專題07 三角函數(shù) 7.2三角恒等變換 題型歸納講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

1、專題七 三角函數(shù)講義7.2 三角恒等變換知識(shí)梳理.三角恒等變換1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式c()：cos()coscossinsinc()：cos()coscossin_sins()：sin()sincoscos_sins()：sin()sincoscossint()：tan().t()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式s2：sin 22sincosc2：cos 2cos2sin22cos2112sin2t2：tan 2.3輔助角公式asinwx+bcoswx=a2+b2sin(wx+)其中tan=ba, (0,2)題型一. 兩角和與差公式1已知sin（+6）=13，（3，56

2、），則cos（+3）2616【解答】解：（3，56），+6（2，），由sin（+6）=13，得cos（+6）=223，cos（+3）cos（+6）+6cos（+6）cos6sin（+6）sin6=223×3213×12=2616故答案為：26162已知234，若cos（）=1213，sin（+）=35，則sin2（）a13b13c5665d1665【解答】解：已知234，（0，4），+（，32），若cos（）=1213，sin（+）=35，sin（）=1cos2()=513，cos（+）=1sin2(+)=45，則sin2sin（+）（）sin（+）cos（）cos（+）s

3、in（）=351213（45）513=1665，故選：d3（1）設(shè)，為銳角，且sin=55，cos=31010，求+的值； （2）化簡(jiǎn)求值：sin50°(1+3tan10°)【解答】解：（1）為銳角，sin=55，cos=255；為銳角，cos=31010，sin=1010，cos（+）coscossinsin=255×3101055×1010=22，+（0，），+=4（2）sin50°(1+3tan10°)=sin50°(cos10°+3sin10°)cos10°=sin50°2co

4、s(60°10°)cos10°=sin100°cos10°=14（2020新課標(biāo)）已知2tantan（+4）7，則tan（）a2b1c1d2【解答】解：由2tantan（+4）7，得2tantan+11tan=7，即2tan2tan2tan177tan，得2tan28tan+80，即tan24tan+40，即（tan2）20，則tan2，故選：d5（2015重慶）若tan2tan5，則cos(310)sin(5)=（）a1b2c3d4【解答】解：tan2tan5，則cos(310)sin(5)=coscos310+sinsin310sincos

5、5cossin5=cos310+tansin310tancos5sin5=cos310+2tan5sin3102tan5cos5sin5=cos310+2sin5cos5sin3102sin5cos5cos5sin5=cos5cos310+2sin5sin3102sin5cos5cos5sin5=cos(5310)+sin5sin310sin5cos5+sin(55)=cos10+sin5sin310sin5cos5=cos1012cos(5+310)cos(5310)12sin25=cos10+12cos1012sin25=3cos10sin25=3cos10sin(210)=3cos10c

6、os10=3故選：c6（2014新課標(biāo)）設(shè)（0，2），（0，2），且tan=1+sincos，則（）a3=2b3+=2c2=2d2+=2【解答】解：由tan=1+sincos，得：sincos=1+sincos，即sincoscossin+cos，sin（）cossin（2），（0，2），（0，2），當(dāng)2=2時(shí)，sin（）sin（2）cos成立故選：c題型二. 二倍角和半角公式1（2017·全國(guó)3）已知sincos=43，則sin2（）a79b29c29d79【解答】解：sincos=43，（sincos）212sincos1sin2=169，sin2=79，故選：a2若sin(6)

7、=13，則cos(23+2)的值（）a79b79c429d429【解答】解：sin(6)=13，cos（+3）sin2（+3）=sin(6)=13cos(23+2)=cos2（+3）2cos2(+3)1=79，故選：a3設(shè)為銳角，若cos（+6）=45，則sin（2+12）的值為（）a17250b17225c31251d19250【解答】解：為銳角，cos（+6）=45，sin（+6）=35，sin（2+3）2sin（+6）cos（+6）=2425，cos（2+3）2cos2(+6)1=725故sin（2+12）sin（2+3）4sin（2+3）cos4cos（2+3）sin4=2425227

8、2522=17250，故選：a4已知tan（）=12，tan=17，且，（0，），則2（）a4b4，54c34d4，54，34【解答】tan（）=tantan1+tantan=12 且tan=17即tan=13，（0，）且tan4=1，tan34=1（0，4），（34，）即2（，4）tan（2）=tan+tan()1tantan()=1即2=34故選：c5已知tantan(+4)=23，則sin（2+4）的值是210【解答】解：已知tantan(+4)=23，整理得3tan25tan20，解得tan=2或13，（1）當(dāng)tan2時(shí)，則sin2=2tan1+tan2=45，cos2=1tan21+

9、tan2=35，故sin(2+4)=22sin2+22cos2=45×2235×22=210（2）當(dāng)tan=13時(shí)，則sin2=2tan1+tan2=35，cos2=1tan21+tan2=45，sin(2+4)=22sin2+22cos2=35×22+45×22=210故答案為：2106已知（2，0），2sin2+1cos2，則1tan21+tan2=（）a2±5b3+5c2+5d2+6【解答】解：因?yàn)椋?，0），2（4，0），所以tan20，sin0，因?yàn)?sin2+1cos2，所以4sincos+112sin2，即tan2，又tan=2t

10、an21tan22=2，解得tan2=152，tan2=1+52（舍），則1tan21+tan2=11521+152=1+535=2+5故選：c題型三. 輔助角公式1設(shè)是第一象限角，滿足sin（4）cos（+4）=622，則tan（）a1b2c3d33【解答】解：sin(4)cos(+4)=22sin22cos22cos+22sin，=2(sincos)=622，sincos=312，聯(lián)立sincos=312sin2+cos2=1，設(shè)是第一象限角，sin0，cos0，即sin=32，cos=12，tan=sincos=3212=3故選：c2若3sin（x+12）+cos（x+12）=23，且2

11、x0，求sinxcosx【解答】解：3sin（x+12）+cos（x+12）=23，32sin（x+12）+12cos（x+12）=13，sin（x+12+6）=13，即sin（x+4）=13，2x0，4x+44，cos（x+4）=1(13)2=223，sinxcosx=2（22cosx22sinx）=2cos（x+4）=2×223=433已知f（x）sin2x+sinxcosx，x0，2（1）求f（x）的值域；（2）若f（）=56，求sin2的值【解答】解：（1）f（x）sin2x+sinxcosx=1cos2x2+sin2x2 =22sin（2x4）+12f（x）=22sin（2

12、x4）+12x0，2，2x44，34，當(dāng)2x4=4，即x0時(shí)，f（x）有最小值0當(dāng)2x4=2時(shí)，f（x）有最大值2+12f（x）值域：0，2+12（2）f（）=22sin（24）+12=56，得sin（24）=23，0，2，244，34，又0sin（24）=2322，24（0，4），得cos（24）=1(23)2=73，sin2sin（24+4）=22sin（24）+cos（24）=2+146sin2的值2+146題型四. 三角恒等變換綜合1已知向量a=（1，sin），b=（2，cos），且ab，計(jì)算：sin+2coscos3sin【解答】解：ab，2sincos0，即cos2sin，則sin

13、+2coscos3sin=sin+4sin2sin3sin=5sinsin=52若cos（4）=35，則sin2（）a725b15c15d725【解答】解：法1°：cos（4）=35，sin2cos（22）cos2（4）2cos2（4）12×9251=725，法2°：cos（4）=22（sin+cos）=35，12（1+sin2）=925，sin22×9251=725，故選：d3已知角（0，4），（2，），若sin（3）=35，cos（3）=12，則cos（）4+3310【解答】解：（0，4），3（3，12），sin（3）=35，cos（3）=45，（2

14、，），3（23，6），cos（3）=12，sin（3）=32，cos（）cos（3）+（3）cos（3）cos（3）sin（3）sin（3）=45×（12）（35）×（32）=4+3310故答案為：4+33104已知tan（）=25，tan（+4）=14，則tan（+4）322【解答】解：因?yàn)閠an（）=25，所以tan（）=25，又tan（+4）=14，則tan（+4）tan（）+（+4）=25+141(25)×14=322故答案為：3225. 已知，化簡(jiǎn)： 【解答】解：，故答案為：6已知函數(shù)f(x)=sin(2x3)+cos(2x6)+2cos2x1（1）求函

15、數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若4，2，且f()=325，求cos2【解答】解：（1）函數(shù)f(x)=sin(2x3)+cos(2x6)+2cos2x1=sin2xcos3cos2xsin3+cos2xcos6+sin2xsin6+cos2x sin2x+cos2x=2sin(2x+4)；所以函數(shù)f（x）的最小正周期t=22=；（2）f()=325，即2sin(2+4)=325，sin(2+4)=354，2，342+454，cos(2+4)=45；cos2=cos(2+4)4=cos(2+4)cos4+sin(2+4)sin4=210；故cos2=210課后作業(yè). 三角恒等變換1已知cosa+s

16、ina=713，a為第二象限角，則tana（）a125b512c125d512【解答】解：cosa+sina=713，1+2cosasina=49169，2cosasina=120169（cosasina）2=289169a為第二象限角，cosasina=1713cosa=1213，sina=513tana=sinacosa=512故選：d2若，(0，2)，cos(a2)=32，sin(a2)=12，求+的值【解答】解：，(0，2)，2(0，4)，2(0，4)，a2(4，2)a2(2，4)，cos(a2)=32，sin(a2)=12sin（a2）=12或sin（a2）=12，cos（2）=32

17、，當(dāng)cos(a2)=32，sin(a2)=12sin（a2）=12，cos（2）=32，時(shí)cos12（+）=32×3212×12=12，12（+）=3當(dāng)cos(a2)=32，sin(a2)=12sin（a2）=12，cos（2）=32時(shí)，cos12（+）=32×3212×（12）1，12（+）0，不符合題意，故舍去+=23即兩個(gè)角的和是233已知sin（a3）=13，則cos（3+2a）的值等于（）a429b429c79d79【解答】解：因?yàn)閏os（3+2a）cos (3+2a)cos(232a)cos(2a23)2sin2(a3)12×(13

18、)21=79故選：c4已知tan+1tan=52，（4，2），則sin（24）的值為（）a7210b210c210d7210【解答】解：tan+1tan=52，sincos+cossin=52，1sin2=54，sin2=45，（4，2），2（2，）cos2=35，sin（24）sin2cos4cos2sin4=45×22+35×22=7210故選：d5已知sin=12+cos，且（0，2），則cos(2)sin(4)的值為142【解答】解：sin=12+cos，即sincos=12，（sincos）212sincos=14，即2sincos=340，（0，2），sin0，cos0，（sin+cos）21+2sincos=74，即sin+cos=72，原式=cos222(sinco