方根有兩個 , 它們是互為相反數(shù), 正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示 ,負的n次方根用符號 -na表示 , 正的n次方根與負的n次方根可以合并成na(a0), 負數(shù)沒有偶次方根 ,0 的任何次方根都是0, 記作00n。 當n是奇數(shù)時 ,aann, 當n是偶數(shù)時 ,(0)|(0)nnaaaaaa,(2) 分數(shù)指數(shù)冪:*(0, ,1)mnnmaaam nnn,*11(0,1)mnmnnmaam nnnaa, 零的正分數(shù)指數(shù)冪為0, 零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 , 整數(shù)指數(shù)冪的運算性質可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,(3)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質:(1)r

14、sr sa aa), 0(rsra, (2)()rsrsaa),0(rsra,(3)()rrra bab (0,0,)abrr。2. 指數(shù)函數(shù)及其性質:(1)指數(shù)函數(shù)的概念: 一般地 , 函數(shù)) 1, 0(aaayx且叫指數(shù)函數(shù) ,x 是自變量 , 函數(shù)的定義域為r,(2) 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質: 6543211422460165432114224601向 x 軸正負方向無限延伸，函數(shù)的定義域為r，函數(shù)圖象都在x 軸上方，值域為(0,)即 r+圖象關于原點和x 軸及 y 軸都不對稱，是非奇非偶函數(shù)，函數(shù)圖象都過定點(0,1) ，1a0(0)a在( )xf xa中，總有(0)1f和(1)fa圖象

15、從左到右逐漸上升，從右到左逐漸下降圖象從左到右逐漸下降，從右到左逐漸上升增函數(shù) ,01xxya當時,001xxya當時減函數(shù) ,001xxya當時,01xxya當時( 二) 對數(shù)函數(shù) :1. 對數(shù) :(1) 一般地 , 如果nax) 1,0(aa, 那么數(shù)x叫做以a為底n的對數(shù) , 記作nxalog(a叫底數(shù),n叫真數(shù) ,nalog叫對數(shù)式 ),xnnaaxlog, 兩個重要對數(shù) : 常用對數(shù) :以 10 為底的對數(shù)nlg, 自然對數(shù) : 以 無 理 數(shù)71828.2e為 底 的 對 數(shù)nln,(2)對 數(shù) 的 運 算 性 質 : log ()loglogmnaaamn, logloglogm

16、nmaaan, loglognaamnm)(rn, 換 底 公 式 :logloglogbcacab(0a且1a,0c且1c,0b),(1)loglogmnnamabb,(2)1loglogabab,2. 對數(shù)函數(shù) :(1) 對數(shù)函數(shù)的概念: 函數(shù)0(logaxya且)1a叫 對 數(shù) 函 數(shù) ,x是 自 變 量 , 函 數(shù) 的 定 義 域 是 (0,+ ),對 數(shù) 函 數(shù) 的 定 義 與 指 數(shù) 函 數(shù) 類 似 , 都 是 形 式 定義,xy2log2,55logxy都不是對數(shù)函數(shù), 只能稱其為對數(shù)型函數(shù),(2)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質: 32521510505115225112345678011

17、3252151050 511 522 5112345678011函數(shù)圖象都在y 軸右側 , 函數(shù)的定義域為(0, ), 向 y 軸正負方向無限延伸, 函數(shù)的值域為r 函數(shù)圖象關于原點和x 軸及 y 軸都不對稱 , 是非奇非偶函數(shù), 函數(shù)圖象都過定點(1,0),01loga在( )logxaf x中，總有(1)0f和( )1f a增函數(shù)，圖像從左到右逐漸上升，從右到左逐漸下降減函數(shù)，圖像從左到右逐漸下降，從右到左逐漸上升1log0axyx當時,01log0axx當時,y=01log0axx當時,y=,1log0axx當時,y=(三 ) 冪函數(shù) :1. 定義 :一般地 , 形如xy)(ra的函數(shù)稱

18、為冪函數(shù),為常數(shù)。2. 性質 :(1) 冪函數(shù)在 (0,+ ) 上都有定義 ,圖象都過定點(1,1),(2)當0時 , 圖象過原點且在區(qū)間),0上是增函數(shù) , 當1時, 圖象下凸 , 當10時, 圖象上凸 ,(3)當0時, 圖象在區(qū)間),0(上是減函數(shù) , 在第一象限 , 當x從右邊趨向原點時, 圖象在y軸右方無限逼近y軸正半軸 , 當x趨于時, 圖象在x軸上方無限逼近x軸正半軸。四、函數(shù)應用 ( 函數(shù)的零點 ):1.使0)(xf成立的實數(shù)x叫函數(shù))(dxxfy的零點 ,2. 函數(shù))(xfy的零點就是方程0)(xf的實數(shù)根 , 函數(shù))(xfy的圖象與x軸交點的橫坐標, 方程0)(xf有實數(shù)根函數(shù))(xfy圖象與x軸有交點函數(shù))(xfy有零點 ,3. 求函數(shù))(xfy的零點 :代數(shù)法 : 求方程0)(xf的實根 , 幾何法 : 對不能