高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：7.7 立體幾何中的向量方法 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第七節(jié)立體幾何中的向量方法空間角(1)空間角的定義(2)掌握線線角、線面角、面面角的求法知識點一直線的方向向量與平面的法向量1直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量2平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫作平面的法向量易誤提醒(1)通常取直線上的兩個特殊點構(gòu)成直線的方向向量；當(dāng)直線平行于x軸，y軸或z軸時，直線的方向向量可分別取i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)(2)求平面的法向量時，建立的方程組有無數(shù)組解，利用賦值法，只要給x，y，z中的一個變量賦一特殊值(常賦值1,0,1)，

2、即可確定一個法向量，賦值不同，所求法向量不同，但n(0,0,0)不能作為法向量必備方法平面的法向量求法步驟：(1)設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組(4)解方程組，取其中的一組解，即得法向量自測練習(xí)1若直線l平面，直線l的方向向量為s、平面的法向量為n，則下列結(jié)論正確的是()as(1,0,2)，n(1,0，1)bs(1,0,1)，n(1,2，1)cs(1,1,1)，n(1,2，1)ds(1,1,1)，n(2,2,2)解析：直線與平面平行，直線的方向向量和

3、平面的法向量垂直，經(jīng)檢驗只有選項c中s·n0，故選c.答案：c2設(shè)u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t()a3b4c5 d6解析：，則u·v2×62×(4)4t0，t5.答案：c知識點二利用空間向量求空間角1求兩條異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角a與b的夾角a，b范圍0<0<a，b<關(guān)系cos |cos a，b|cosa，b2.求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，則sin |cosa，n|.3求二面角的大小(1)

4、若ab、cd分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖a)(2)設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的大小(如圖b、c)易誤提醒(1)空間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同，如兩向量的夾角范圍是0，兩異面直線所成的角的范圍是.(2)用平面的法向量求二面角時，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補兩種情況自測練習(xí)3已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()a45° b135°c45°或135° d90&#

5、176;解析：cosm，n，即m，n45°，其補角為135°.兩平面所成二面角為45°或135°.答案：c4若平面的一個法向量為n(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_解析：設(shè)l與所成角為，則sin |cosn，a|.答案：考點一異面直線所成角|(2015·云南模擬)如圖，在正方體abcd­a1b1c1d1中，e為ab的中點(1)求直線ad和直線b1c所成角的大小；(2)求證：平面eb1d平面b1cd.解不妨設(shè)正方體的棱長為2個單位長度，以da，dc，dd1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示

6、的空間直角坐標(biāo)系d­xyz.根據(jù)已知得：d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)(1)(2,0,0)，(2,0,2)，cos，.直線ad和直線b1c所成角為.(2)證明：取b1d的中點f，得f(1,1,1)，連接ef.e為ab的中點，e(2,1,0)，(1,0,1)，(0,2,0)，·0，·0，efdc，efcb1.dccb1c，ef平面b1cd.又ef平面eb1d，平面eb1d平面b1cd.注意向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)別當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的方向向量的

7、夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角1直三棱柱abc­a1b1c1中，bca90°，m，n分別是a1b1，a1c1的中點，bccacc1，則bm與an所成角的余弦值為()a.b.c. d.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c­xyz，設(shè)bc2，則b(0,2,0)，a(2,0,0)，m(1,1,2)，n(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故bm與an所成角的余弦值cos .答案：c考點二直線與平面所成角|(2015·高考全國卷)如圖，長方體abcd­a1b1c1d1中，ab16，bc10，aa18，點e，f分別在a1b1，d1

8、c1上，a1ed1f4，過點e，f的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求直線af與平面所成角的正弦值解(1)交線圍成的正方形ehgf如圖(2)作emab，垂足為m，則ama1e4，emaa18.因為ehgf為正方形，所以ehefbc10.于是mh6，所以ah10.以d為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d­xyz，則a(10,0,0)，h(10,10,0)，e(10,4,8)，f(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6,8)設(shè)n(x，y，z)是平面ehgf的法向量，則即所以可取n(0,4,3)又

9、(10,4,8)，故|cosn，|.所以af與平面ehgf所成角的正弦值為.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角2如圖，四棱錐p­abcd中，底面abcd是直角梯形，dab90°，adbc，ad側(cè)面pab，pab是等邊三角形，daab2，bcad，e是線段ab的中點(1)求證：pecd；(2)求pc與平面pde所成角的正弦值解：(1)證明：因為ad側(cè)面pab，pe平面pab，所以a

10、dpe.又因為pab是等邊三角形，e是線段ab的中點，所以peab.因為adaba，所以pe平面abcd.而cd平面abcd，所以pecd.(2)以e為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系e­xyz.則e(0,0,0)，c(1，1,0)，d(2,1,0)，p(0,0，)(2,1,0)，(0,0，)，(1，1，)設(shè)n(x，y，z)為平面pde的法向量由即令x1，可得n(1，2,0)設(shè)pc與平面pde所成的角為，則sin |cos，n|.所以pc與平面pde所成角的正弦值為.考點三二面角|(2015·高考北京卷)如圖，在四棱錐a­efcb中，aef為等邊三角形，平面ae

11、f平面efcb，efbc，bc4，ef2a，ebcfcb60°，o為ef的中點(1)求證：aobe；(2)求二面角f­ae­b的余弦值；(3)若be平面aoc，求a的值解(1)證明：因為aef是等邊三角形，o為ef的中點，所以aoef.又因為平面aef平面efcb，ao平面aef，所以ao平面efcb.所以aobe.(2)取bc中點g，連接og.由題設(shè)知efcb是等腰梯形，所以ogef.由(1)知ao平面efcb，又og平面efcb，所以oaog.如圖建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則e(a,0,0)，a(0,0，a)，b(2，(2a)，0)，(a,0，a)，(a2，

12、(a2)，0)設(shè)平面aeb的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則x，y1.于是n(，1,1)平面aef的法向量為p(0,1,0)所以cosn，p.由題知二面角faeb為鈍角，所以它的余弦值為.(3)因為be平面aoc，所以beoc，即·0.因為(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以·2(a2)3(a2)2.由·0及0<a<2，解得a.3(2015·高考安徽卷)如圖所示，在多面體a1b1d1dcba中，四邊形aa1b1b，add1a1，abcd均為正方形，e為b1d1的中點，過a1，d，e的平面交cd1于f.(1)證明：efb1

13、c；(2)求二面角ea1db1的余弦值解：(1)證明：由正方形的性質(zhì)可知a1b1abdc，且a1b1abdc，所以四邊形a1b1cd為平行四邊形，從而b1ca1d，又a1d面a1de，b1c面a1de，于是b1c面a1de.又b1c面b1cd1，面a1de面b1cd1ef，所以efb1c.(2)因為四邊形aa1b1b，add1a1，abcd均為正方形，所以aa1ab，aa1ad，abad且aa1abad，以a為原點，分別以，為x軸，y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得點的坐標(biāo)a(0,0,0)，b(1,0,0)，d(0，1,0)，a1(0,0,1)，b1(1,0,1)，d1(0

14、,1,1)，而e點為b1d1的中點，所以e點的坐標(biāo)為(0.5,0.5,1)設(shè)面a1de的法向量n1(r1，s1，t1)，而該面上向量(0.5,0.5,0)，(0,1，1)，由n1，n1得(1,1,1)為其一組解，所以可取n1(1,1,1)設(shè)面a1b1cd的法向量n2(r2，s2，t2)，而該面上向量(1,0,0)，(0,1，1)，由此同理可得n2(0,1,1)所以結(jié)合圖形知二面角ea1db1的余弦值為.24.向量法在立體幾何探索性問題中的應(yīng)用【典例】(2016·綿陽診斷)如圖，在直角梯形abcd中，adbc，adc90°，ae平面abcd，efcd，bccdaeefad1.

15、(1)求證：ce平面abf；(2)求證：beaf；(3)在直線bc上是否存在點m，使二面角e­md­a的大小為？若存在，求出cm的長；若不存在，請說明理由思維點撥(1)作fgea，agef，連接eg交af于h，證明bhce.(2)證明af面bge.(3)利用向量法求解解(1)證明：如圖，作fgea，agef，連接eg交af于h，連接bh，bg，efcd且efag，agcd，即點g在平面abcd內(nèi)由ae平面abcd知aeag，又agef，aefg，四邊形aefg為正方形，四邊形cdag為平行四邊形，h為eg的中點，b為cg的中點，bhce，ce平面abf.(2)證明：在平行四

16、邊形cdag中，adc90°，bgag.又由ae平面abcd知aebg，bg平面aefg，bgaf.又afeg，af平面bge，afbe.(3)如圖，以a為原點，ag為x軸，ad為y軸，ae為z軸建立空間直角坐標(biāo)系a­xyz.則a(0,0,0)，g(1,0,0)，e(0,0,1)，d(0,2,0)，設(shè)m(1，y0,0)(0,2，1)，(1，y02,0)，設(shè)平面emd的法向量為n(x，y，z)則令y1，得z2，x2y0，n(2y0,1,2)又ae平面amd，(0,0,1)為平面amd的一個法向量，|cosn，|cos ，解得y02±，故在bc上存在點m，且cm.方法

17、點評立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證(2)假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在跟蹤練習(xí)(2016·福州調(diào)研)如圖，在長方體abcd ­a1b1c1d1中，aa1ad1，e為cd的中點(1)求證：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一點p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的長；若不存在，說明理由解：(1)證明：以a為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)aba，則a(0,0,0)，d(0,1,0)，d

18、1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)故·×01×1(1)×10，b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點p(0,0，z0)使得dp平面b1ae，此時(0，1，z0)又設(shè)平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一個法向量n要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在點p，滿足dp平面b1ae，此時ap.a組考點能力演練1.如圖，幾何體ef­abcd中，cdef為邊長為2的正方形，abcd為直角梯形，abcd，addc，ad2，ab4，adf90°.(1

19、)求證：acfb；(2)求二面角efbc的大小解：(1)證明：由題意得，addc，addf，且dcdfd，ad平面cdef，adfc，四邊形cdef為正方形，dcfc.dcadd，fc平面abcd，fcac.又四邊形abcd為直角梯形，abcd，addc，ad2，ab4，ac2，bc2，則有ac2bc2ab2，acbc，又bcfcc，ac平面fcb，acfb.(2)由(1)知ad，dc，de所在直線相互垂直，故以d為原點，da，dc，de所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得d(0,0,0)，f(0,2,2)，b(2,4,0)，e(0,0,2)，c(0，2,0)，a(2,

20、0,0)，(0,2,0)，(2,2，2)，設(shè)平面efb的法向量為n(x，y，z)，則有令z1，則n(1,0,1)，由(1)知平面fcb的一個法向量為(2,2,0)，設(shè)二面角efbc的大小為，由圖知，cos |cosn，|，.2.(2016·蘭州診斷)如圖，在四棱柱abcd­a1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，abcd，ab2，bccd1，頂點d1在底面abcd內(nèi)的射影恰為點c.(1)求證：ad1bc；(2)若直線dd1與直線ab所成的角為，求平面abc1d1與平面abcd所成角(銳角)的余弦值解：(1)證明：連接d1c，則d1c平面abcd，d1cbc.在等腰梯形a

21、bcd中，連接ac，ab2，bccd1，abcd，bcac，bc平面ad1c，ad1bc.(2)法一：abcd，d1dc，cd1，d1c.在底面abcd中作cmab，連接d1m，則d1mab，d1mc為平面abc1d1與平面abcd所成角的一個平面角在rtd1cm中，cm，d1c，d1m，cosd1mc，即平面abc1d1與平面abcd所成角(銳角)的余弦值為.法二：由(1)知ac、bc、d1c兩兩垂直，abcd，d1dc，cd1，d1c.在等腰梯形abcd中，ab2，bccd1，abcd，ac，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則c(0,0,0)，a(，0,0)，b(0,1,0)，d1(0,0，

22、)，設(shè)平面abc1d1的法向量為n(x，y，z)，由得可得平面abc1d1的一個法向量為n(1，1)又(0,0，)為平面abcd的一個法向量因此cos，n，平面abc1d1與平面abcd所成角(銳角)的余弦值為.3(2016·貴陽模擬)如圖，正方形aa1d1d與矩形abcd所在平面互相垂直，ab2ad2.(1)若點e為ab的中點，求證：bd1平面a1de；(2)在線段ab上是否存在點e，使二面角d1­ec­d的大小為？若存在，求出ae的長；若不存在，請說明理由解：(1)證明：四邊形add1a1為正方形，連接ad1，a1dad1f，則f是ad1的中點，又因為點e為a

23、b的中點，連接ef，則ef為abd1的中位線，所以efbd1.又因為bd1平面a1de，ef平面a1de，所以bd1平面a1de.(2)根據(jù)題意得dd1da，dd1dc，addc，以d為坐標(biāo)原點，da，dc，dd1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系d­xyz，則d(0,0,0)，d1(0,0,1)，c(0，2,0)設(shè)滿足條件的點e存在，令e(1，y0,0)(0y02)，(1,2y0,0)，(0,2，1)，設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面d1ec的法向量，則得令y11，則平面d1ec的法向量為n1(2y0,1,2)，由題知平面dec的一個法向量n2(0,0,1)由二面角d1&

24、#173;ec­d的大小為得cos ，解得y020,2，所以當(dāng)ae2時，二面角d1­ec­d的大小為.b組高考題型專練1(2015·高考全國卷)如圖，四邊形abcd為菱形，abc120°，e，f是平面abcd同一側(cè)的兩點，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.(1)證明：平面aec平面afc；(2)求直線ae與直線cf所成角的余弦值解：(1)證明：連接bd，設(shè)bdacg，連接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨設(shè)gb1.由abc120°，可得aggc.由be平面abcd，abbc，可知aeec.又aeec，所以

25、eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef.從而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，可得eg平面afc.因為eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)如圖，以g為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x軸，y軸正方向，|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系g­xyz.由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f，c(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線ae與直線cf所成角的余弦值為.2(2015·高考天津卷)如圖，在四棱柱abcd­a1b1c1d1中，側(cè)棱a1a底面abcd，abac，ab1，acaa12，adcd，且點m和n分別為b1c和d1d的中點(1)求證：mn平面abcd；(2)求二面角d1­ac­b1的正弦值；(3)設(shè)e為棱a1b1上的點，若直線ne和平面abcd所成角的正弦值為，求線段a1e的長解：如圖，以a為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(2,0,0)，d(1，2，0)，a1(0,0,2)，b1(0,1,2)，c1(2,0,2)，d1(1，2,2)又因為m，n分別為b1c和d1d的中點，得m，n(1，2,1)(