高三數(shù)學人教版A版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：2.9 函數(shù)的模型及其應用 Word版含答案_20210103224747

1、淘寶店鋪：漫兮教育第九節(jié)函數(shù)的模型及其應用1函數(shù)的實際應用了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2函數(shù)的綜合應用了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用知識點一幾種常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式正比例函數(shù)模型f(x)kx(k為常數(shù)，k0)一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)

2、blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0，1)“對號”函數(shù)模型yx(a>0)易誤提醒1易忽視實際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性自測練習1(2015·廣州模擬)在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()ay2x byx21cy2x2 dylog2x解析：根據(jù)x0.50，y0.99，代入計算，可以排除a；根據(jù)x2.01，

3、y0.98，代入計算，可以排除b、c；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意故選d.答案：d2生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為c(x)x22x20(萬元)一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為()a36萬件 b18萬件c22萬件 d9萬件解析：利潤l(x)20xc(x)(x18)2142，當x18時，l(x)有最大值答案：b知識點二三種增長函數(shù)的圖象與性質函數(shù)性質yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象

4、的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸接近平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸接近平行隨n值變化而不同必備方法三種模型的增長差異在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n>0)的增長速度，而ylogax(a>1)的增長速度則會越來越慢因此，總會存在一個x0，使得當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax.自測練習3下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()av·ex bv100

5、ln xcvx100 dv100×2x 解析：只有v·ex和v100×2x是指數(shù)函數(shù)，并且e>2，所以v·ex的增大速度最快，故選a.答案：a考點一一次、二次函數(shù)模型|1.某電信公司推出兩種手機收費方式：a種方式是月租20元，b種方式是月租0元一個月的本地網(wǎng)內通話時間t(分鐘)與電話費s(元)的函數(shù)關系如圖所示，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()a10元 b20元c30元 d.元解析：依題意可設sa(t)20kt，sb(t)mt，又sa(100)sb(100)，100k20100m，得km0.2，于是sa(150)sb(150)20150

6、k150m20150×(0.2)10，即兩種方式電話費相差10元，選a.答案：a2經(jīng)市場調查，某商品在過去100天內的銷售量和價格均為時間t(天)的函數(shù)，且日銷售量近似地滿足g(t) t(1t100，tn)前40天價格為f(t)t22(1t40，tn)，后60天價格為f(t)t52(41t100，tn)，試求該商品的日銷售額s(t)的最大值和最小值解：當1t40，tn時，s(t)g(t)f(t)t22t(t12)2，所以768s(40)s(t)s(12).當41t100，tn時，s(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，所以8s(100)s(t)s(41).所以，s(t)的最

7、大值為，最小值為8.一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題求解的三個關注點(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法(3)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題考點二分段函數(shù)模型|有一種新型的洗衣液，去污速度特別快已知每投放k(1k4，且kr)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關系式近似為yk·f(x)，其中f(x)若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和根據(jù)經(jīng)驗，當水中洗衣液

8、的濃度不低于4克/升時，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k個單位的洗衣液，當兩分鐘時水中洗衣液的濃度為3克/升，求k的值；(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？(3)若第一次投放2個單位的洗衣液，10分鐘后再投放1個單位的洗衣液，則在第12分鐘時洗衣液是否還能起到有效去污的作用？請說明理由解(1)由題意知k3，k1.(2)因為k4，所以y當0x4時，由44，解得4x<8，所以0x4.當4<x14時，由282x4，解得x12，所以4<x12.綜上可知，當y4時，0x12，所以只投放一次4個單位的洗衣液的有效去污時間可達12分鐘(3)在第12分鐘

9、時，水中洗衣液的濃度為2×1×5，又5>4，在第12分鐘還能起到有效去污的作用分段函數(shù)模型問題求解的三個關注點(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，應構建分段函數(shù)模型求解(2)構造分段函數(shù)時，做到分段合理、不重不漏(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者) 1已知a，b兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從a地到達b地，在b地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回a地，把汽車離開a地的距離x表示為時間t(小時)的函數(shù)表達式是()ax60tbx60t50tcxdx解析：當0t2.5時，x6

10、0t；當2.5<t3.5時，x150；當3.5<t6.5時，x15050(t3.5)答案：d考點三指數(shù)函數(shù)模型|已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是m·2t21t(t0，并且m>0)(1)如果m2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則2·2t21t2，當5時，2t，令2tx(x1)，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，即m·2t2恒成立，亦即m2恒

11、成立令y，則0<y1，m2(yy2)恒成立，由于yy2，m.因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.求解指數(shù)函數(shù)模型的三個注意點(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，主要有人口增長、銀行利率、細胞分裂等問題(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，注意先設定模型，再求有關數(shù)據(jù)(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解2(2015·江蘇連云港模擬)把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是1，空氣溫度是0，t分鐘后物體的溫度可由公式0(10)etln求得，現(xiàn)有60 的物體放在15 的空氣中冷卻，當物體溫度為35 時，冷卻時間t_分鐘解析：由已知條件可得3515

12、(6015)·etln，解得t2.答案：22.利用函數(shù)模型求解實際問題【典例】(12分)已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設該公司一年內共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為r(x)萬元，且r(x)(1)寫出年利潤w(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本)思路點撥(1)由r(x)中分段寫出w與x的解析式(2)分兩段求利潤的最大值，比較后得出結論規(guī)范解答(1)當0<x10時，wxr(x)(102.7x)8.1x1

13、0；(2分)當x>10時，wxr(x)(102.7x)982.7x.(4分)w(5分)(2)當0<x10時，令w8.10，得x9，可知當x(0,9)時，w>0，當x(9,10時，w<0，(6分)當x9時，w取極大值，即最大值，且wmax8.1×9×931038.6.(7分)當x>10時，w98982 38，(8分)當且僅當2.7x，即x時，w38，(9分)故當x時，w取最大值38(當1 000x取整數(shù)時，w一定小于38)(10分)綜合知，當x9時，w取最大值，故當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大(12分)模板形成a組

14、考點能力演練1設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()解析：注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為d.答案：d2已知某種動物的繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為yalog3(x1)，設這種動物第2年有100只，則到第8年它們將發(fā)展到()a200只 b300只c400只 d500只解析：由題意，繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為yalog3(x1)，這種動物第2年有100只，

15、100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當x8時，y100log3(81)100×2200.故選a.答案：a3.某工廠的大門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，兩側距離地面3 m高處各有一個壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6 m，如圖所示則廠門的高約為(水泥建筑物厚度忽略不計，精確到0.1 m)()a6.9 m b7.0 mc7.1 m d6.8 m解析：建立如圖所示的坐標系，于是由題設條件知拋物線的方程為yax2(a<0)，設點a的坐標為(4，h)，則c(3,3h)，將這兩點的坐標代入yax2，可得解得所以廠門的高約為6.9 m.答案：a4(20

16、15·青島模擬)某校為了規(guī)范教職工績效考核制度，現(xiàn)準備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當月評價分數(shù)x(正常情況0x100，且教職工平均月評價分數(shù)在50分左右，若有突出貢獻可以高于100分)計算當月績效工資y元要求績效工資不低于500元，不設上限且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資在平均分數(shù)左右變化不大，則下列函數(shù)最符合要求的是()ay(x50)2500by10500cy(x50)3625dy5010lg(2x1)解析：由題意知，函數(shù)單調遞增，且先慢后快，在x50左右增長近乎為0且函數(shù)值在600左右，最小值為500，a是先減后增，b由指數(shù)函數(shù)知是增長越來越快，d由對數(shù)函數(shù)增長速度越來

17、越慢，c是yx3的平移和伸縮變換而得，最符合題目要求，故選c.答案：c5某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1、y2分別是2萬元、8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站()a5千米處 b4千米處c3千米處 d2千米處解析：設倉庫到車站的距離為x千米，由題意得y1，y2k2x，其中x>0，又當x10時，y12，y28，故k120，k2.所以y1y2x2 8，當且僅當x，即x5時取等號答案：a6(2015·西寧五中片區(qū)四校聯(lián)考)某城市出租車

18、按如下方法收費：起步價6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加價0.5元，10 km后每走1 km加價0.8元，某人坐出租車走了12 km，他應交費_元解析：本題考查數(shù)學知識在實際問題中的應用某人坐出租車走了12 km，他應交費60.5×70.8×211.1元答案：11.17(2015·北京朝陽統(tǒng)考)某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(萬元)與機器運轉時間x(xn*)(年)的關系為yx218x25，則每臺機器運轉_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元解析：本題考查應用均值不等式解答

19、實際問題據(jù)已知每臺機器的年平均利潤關于運轉時間x的函數(shù)關系式為g(x)18，據(jù)均值不等式可得g(x)18182 8，當且僅當x，即x5時取得等號答案：588某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬的空地則矩形溫室的蔬菜的種植面積最大值是_m2.解析：設矩形溫室的左側邊長為a m，后側邊長為b m，則ab800 m2.蔬菜的種植面積s(a4)·(b2)ab4b2a88082(a2b)s8084648(m2)當且僅當a2b，即a40 m，b20 m時，smax648 m2.答案：6489某家庭進行理財

20、投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；(2)該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？解：(1)設兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)設投資債券類產(chǎn)品x萬元，則投資股票類產(chǎn)品(20x)萬元則收益(單位：萬元)為yf(x)g(20x)(0x2

21、0)設t(0t2)，則yt(t2)23，所以當t2，即x16時，收益最大，最大收益為3萬元10某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期因供應不足使價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：f(x)p·qx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q>1)(1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)(不必說明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是0,5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此類推)；(3)在(2)的條件下研究

22、下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟效益，當?shù)卣媱澰趦r格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月內價格下跌解：(1)因為上市初期和后期價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)價格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應選模擬函數(shù)f(x)x(xq)2p.(2)對于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q>1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)(3)因為f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)<0，得1<x<3.所以函數(shù)f(x)在(1,3)內單調遞減，所以可以預測這種海鮮將在9月、10月兩個月內價格

23、下跌b組高考題型專練1(2015·高考四川卷)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是()a16小時 b20小時c24小時 d28小時解析：由已知得192eb，48e22kbe22k·eb，將代入得e22k，則e11k，當x33時，ye33kbe33k·eb3×19224，所以該食品在33 的保鮮時間是24小時故選c.答案：c2(2013·高考湖北卷)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是()解析：小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除a.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除d.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除b.故選c.答案：c3(2015·高考浙江卷)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同已知三個房間的粉刷面積(