2009年全國高考天津卷理數試題答案

1、高考數學 2009 年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數學（理工農醫(yī)類） 參考公式：。假如大事 a，b 相互排斥，那么 p（aub）=p（a）+p(b)。棱柱的體積公式 v=sh。其中 s 表示棱柱的底面積，h 表示棱柱的高一、 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1） i 是虛數單位，=（a）1+2i（b）-1-2i（c）1-2i（d）-1+2i（2） 設變量 x，y 滿足約束條件：.則目標函數 z=2x+3y 的最小值為（a）6（b）7（c）8（d）23（3） 命題“存在r，0”的否定是（a）不存在r,>0（b）存在r,0（c）對任意的r,0（d）對任

2、意的r,>0（4） 設函數則a 在區(qū)間內均有零點。b 在區(qū)間內均無零點。c 在區(qū)間內有零點，在區(qū)間內無零點。d 在區(qū)間內無零點，在區(qū)間內有零點。（5） 閱讀右圖的程序框圖，則輸出的 s=a26b 35c 40d 57(6）設若的最小值為a8b4c 1d（7） 已知函數的最小正周期為，為了得到函數的圖象，只要將的圖象a 向左平移個單位長度b 向右平移個單位長度c 向左平移個單位長度d 向右平移個單位長度（8） 已知函數若則實數的取值范圍是ab c d（9）設拋物線=2x 的焦點為 f，過點 m（，0）的直線與拋物線相交于 a，b 兩點，與拋物線的準線相交于 c，=2，則bcf 與acf 的

3、成面積之比=（a）（b）（c）（d）（10）.0b1+a,若關于 x 的不等式的解集中的整數恰有 3 個，則（a）-1a0（b）0a1（c）1a3（d）3a6 二填空題：（6 小題，每題 4 分，共 24 分）（11）某學院的 a，b，c 三個專業(yè)共有 1200 名同學，為了調查這些同學勤工儉學的狀況，擬接受分層抽樣的方法抽取一個容量為 120 的樣本。已知該學院的 a 專業(yè)有 380 名同學， b 專業(yè)有 420 名同學，則在該學院的 c 專業(yè)應抽取名同學。（12）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a= (13) 設直線的參數方程為（t 為參數），直線的方程為 y=3x+4 則與的距

4、離為 (14) 若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則 a= (15) 在四邊形 abcd 中，=（1，1），則四邊形 abcd 的面積是（16）用數字 0，1，2，3，4，5，6 組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有個（用數字作答）三、解答題：本大題共 6 小題，共 76 分，解同意寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分 12 分） 在abc 中，bc=，ac=3，sinc=2sina(i) 求 ab 的值：(ii) 求 sin的值（18）（本小題滿分 12 分）在 10 件產品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。從這

5、 10 件產品中任取 3 件，求：（i） 取出的 3 件產品中一等品件數 x 的分布列和數學期望；（ii） 取出的 3 件產品中一等品件數多于二等品件數的概率。（19）（本小題滿分 12 分）如圖，在五面體 abcdef 中，fa 平面 abcd, ad/bc/fe，abad，m 為 ec 的中點，af=ab=bc=fe=ad(i) 求異面直線 bf 與 de 所成的角的大??；(ii) 證明平面 amd 平面 cde；（iii） 求二面角 a-cd-e 的余弦值。（20）（本小題滿分 12 分） 已知函數其中（1） 當時，求曲線處的切線的斜率；（2） 當時，求函數的單調區(qū)間與極值。（21）（本

6、小題滿分 14 分） 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。（1） 求橢圓的離心率；（2） 求直線 ab 的斜率；（3） 設點 c 與點 a 關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值（22）（本小題滿分 14 分） 已知等差數列的公差為 d（d 0），等比數列的公比為 q（q>1）。設=+.+,=-+.+(-1,n(i) 若= 1，d=2，q=3，求的值；(ii) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；()若正數 n 滿足 2n q，設的兩個不同的排列， 證明。2009 年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數學（理工類）參考解答一 選擇題：本題考查

7、基本學問和基本運算。每小題 5 分，滿分 50 分。（1）d（2）b（3）d（4）d（5） c（6）b（7）a（8）c（9）a（10）c二填空題：本題考查基本學問和基本運算。每小題 4 分，滿分 24 分。（11） 40（12）（13）（14） 1（15）（16）324 三解答題（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎學問，考查基本運算力量。滿分 12 分。（）解：在abc 中，依據正弦定理，于是 ab=（）解：在abc 中，依據余弦定理，得 cosa=于是sina=從而 sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-

8、sin2a=所以sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=(18) 本小題主要考查古典概型及計算公式、離散型隨機變量的分布列和數學期望、互斥大事等基礎學問，考查運用概率學問解決實際問題的力量。滿分 12 分。（）解：由于從 10 件產品中任取 3 件的結果為，從 10 件產品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的結果數為，那么從 10 件產品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率為 p(x=k)=,k=0,1,2,3.所以隨機變量 x 的分布列是x0px 的數學期望 ex=123（）解：設“取出的 3 件產品中一等品件數多于二等品件數”為大事 a， “恰好取出 1 件一等品

9、和 2 件三等品”為大事 a1“恰好取出 2 件一等品“為大事a2，”恰好取出 3 件一等品”為大事 a3 由于大事 a1，a2，a3 彼此互斥，且a=a1a2a3 而p(a2)=p(x=2)=,p(a3)=p(x=3)=,所以取出的 3 件產品中一等品件數多于二等品件數的概率為p(a)=p(a1)+p(a2)+p(a3)=+=(19) 本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像力量、運算力量和推理論證力量。滿分 12 分.方法一：（）解：由題設知，bf/ce，所以ced（或其補角）為異面直線 bf 與de 所成的角。設

10、p 為 ad 的中點，連結 ep，pc。由于 feap，所以 fa ep，同理 abpc。又 fa平面 abcd，所以 ep平面 abcd。而 pc，ad 都在平面 abcd 內,故eppc，epad。由 abad，可得 pcad 設 fa=a，則 ep=pc=pd=a,cd=de=ec=，故ced=60°。所以異面直線 bf 與 de 所成的角的大小為 60°（）證明：由于（）由（）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系， 點為坐標原點。設依題意得（）所以異面直線與所成的角的大小為.（）證明：，（）又由題設，平面的一個法向量為（20） 本小題主要考查導數的幾何意義、導

11、數的運算、利用導數爭辯函數的單調性與極值等基礎學問，考查運算力量及分類爭辯的思想方法。滿分 12 分。（）解：（）以下分兩種狀況爭辯。（1），則.當變化時，的變化狀況如下表：+（2）0極大值0+微小值，則，當變化時，的變化狀況如下表：+0極大值0+微小值（21） 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、圓的方程等基礎學問，考查用代數方法爭辯圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查運算力量和推理力量，滿分 14 分（i） 解：由/ 且，得，從而整理，得，故離心率（ii） 解：由（i）得，所以橢圓的方程可寫為設直線 ab 的方程為，即.由已知設，則它們的坐標滿足方程組消去 y 整理，得.依題意，而由題設知，點 b 為線段 ae 的中點，所以聯立解得，將代入中，解得.(iii) 解法一：由（ii）可知當時，得，由已知得.線段的垂直平分線 l 的方程為直線 l 與 x 軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點 h（m，n）的坐標滿足方程組， 由解得故當時，同理可得.解法二：由（ii）可知當時，得,由已知得由橢圓的對稱性可知 b，c 三點共線，由于點 h（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形.由直線的方程為,知點 h 的坐標為.由于，所以，解得 m=c（舍），或.則，所以.當時同理可得（22） 本小題主要考查等差數列的通項公式、等