高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：7.5 直線、平面垂直的判定及性質(zhì) Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第五節(jié)直線、平面垂直的判定及性質(zhì)垂直的判定與性質(zhì)(1)掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理(2)掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直1直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直(2)圖形語言：如圖1所示(3)符號(hào)語言：a，b，abp，la，lbl.2直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行圖形語言：如圖2所示符號(hào)語言：a，bab.易誤提醒斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線，而不是線段必記結(jié)論(1)直線與平面垂直的定義常常逆用，即a，bab.(2)若平行直線中一條

2、垂直于平面，則另一條也垂直于該平面(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(5)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直自測練習(xí)1設(shè)a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則“l(fā)a，且lb”是“l(fā)”的()a充要條件b充分不必要條件c必要不充分條件 d既不充分也不必要條件解析：由線面垂直的判定定理知，充分性不成立，由線面垂直的性質(zhì)定理知，必要性成立，故選c.答案：c2已知直線a，b和平面，且ab，a，則b與的位置關(guān)系為()ab bbcb或b db與相交解析：由ab，a知b或b，但直線b不與相交答案：c知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直1平面與平面垂直的判定(1)

3、兩個(gè)平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直平面與垂直，記作.(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理自然語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直圖形語言：如圖1所示符號(hào)語言：ab ，ab.圖12平面與平面垂直的性質(zhì)自然語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直圖形語言：如圖2所示圖2符號(hào)語言：，cd，ab，abcdab.易誤提醒平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件：l，l，缺一不可必記結(jié)論(1)兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，正方體中任意相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要證明平面與平面垂線，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中

4、尋找平面的垂線，即證明線面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)自測練習(xí)3若m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()a若m，則mb若m，n，mn，則c若m，m，則d若，則解析：利用相關(guān)定理逐個(gè)判斷a中m與的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；b中，可能平行或相交，故錯(cuò)誤；由面面垂直的判定定理可知c正確；d中，平行或相交，故錯(cuò)誤，選c.答案：c4四棱錐p­abcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，則這個(gè)四棱錐的五個(gè)面中兩兩垂直的共有_對解析：因?yàn)閍dab，adpa且paaba，可得ad平面pab.同理可得bc平面pab、ab平面pa

5、d、cd平面pad，由面面垂直的判定定理可得，平面pad平面pab，平面pbc平面pab，平面pcd平面pad，平面pab平面abcd，平面pad平面abcd，共有5對答案：5考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)|1在空間中，l，m，n，a，b表示直線，表示平面，則下列命題正確的是()a若l，ml，則mb若lm，mn，則mnc若a，ab，則bd若l，la，則a解析：易知選項(xiàng)a不正確；選項(xiàng)b，從mn就可以看出結(jié)論是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)c中，若b，則c不正確；選項(xiàng)d是正確的答案：d2(2016·麗水一模)在四面體abcd中，下列條件不能得出abcd的是()aabbc且abbdbadbc且acbdca

6、cad且bcbddacbc且adbd解析：a.abbd，abbc，bdbcb，ab平面bcd，cd平面bcd，abcd.b.設(shè)a在平面bcd內(nèi)的射影為o，則ao平面bcd，adbc，acbd，o為bcd的垂心，連接bo，則bocd，又aocd，aoboo，cd平面abo，ab平面abo，abcd.c.取cd中點(diǎn)g，連接bg，ag.acad且bcbd，cdbg，cdag，bgagg，cd平面abg，ab平面abg，abcd，故選d.答案：d3(2015·高考重慶卷)如圖，三棱錐p­abc中，平面pac平面abc，abc，點(diǎn)d，e在線段ac上，且addeec2，pdpc4，點(diǎn)f

7、在線段ab上，且efbc.(1)證明：ab平面pfe；(2)若四棱錐p­dfbc的體積為7，求線段bc的長解：(1)證明：由deec，pdpc知，e為等腰pdc中dc邊的中點(diǎn)，故peac.又平面pac平面abc，平面pac平面abcac，pe平面pac，所以pe平面abc，從而peab.因abc，efbc，故abef.從而ab與平面pfe內(nèi)兩條相交直線pe，ef都垂直，所以ab平面pfe.(2)設(shè)bcx，則在rtabc中，ab，從而sabcab·bcx.由efbc知，得afeabc，故2，即safesabc.由adae，得safdsafe·sabcsabcx，從而

8、四邊形dfbc的面積為sdfbcsabcsafdxxx.由(1)知，pe平面abc，所以pe為四棱錐p­dfbc的高在rtpec中，pe2.vp­dfbc·sdfbc·pe·x·27，故得x436x22430，解得x29或x227，由于x>0，可得x3或x3.所以，bc3或bc3.證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)|(2015·高考全國卷)如圖，四邊形abcd為菱形，g為

9、ac與bd的交點(diǎn)，be平面abcd.(1)證明：平面aec平面bed；(2)若abc120°，aeec，三棱錐e­acd的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蝍bcd為菱形，所以acbd.因?yàn)閎e平面abcd，所以acbe.故ac平面bed.又ac平面aec，所以平面aec平面bed.(2)設(shè)abx，在菱形abcd中，由abc120°，可得aggcx，gbgd.因?yàn)閍eec，所以在rtaec中，可得egx.由be平面abcd，知ebg為直角三角形，可得bex.由已知得，三棱錐e­acd的體積ve­acd×ac×

10、gd×bex3.故x2.從而可得aeeced.所以eac的面積為3，ead的面積與ecd的面積均為.故三棱錐e­acd的側(cè)面積為32.證明面面垂直的主要方法利用判定定理在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，勾股定理的逆定理等用定義證明只需判定兩平面所成二面角為直二面角客觀題中，也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面(2015·佛山一中期中考試)如圖，在三棱錐p­abc中，pa底面abc，bca90°，apac，點(diǎn)d，e分別在棱pb，pc上，且bc平面ade.(1)

11、求證：de平面pac；(2)當(dāng)二面角a­de­p為直二面角時(shí)，求a­bced與p­aed的體積比解：(1)證明：bc平面ade，bc平面pbc，平面pbc平面adede，bced，pa底面abc，bc底面abc，pabc，又bca90°，acbc，pa與ac是平面pac內(nèi)的兩條相交直線，bc平面pac，又bced，de平面pac.(2)由(1)知，de平面pac，ae平面pac，pe平面pac，deae，depe，aep為二面角a­de­p的平面角，aep90°，即aepc，apac，e是pc的中點(diǎn)，ed是pbc的

12、中位線，deac，又pcdee，ae平面pcd，3.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題|空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點(diǎn)，歸納起來常見的命題探究角度有：1以多面體為載體考查平行與垂直的證明2探索性問題中的平行與垂直問題3折疊問題中的平行垂直問題探究一平行與垂直關(guān)系的證明1如圖，在正方體abcd­a1b1c1d1中，e，f，p，q，m，n分別是棱ab，ad，dd1，bb1，a1b1，a1d1的中點(diǎn)求證：(1)直線bc1平面efpq；(2)直線ac1平面pqmn.證明：(1)連接ad1，由abcd­a1b1c1d1是正方體，知ad1bc1，因?yàn)閒，p分別是ad，dd1

13、的中點(diǎn)，所以fpad1.從而bc1fp.而fp平面efpq，且bc1平面efpq，故直線bc1平面efpq.(2)連接ac，bd，則acbd.由cc1平面abcd，bd平面abcd，可得cc1bd.又accc1c，所以bd平面acc1.而ac1平面acc1，所以bdac1.因?yàn)閙，n分別是a1b1，a1d1的中點(diǎn)，則易知mnbd，從而mnac1.同理可證pnac1.又pnmnn，所以直線ac1平面pqmn.探究二探索性問題中的平行與垂直問題2.如圖，直三棱柱abc ­a1b1c1中，acbc，acbccc12，m，n分別為ac，b1c1的中點(diǎn)(1)求線段mn的長；(2)求證：mn平面

14、abb1a1；(3)線段cc1上是否存在點(diǎn)q，使a1b平面mnq？說明理由解：(1)連接cn.因?yàn)閍bc ­a1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc，所以accc1.因?yàn)閍cbc，所以ac平面bcc1b1.因?yàn)閙c1，cn，所以mn.(2)證明：取ab中點(diǎn)d，連接dm，db1.在abc中，因?yàn)閙為ac中點(diǎn)，所以dmbc，dmbc.在矩形b1bcc1中，因?yàn)閚為b1c1中點(diǎn)，所以b1nbc，b1nbc.所以dmb1n，dmb1n.所以四邊形mdb1n為平行四邊形，所以mndb1.因?yàn)閙n平面abb1a1，db1平面abb1a1，所以mn平面abb1a1.(3)線段cc1上存在點(diǎn)q，

15、且q為cc1中點(diǎn)時(shí)，有a1b平面mnq.證明如下：連接bc1.在正方形bb1c1c中易證qnbc1.又a1c1平面bb1c1c，所以a1c1qn，從而nq平面a1bc1.所以a1bqn.同理可得a1bmq，所以a1b平面mnq.故線段cc1上存在點(diǎn)q，使得a1b平面mnq.探究三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系3(2015·高考四川卷)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母f，g，h標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)判斷平面beg與平面ach的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線df平面beg.解：(1)點(diǎn)f，g，h的位置如圖所示(2)平

16、面beg平面ach，證明如下：因?yàn)閍bcd­efgh為正方體，所以bcfg，bcfg，又fgeh，fgeh，所以bceh，bceh，于是四邊形bche為平行四邊形，所以bech.又ch平面ach，be平面ach，所以be平面ach.同理bg平面ach.又bebgb，所以平面beg平面ach.(3)證明：連接fh.因?yàn)閍bcd­efgh為正方體，所以dh平面efgh.因?yàn)閑g平面efgh，所以dheg.又egfh，dhfhh，所以eg平面bfhd.又df平面bfhd，所以dfeg.同理dfbg.又egbgg，所以df平面beg.平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略(1)探索性問

17、題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)(2)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，尤其是隱含量的垂直關(guān)系7.平行與垂直綜合問題的答題模板【典例】(12分)(2015·高考山東卷)如圖，三棱臺(tái)def­abc中，ab2de，g，h分別為ac，bc的中點(diǎn)(1)求證：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求證：平面bcd平面egh.思維點(diǎn)撥(1)法一：證明四邊形dfcg為平行四邊形，結(jié)合h為bc的中點(diǎn)可得hmbd，進(jìn)而得bd平面fgh；法二：利用四邊形hbef為平行

18、四邊形，證明平面abed平面fgh，進(jìn)而得bd平面fgh.(2)先證明cb平面ech，進(jìn)而得平面bcd平面egh.規(guī)范解答(1)證明：法一：連接dg，cd，設(shè)cdgfm，連接mh.在三棱臺(tái)def­abc中，ab2de，g為ac的中點(diǎn)，可得dfgc，dfgc，所以四邊形dfcg為平行四邊形，(3分)則m為cd的中點(diǎn)，又h為bc的中點(diǎn)，所以hmbd.又hm平面fgh，bd平面fgh，(4分)所以bd平面fgh.(5分)法二：在三棱臺(tái)def­abc中，由bc2ef，h為bc的中點(diǎn)，可得bhef，bhef，所以四邊形hbef為平行四邊形，可得behf.(2分)在abc中，g為ac的

19、中點(diǎn)，h為bc的中點(diǎn)所以ghab.(3分)又ghhfh，所以平面fgh平面abed.(4分)因?yàn)閎d平面abed，所以bd平面fgh.(5分)(2)連接he，ge.因?yàn)間，h分別為ac，bc的中點(diǎn)，所以ghab，由abbc，得ghbc.(7分)又h為bc的中點(diǎn)，所以efhc，efhc，因此四邊形efch是平行四邊形(9分)所以cfhe.又cfbc，所以hebc.又he，gh平面egh，heghh，所以bc平面egh.(11分)又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.(12分)模板形成 a組考點(diǎn)能力演練1已知直線m，l，平面，且m，l，給出下列命題：若，則ml；若，則ml；若ml，則；若ml

20、，則，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()a1b2c3 d4解析：中，且m，則m，因?yàn)閘，所以ml，所以正確；中，且m，則m或m，又l，則m與l可能平行，可能異面，可能相交，所以不正確；中，ml，且m，l，則與可能平行，可能相交，所以不正確；中，ml，且m，則l，因?yàn)閘，所以，所以正確，故選b.答案：b2設(shè)，為不同的平面，m、n、l為不同的直線，則m的一個(gè)充分條件為()a，l，mlbm，c，mdn，n，m解析：對于a，l，ml，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，缺少條件m，故不正確；對于b，m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故不正確；對于c，m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故不正

21、確；對于d，n，n，則，又m，則m，故正確，故選d.答案：d3.如圖，在三棱錐d­abc中，若abcb，adcd，e是ac的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()a平面abc平面abdb平面abd平面bcdc平面abc平面bde，且平面acd平面bded平面abc平面acd，且平面acd平面bde解析：因?yàn)閍bcb，且e是ac的中點(diǎn)，所以beac，同理，deac，由于debee，于是ac平面bde.因?yàn)閍c平面abc，所以平面abc平面bde.又ac平面acd，所以平面acd平面bde.故選c.答案：c4.如圖，正方體ac1的棱長為1，過點(diǎn)a作平面a1bd的垂線，垂足為h，則以下命題中，錯(cuò)誤

22、的是()a點(diǎn)h是a1bd的垂心bah垂直于平面cb1d1cah的延長線經(jīng)過點(diǎn)c1d直線ah和bb1所成角為45°解析：a中，a1bd為等邊三角形，其四心合一，abaa1ad，h到a1bd各頂點(diǎn)的距離相等，a正確；cd1ba1，cb1da1，cd1cb1c，ba1da1a1，平面cb1d1平面a1bd，ah平面cb1d1，b正確；連接ac1，則ac1b1d1，b1d1bd，ac1bd，同理，ac1ba1，ac1平面a1bd，a、h、c1三點(diǎn)共線，c正確，故選d.答案：d5.如圖所示，在斜三棱柱abc­a1b1c1中，bac90°，bc1ac，則c1在底面abc上的射

23、影h必在()a直線ab上b直線bc上c直線ac上dabc內(nèi)部解析：bac90°，abac，又acbc1，bc1abb，ac平面abc1，又ac平面abc，平面abc平面abc1.平面abc1平面abcab，點(diǎn)c1在平面abc上的射影h必在兩平面的交線ab上，故選a.答案：a6四棱錐p­abcd的頂點(diǎn)p在底面abcd上的投影恰好是a，其三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是腰長為a的等腰三角形，則在四棱錐p­abcd的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有_對解析：由題意可得pabc，pacd，abpd，bdpa，bdpc，adpb，即互相垂直的異面直線共有6

24、對答案：67如圖所示，在四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，且底面各邊都相等，m是pc上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)m滿足_時(shí)，平面mbd平面pcd.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：連接ac，bd，則acbd，pa底面abcd，pabd.又paaca，bd平面pac，bdpc.當(dāng)dmpc(或bmpc)時(shí)，即有pc平面mbd.而pc平面pcd，平面mbd平面pcd.答案：dmpc(或bmpc等)8已知abc的三邊長分別為ab5，bc4，ac3，m是ab邊上的點(diǎn)，p是平面abc外一點(diǎn)給出下列四個(gè)命題：若pa平面abc，則三棱錐p­abc的四個(gè)面都是直角三角形；若pm平面abc

25、，且m是ab邊的中點(diǎn)，則有papbpc；若pc5，pc平面abc，則pcm面積的最小值為；若pc5，p在平面abc上的射影是abc內(nèi)切圓的圓心，則點(diǎn)p到平面abc的距離為.其中正確命題的序號(hào)是_(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)解：由題意知acbc，對于，若pa平面abc，則pabc，又paaca，bc平面pac，bcpc，因此該三棱錐p­abc的四個(gè)面均為直角三角形，正確；對于，由已知得m為abc的外心，所以mambmc.pm平面abc，則pmma，pmmb，pmmc，由三角形全等可知papbpc，故正確；對于，要使pcm的面積最小，只需cm最短，在rtabc中，(cm)min，(s

26、pcm)min××56，故錯(cuò)誤；對于，設(shè)p點(diǎn)在平面abc內(nèi)的射影為o，且o為abc的內(nèi)心，由平面幾何知識(shí)得abc的內(nèi)切圓半徑r1，且oc，在rtpoc中，po，點(diǎn)p到平面abc的距離為，故正確答案：9(2016·揚(yáng)州中學(xué)模擬)如圖1，在邊長為4的菱形abcd中，dab60°，點(diǎn)e，f分別是邊cd，cb的中點(diǎn)，acefo.沿ef將cef翻折到pef，連接pa，pb，pd，得到如圖2的五棱錐p­abfed，且pb.(1)求證：bd平面poa；(2)求四棱錐p­bfed的體積解：(1)證明：點(diǎn)e，f分別是邊cd，cb的中點(diǎn)，bdef.abc

27、d是菱形，bdac，efac，翻折后efao，efpo，ao平面poa，po平面poa，aopoo，ef平面poa，bd平面poa.(2)設(shè)aobdh，連接bo，abcd是菱形，abad，dab60°，abd為等邊三角形，bd4，bh2，ha2，hopo，在rtbho中，bo，在pbo中，bo2po210pb2，pobo，poef，efboo，ef平面bfed，bo平面bfed，po平面bfed，又梯形bfed的面積為s(efbd)·ho3，四棱錐p­bfed的體積vs·po×3×3.10.如圖，已知四棱錐p­abcd中，底

28、面abcd是直角梯形，abcd，abc45°，dc1，ab2，pa平面abcd，pa1.(1)求證：ab平面pcd；(2)求證：bc平面pac；(3)若m是pc的中點(diǎn)，求三棱錐m­acd的體積解：(1)證明：abcd，cd平面pdc，ab平面pdc，ab平面pdc.(2)證明：在直角梯形abcd中，過點(diǎn)c作ceab于點(diǎn)e，則四邊形adce為矩形，aedc1，又ab2，be1，在rtbec中，ebc45°，cebe1，cb，在rtace中，ac，ac2bc2ab2，bcac.又pa平面abcd，bc平面abcd，bcpa，而paaca，bc平面pac.(3)m是pc

29、的中點(diǎn)，m到平面adc的距離是p到平面adc的距離的一半vm­acdsacd×××.b組高考題型專練1(2015·高考安徽卷)已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()a若，垂直于同一平面，則與平行b若m，n平行于同一平面，則m與n平行c若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線d若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一個(gè)平面解析：a中，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，故a錯(cuò)誤；b中，平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故b錯(cuò)誤；c中，若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)與交線平行的直線一定和另一個(gè)平面平行，故

30、c錯(cuò)誤；d中，若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，所以若兩條直線不平行，則它們不可能垂直于同一個(gè)平面，故d正確答案：d2(2014·高考廣東卷)如圖(1)，四邊形abcd為矩形，pd平面abcd，ab1，bcpc2.按圖(2)折疊：折痕efdc，其中點(diǎn)e，f分別在線段pd，pc上，沿ef折疊后點(diǎn)p疊在線段ad上的點(diǎn)記為m，并且mfcf.(1)證明：cf平面mdf；(2)求三棱錐m ­cde的體積解：(1)證明：pd平面abcd，pd平面pcd，平面pcd平面abcd，平面pcd平面abcdcd，md平面abcd，mdcd，md平面pcd，cf平面pcd，cfmd，又cfmf，md，mf平面mdf，mdmfm，cf平面mdf.(2)cf平面mdf，cfdf，又易知pcd60°，cdf30°，從而cfcd，ef