高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：5.8三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

1、5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用典例精析題型一利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題【例1】如圖，abcd是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中ast是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)p在上，相鄰兩邊cq、cr分別落在正方形的邊bc、cd上，求矩形停車場(chǎng)pqcr面積的最大值和最小值.【解析】如圖，連接ap，過(guò)p作pmab于m.設(shè)pam，0，來(lái)源:則pm90sin ，am90cos ，所以pq10090cos ，pr10090sin ，于是s四邊形pqcrpq·pr(10090cos )(10090sin )8 100sin cos 9

2、 000(sin cos )10 000.設(shè)tsin cos ，則1t，sin cos .s四邊形pqcr8 100·9 000t10 000來(lái)源:4 050(t)2950 (1t).當(dāng)t時(shí)，(s四邊形pqcr)max14 0509 000 m2；當(dāng)t時(shí)，(s四邊形pqcr)min950 m2.【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sin cos ，sin ±cos 的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sin ±cos t，把sin cos 用t表示，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意t的取值范圍.【變式訓(xùn)練1】若0x，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是()a.4xsin 3xb.4xsi

3、n 3xc.4xsin 3xd.與x的值有關(guān)【解析】令f(x)4xsin 3x，則f(x)43cos 3x.因?yàn)閒(x)43cos 3x0，所以f(x)為增函數(shù).又0x，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故選a.題型二函數(shù)yasin(x)模型的應(yīng)用【例2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0t24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作yf(t).下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù).經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，yf(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)yacos tb.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)yacos tb的最小正周期t、振幅a及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)

4、好者開(kāi)放. 請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？來(lái)源:【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期t12，所以.由t0，y1.5，得ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，所以a0.5，b1，所以振幅為.所以ycos t1.(2)由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，所以cos t11，所以cos t0，所以2kt2k，即12k3t12k3.因?yàn)?t24，故可令中k分別為0,1,2，得0t3或9t15或21t24.故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00至下午15：00.【點(diǎn)撥】用yasin(x)模

5、型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.【變式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10 m的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)p到水面的距離為d m(p在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時(shí)間t(s)之間滿足關(guān)系式：dasin(t)k(a0，0，)，且當(dāng)點(diǎn)p從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：a10；k5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【解析】.題型三正、余弦定理的應(yīng)用【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾攎、n間的距離，飛機(jī)沿水平方向在a、b兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，a、b、m、n在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和a、b之間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：(1)指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表

6、示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫出計(jì)算m、n間距離的步驟.【解析】(1)如圖所示：測(cè)ab間的距離a；測(cè)俯角mab，nab，mba，nba.(2)在abm中 ，amb，由正弦定理得bm，來(lái)源:同理在ban中，bn，所以在bmn中，由余弦定理得mn.【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見(jiàn)正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是海里/小時(shí).【解析】本題考查實(shí)際模型中的解三角形問(wèn)題.依題意作出簡(jiǎn)圖，易知ab10，ocb60°，oca75°.我們只需計(jì)算出oc的長(zhǎng)，即可得出船速.在直角三角形oca和ocb中，顯然有tanocbtan 60°且tanocatan 75°，因此易得aboaoboc(tan 75°tan 60°)，即有oc5.由此可得船的速度為5海里÷0.5小時(shí)10海里/小時(shí).總結(jié)提高1.解三角形的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意：來(lái)源:(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)將所有已知條件化入同一個(gè)三角形中求解；(3)方程思想在解題中的運(yùn)用.