考點36 橢圓-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（文）考點一遍過_20210103224740

1、考點36 橢 圓（1）了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.（2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質. （3）理解數(shù)形結合的思想.（4）了解橢圓的簡單應用.一、橢圓的定義平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓. 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.定義式：.要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構成橢圓.二、橢圓的標準方程焦點在軸上，；焦點在軸上，.說明：要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓方程的標準形式，知道之間的大小關系和等量關系：.三、橢圓的圖形及其簡單幾何性質i)圖形焦點在軸上 焦點在軸上

2、 ii)標準方程幾何性質范圍頂點焦點對稱性離心率橢圓，對稱軸：軸，軸，對稱中心：原點，注意：求橢圓的標準方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓的標準方程；也可以利用橢圓的定義及焦點位置或點的坐標確定橢圓的標準方程.求橢圓的離心率主要的方法有：根據(jù)條件分別求出與，然后利用計算求得離心率；或者根據(jù)已知條件建立關于的等量關系式或不等關系式，由此得到方程或不等式，通過解方程或不等式求解離心率的值或取值范圍.四、必記結論1設橢圓上任意一點，則當時，有最小值b，p點在短軸端點處；當時，有最大值a，p點在長軸端點處2已知過焦點f1的弦ab，則的周長為4a考向一 橢圓定義的應用1橢圓定

3、義的集合語言:往往是解決計算問題的關鍵，橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理. 以橢圓 上一點和焦點f1 (c，0)，f2 (c，0)為頂點的中，若，注意以下公式的靈活運用： （1）；（2）；（3）. 2解決已知橢圓的焦點位置求方程中的參數(shù)問題，應注意結合焦點位置與橢圓方程形式的對應關系求解.典例1 已知f1，f2是橢圓的兩個焦點，點p在橢圓上（1）若點p到焦點f1的距離等于1，則點p到焦點f2的距離為_；（2）過f1作直線與橢圓交于a，b兩點，則的周長為_；（3）若，則點p到焦點f1的距離為_【答案】（1）3；（2）8；（3

4、）【解析】由橢圓的標準方程可知：，故，（1）由橢圓的定義可得|pf1|pf2|2a，又|pf1|1，所以|pf2|413（2）的周長（3）在中，由余弦定理可得，即，由橢圓的定義可得，兩式聯(lián)立解得 1已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且的周長為，則的值是abcd考向二 求橢圓的標準方程求橢圓的方程有兩種方法: （1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程. （2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是： 第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能（這時需要分類討論）. 第二步，設方程.根據(jù)上述判斷設方

5、程為或.第三步，找關系.根據(jù)已知條件，建立關于的方程組（注意橢圓中固有的等式關系）.第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設方程，即為所求.【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類討論或把橢圓的方程設為.典例2 橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(2，0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的方程為a bc或 d或【答案】c【解析】由于橢圓長軸長是短軸長的2倍，即有a=2b，又橢圓經(jīng)過點(2，0)，則若焦點在x軸上，則a =2，b=1，橢圓方程為;若焦點在y軸上，則a=4，b=2，橢圓方程為，故選c2已知是橢圓的兩個焦點，過且垂直于軸的直線交于兩點，

6、且，則的方程為abcd考向三 橢圓的幾何性質及應用1與幾何性質有關的問題要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形.理解頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量之間的關系，深挖出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了. 2橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法： （1）求出a，c，代入公式.（2）只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉化為關于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）. 典例3 已知橢圓的方程為2x23y2m，(m>0)，則此橢圓的離心率

7、為a bc d【答案】b【解析】由題意，得橢圓的標準方程為1，a2，b2，c2a2b2，e2，即e.故選b3已知橢圓(ab0)的兩焦點分別為f1，f2，若橢圓上存在點p，使得f1pf2120°，則橢圓的離心率的取值范圍是_1橢圓：的焦距為a b2c d12“”是“方程表示橢圓”的a充要條件b充分不必要條件c必要不充分條件d既不充分也不必要條件3已知橢圓上的一點p到左焦點f1的距離為6，點m是線段的中點，o為坐標原點，則|om|=a3 b4c7 d144已知橢圓的焦點分別為，點，在橢圓上，于，則橢圓方程為abcd5已知橢圓c的對稱軸與兩條坐標軸重合，且長軸長是短軸長的2倍，拋物線y2=

8、-8x的焦點與橢圓c的一個頂點重合，則橢圓c的標準方程為a bc或 d或6已知橢圓x2+my2=1的離心率e(，1)，則實數(shù)m的取值范圍是a(0，) b(，+)c(0，)(，+) d(，1)(1，)7已知點，.若橢圓上存在點，使得為等邊三角形，則橢圓的離心率是abcd8若橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，過右焦點作垂直于軸的直線交橢圓于點，則abcd9已知點m是橢圓上一點，f1，f2是橢圓的焦點，且滿足mf1·mf2=0，則的面積為a1 b3 c2 d410已知是橢圓：的左焦點，為上一點，則的最小值為a bc d11已知是橢圓的右焦點，是橢圓短軸的一個端點，若為過的

9、橢圓的弦的三等分點，則橢圓的離心率為abcd12已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為a bc d13已知、為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在四個不同點滿足的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍為abcd14若橢圓的一個焦點坐標為(0，2)，則實數(shù)=_15已知橢圓的左、右焦點分別為，若以為直徑的圓與橢圓相切，則橢圓的長軸長是_16已知f1，f2為橢圓的兩個焦點，過f1且與橢圓的長軸垂直的直線交橢圓于a，b兩點，若為正三角形，則橢圓的離心率為. 17如圖，a，b分別為橢圓的左、右頂點，點p在橢圓上， 是面積為4的等腰

10、直角三角形，則b=. 18在橢圓上有兩個動點，為定點，則的最小值為_19阿基米德(公元前287年公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓c的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓c的離心率為，面積為，則橢圓c的標準方程為_.20設分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當線段長最小時橢圓的離心率為_21求適合下列條件的橢圓的標準方程:（1）焦點分別為(0，-2)，(0，2)，經(jīng)過點(4，32);（2）對稱軸為坐標軸，經(jīng)過點p(-6，0)和q(0，8).22已知橢圓c的方程為.（1）求

11、k的取值范圍； （2）若橢圓c的離心率，求的值.23已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓長軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）為橢圓上一點，且，求的面積.24在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓c：（ab0）的焦距為2（1）若橢圓c經(jīng)過點（，1），求橢圓c的標準方程；（2）設a（2，0），f為橢圓c的左焦點，若橢圓c上存在點p，滿足，求橢圓c的離心率的取值范圍25如圖，過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，點和點分別為橢圓的右頂點和上頂點，（1）求橢圓的離心率；（2）過右焦點作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程1（2017浙江）橢圓的離心率是

12、abcd2（2018新課標全國文）已知橢圓：的一個焦點為，則的離心率為abcd3（2019年高考全國卷文數(shù)）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=a2b3c4d84（2019年高考全國卷文數(shù)）已知橢圓c的焦點為，過f2的直線與c交于a，b兩點若，則c的方程為abcd5（2017新課標全國文）已知橢圓c：的左、右頂點分別為a1，a2，且以線段a1a2為直徑的圓與直線相切，則c的離心率為abcd6（2017新課標全國文）設a，b是橢圓c：長軸的兩個端點，若c上存在點m滿足amb=120°，則m的取值范圍是abcd7（2018新課標全國文）已知，是橢圓的兩個焦點

13、，是上的一點，若，且，則的離心率為abc d8（2019年高考全國卷文數(shù)）設為橢圓c:的兩個焦點，m為c上一點且在第一象限若為等腰三角形，則m的坐標為_.9（2019年高考浙江卷）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_10（2018浙江）已知點p(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點a，b滿足=2，則當m=_時，點b橫坐標的絕對值最大11（2019年高考全國卷文數(shù)）已知是橢圓的兩個焦點，p為c上一點，o為坐標原點（1）若為等邊三角形，求c的離心率；（2）如果存在點p，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍12（2

14、019年高考天津卷文數(shù)）設橢圓的左焦點為f，左頂點為a，上頂點為b.已知（o為原點）.（1）求橢圓的離心率；（2）設經(jīng)過點f且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為p，圓c同時與x軸和直線l相切，圓心c在直線x=4上，且，求橢圓的方程.變式拓展1【答案】d【解析】設橢圓的長軸長為，焦距為，則，由橢圓定義可知，的周長為，解得，故選d.【名師點睛】本題考查橢圓的定義的應用，考查利用橢圓定義求橢圓的焦點三角形問題，在處理橢圓的焦點與橢圓上一點線段（焦半徑）問題，一般要充分利用橢圓定義來求解，屬于基礎題.解題時，由橢圓的定義知的周長為，可求出的值，再結合、的關系求出的值，即的值.2【答案】c【解析】因

15、為，所以，又，所以在直角三角形中，因為，所以，所以橢圓的方程為：.【名師點睛】本題考查焦半徑、橢圓的定義、橢圓的標準方程等知識，考查運算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由橢圓的定義求的值.3【答案】【解析】由題意可得，橢圓的上頂點和兩個焦點構成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，所以底角小于等于30°，即，故橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.【名師點睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，考查橢圓離心率的取值范圍的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.求解時，由題意可得，橢圓的上頂點和兩個焦點構成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，

16、即得橢圓的離心率的取值范圍.考點沖關1【答案】b【解析】由題意得，橢圓的焦點在y軸上，且，所以，因此，故.所以焦距為2.故選b.2【答案】c【解析】方程表示橢圓，即且，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選c.【名師點睛】本題考查了橢圓的概念與充要條件的判斷，易錯點為橢圓中，屬于較為基礎題.先求得方程表示橢圓的m的取值范圍，再利用充分必要條件去判斷可得答案.3【答案】c【解析】由橢圓的定義得pf1+pf2=2a=20，|pf1|=6，|pf2|=14，又|of1|=|of2|，|mf1|=|pm|，.故選c.4【答案】c【解析】橢圓的焦點分別為，點a，b在橢圓上，于，可得，結合，解得

17、，所以所求橢圓方程為：，故選c【名師點睛】本題主要考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓方程的求法，是基本知識的考查求解時，利用橢圓的性質，根據(jù)，可得，求解，然后寫出橢圓方程5【答案】d【解析】由于橢圓的長軸長是短軸長的倍，即有，又拋物線的焦點與橢圓的一個頂點重合，得橢圓經(jīng)過點，若焦點在軸上，則，橢圓方程為；若焦點在軸上，則，橢圓方程為.橢圓的標準方程為或故選d6【答案】c【解析】橢圓x2+my2=1的標準方程為.又<e<1，所以0<.當橢圓的焦點在x軸上時，a2=1，b2=，則m>當橢圓的焦點在y軸上時，a2=，b2=1，則0<m<.所以實數(shù)m的取值范圍是0<

18、;m<或m>.【名師點睛】橢圓的性質分兩類:(1)與坐標系無關的，如軸長、焦距、離心率;(2)與坐標系有關的，如頂點坐標、焦點坐標.7【答案】c【解析】過點c作x軸垂線，垂足為d，根據(jù)正三角形性質可知d為a，b的中點，則c點坐標為（1，），將c點的坐標代入橢圓方程得，解得m6，所以橢圓的離心率為：故選c【名師點睛】本題主要考查了橢圓方程和離心率的求解，解題的關鍵是充分利用正三角形的性質，求出c點的坐標8【答案】d【解析】因為離心率為，所以，因為過右焦點作垂直于軸的直線交橢圓于點，所以得點，即，從而所以，故選d.【名師點睛】本題考查橢圓離心率以及通經(jīng)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

19、根據(jù)離心率得關系，再求點坐標，最后根據(jù)余弦定理求結果.9【答案】a【解析】因為mf1·mf2=0，所以mf1mf2，所以.由題意得，即，即，解得.所以的面積.選a10【答案】d【解析】設橢圓的右焦點為，易知，由，得，根據(jù)橢圓的定義可得，所以.11【答案】b【解析】如圖，延長交橢圓于點，設橢圓右焦點為，連接.根據(jù)題意，所以，根據(jù)橢圓定義，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以橢圓離心率為，故選b.【名師點睛】本題考查橢圓的定義，幾何性質，余弦定理等，屬于中檔題.根據(jù)橢圓幾何性質可把橢圓內(nèi)每條線段的長度用表示，然后利用余弦定理，在兩個三角形里分別表示同一角的余弦，

20、得到關系，求出離心率.12【答案】d【解析】由題意得橢圓的短軸長為，解得，則，設，則，即， ，故選d13【答案】d【解析】設，則，若存在四個不同點滿足，則，即，解得，故選d.【名師點睛】圓錐曲線中的離心率的計算，關鍵是利用題設條件構建關于的一個等式關系而離心率的取值范圍，則需要利用坐標的范圍、幾何量的范圍或點的位置關系構建關于的不等式或不等式組14【答案】9【解析】由題意可得m5，則橢圓1中的a，b，所以c，即有2，解得m9故答案為：9【名師點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查焦點坐標的運用，以及運算能力，屬于基礎題由題意可得橢圓焦點在y軸上，從而可得2，解方程可得m15【答案】4【解析】設橢

21、圓的短半軸長為，半焦距為.由以為直徑的圓與橢圓相切，可得，又由，所以，即橢圓的長軸長為，故選b【名師點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中根據(jù)以為直徑的圓與橢圓相切，得到是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16【答案】【解析】方法一：e=.因為為等邊三角形，所以|af1|f1f2|f2a|=12，所以e=.方法二：不妨設橢圓方程為+=1(a>b>0)，f1(c，0)，f2(-c，0)，由得|y|=，即|af1|=|bf1|=，|ab|=.因為為正三角形，所以·=2c，得(a2-c2)=2ac，即e2+2e-=0.又0<

22、e<1，解得e=.17【答案】【解析】已知是等腰直角三角形，而|ob|=a，過點p作phob于點h，則ph=oh=ob=a，所以其面積s=|ob|×|ph|=×a×a=a2.故由題意可得a2=4，解得a=4，故p(2，2).由點p在橢圓上可得，+=1，解得b2=，所以b=.18【答案】【解析】由題意得設橢圓上一點，則，又，當時，取得最小值【名師點睛】解答圓錐曲線中的最值問題時，可將所求的最值表示成某一參數(shù)的表達式，然后再根據(jù)不等式或函數(shù)的知識求解，由于解題中要涉及復雜的計算，所以在解題時要注意計算的合理性，適當運用換元等方法進行求解19【答案】【解析】依題意

23、設橢圓c的方程為，則橢圓c的面積為，又，解得，.則橢圓c的標準方程為，故答案為：.【名師點睛】本題考查橢圓標準方程的求解，一般要結合已知條件求出、的值，再利用橢圓焦點位置得出橢圓的標準方程，考查運算求解能力，屬于中等題.20【答案】【解析】由橢圓過得：，由橢圓方程可知：，又（當且僅當，即時取等號），當時，線段長最小，.本題正確結果為.【名師點睛】本題考查橢圓離心率的求解問題，關鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據(jù)等號成立條件可得到橢圓之間的關系，從而使問題得以求解.21【答案】（1）y236+x232=1；（2）y264+x236=1.【解析】（1）因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標

24、準方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0).方法一:由橢圓的定義知，所以a=6.又c=2，所以b=a2-c2=42，所以橢圓的標準方程為y236+x232=1.方法二:因為所求橢圓過點(4，32)，所以18a2+16b2=1.又a2-b2=c2=4，所以a2=36，b2=32，所以橢圓的標準方程為y236+x232=1.（2）由橢圓的幾何性質可知，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，所以點p，q分別是橢圓的短軸和長軸的一個端點，則短半軸長b=6，長半軸長a=8，且短軸、長軸分別在x軸和y軸上，所以橢圓的標準方程為y264+x236=1.22【答案】（1）；（2）2

25、或8【解析】（1）方程表示橢圓，.（2）當9kk1時，依題意可知a=，b=，c=，又，當9kk1時，依題意可知b=，a=，c=，又，綜上，k的值為2或8 23【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意設橢圓的標準方程為，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓長軸長為，解得，橢圓的標準方程為（2）在中，由余弦定理得，又由橢圓的定義得，【名師點睛】利用橢圓的定義解決與焦點三角形相關的周長、面積及最值時，可利用定義和余弦定理可求得，再結合進行轉化，進而求得焦點三角形的周長和面積24【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設，橢圓的焦距，即，所以，因為橢圓經(jīng)過點，所以，即，化簡、整理得

26、，解得（負值已舍去）.故求橢圓的標準方程為.（2）易知，設，于是.因為，即， 所以，即.聯(lián)立，并注意到，解得.因為，所以.于是，即，亦即.所以，即.故橢圓的離心率的取值范圍是.【思路點撥】（1）由題意得，代入已知點，可得，的方程，解方程即可得到所求的橢圓方程；（2）設，運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到點的軌跡方程，由題意和圓相交的條件，結合離心率公式，即可得到所求范圍.25【答案】（1）；（2）【解析】（1），解得，故（2）設，由（1）知橢圓方程可化簡為易求直線的斜率為，故可設直線的方程為：由消去得，于是的面積，因此橢圓的方程為，即.【名師點睛】本題考查橢圓的離心率以及通過弦長公式求橢圓

27、的相關量，屬于一般題.（1）由可得，計算進而得答案.（2）設直線的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，代入的面積公式計算整理即可.直通高考1【答案】b【解析】橢圓的離心率，故選b2【答案】c【解析】由題可得，因為，所以，即，所以橢圓的離心率，故選c【名師點睛】該題考查的是有關橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學會從題的條件中判斷與之相關的量，結合橢圓中a,b,c的關系求得結果.3【答案】d【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選d【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點

28、即可列出關于的方程，從而解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除a，同樣可排除b，c，從而得到選d4【答案】b【解析】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有在中，由余弦定理推論得在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選b法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有在和中，由余弦定理得，又互補，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，故選b【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)5【答案】a【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切

29、，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選a6【答案】a【解析】當時，焦點在軸上，要使c上存在點m滿足，則，即，得；當時，焦點在軸上，要使c上存在點m滿足，則，即，得，故的取值范圍為，故選a7【答案】d【解析】在中，設，則，又由橢圓定義可知，則，故選d【名師點睛】橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.8【答案】【解析】由已知可得，設點的坐標為，則，又，解得，解得（舍去），的坐標為【名師點睛】本題考