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文檔簡介
1、.高等數(shù)學(xué)定理大解析-考研必捋版 (考研大綱要求范圍+高數(shù)重點知識)第一章 函數(shù)與極限1、 函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。2、 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性(指最小正周期)3、 數(shù)列的極限定理(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂,那么數(shù)列xn一定有界。l 如果數(shù)列xn無界,那么數(shù)列xn一定發(fā)散;但
2、如果數(shù)列xn有界,卻不能斷定數(shù)列xn一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。 如果數(shù)列xn有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列xn是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1中子數(shù)列x2k-1收斂于1,xnk收斂于-1,xn卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。4、函數(shù)的極限 函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示xx0,所以xx0時f(x)有沒有極限
3、與f(x)在點x0有沒有定義無關(guān)。 定理(極限的局部保號性)如果lim (xx0)時f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在著點那么x0的某一去心鄰域,當x在該鄰域內(nèi)時就有f(x) >0(或f(x) >0),反之也成立。 函數(shù)f(x)當xx0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)= f(x0+0),若不相等則lim f(x)不存在。 一般的說,如果lim(x) f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y= f(
4、x)的圖形水平漸近線。如果lim(xx0) f(x)=,則直線x=x0是函數(shù)y= f(x)圖形的鉛直漸近線。5、 極限運算法則定理 有限個無窮小之和也是無窮小;有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮??;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮??; 定理 如果F1(x)F2(x),而lim F1 (x)= a,lim F2 (x)= b,那么ab。6、 極限存在準則 兩個重要極限lim(x0)(sinx/x)
5、=1;lim(x)(1+1/x)x=1。 夾逼準則 如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件:yn xn zn且lim yn = a,lim zn = a,那么lim xn = a,對于函數(shù)該準則也成立。 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。7、 函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)y= f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當xx0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(xx0
6、) f(x)= f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。 不連續(xù)情形:1、在點x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(xx0) f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(xx0) f(x)存在,但lim(xx0) f(x) f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。 如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點,但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間
7、斷點和震蕩間斷點)。 定理 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x= f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy= y| y = f(x),xIx上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間
8、上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m f(x)M。 定理(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)與 f(b)異號(即f(a)× f(b)<0),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點,即至少有一點(a<<b)使f()=0。 定理(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且在這區(qū)間的端點處取不同的值f(a)=A, f
9、(b)=B,那么對于A與 B之間的任一數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點使f()= C,(a<<b)。 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何 值。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分1、 導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件 函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h-0) f(x0+h)- f(x0)/h及右極限lim(
10、h+0) f(x0+h)- f(x0)/h都存在且相等,即左導(dǎo)數(shù)f-(x0)右導(dǎo)數(shù)f+(x0)存在相等。2、 函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點處連續(xù);函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)>在該點可導(dǎo)。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。3、 原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo),且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。4、 函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函
11、數(shù)在該點處可導(dǎo)。第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1、 定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,即f(a)= f(b),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(a<<b),使的函數(shù)f(x)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零:f()= 0。2、 定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有
12、一點(a<<b),使的等式f(b)-f(a)= f()(b-a)成立即f()= f(b)-f(a)/(b-a)。3、 定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點,使的等式f(b)-f(a)/ F(b)-F(a)= f()/ F()成立。4、 洛必達法則應(yīng)用條件 只能用與未定型諸如0/0、/、0&
13、#215;、-、00、1、0等形式。5、 函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么:(1) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)>0,那么函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)增加;(2) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)<0,那么函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)減少。 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限
14、個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。6、 函數(shù)的極值 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點,如果存在著點x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x, f(x)< f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值;如果存在著點x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x, f(
15、x)> f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。 在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導(dǎo)數(shù)為0的點),但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。 定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取 得極值,那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零,即f(x0)=0。 定理(函數(shù)取得極值的
16、第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f(x0)=0,那么:(1) 如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f(x)恒為正;當x去x0右側(cè)臨近的值時,f(x)恒為負,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2) 如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f(x)恒為負;當x去x0右側(cè)臨近的值時,f(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3) 如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時,f(x)恒為正或恒為負,那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值
17、。 定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo) 數(shù)且f(x0)=0,f(x0)0那么:(1) 當f(x0)<0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2) 當f(x0)>0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 駐點有可能是極值點,不是駐點也有可能是極值點。 7、函數(shù)的凹凸性及其判定 設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如果對任意兩點x1,x2恒有f(x1+x2)/2&l
18、t; f(x1)+f(x1)/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f(x1+x2)/2>f(x1)+f(x1)/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖形是凸的。 判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟
19、60;(1)求出f(x); (2)令f(x)=0,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實根; (3)對于(2)中解出的每一個實根x0,檢查f(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號,如果f(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號,那么當兩側(cè)的符號相反時,點(x0,f(x0))是拐點,當兩側(cè)的符號相同時,點(x0,f(x0))不是拐點。 在做函數(shù)圖形的時候,如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點,這些點也要作為分點。第四章 不定積分1、 原
20、函數(shù)存在定理 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對任一xI都有F(x)= f(x);簡單的說 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。2、 對于初等函數(shù)來說,在其定
21、義區(qū)間上,它的原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。第五章 定積分1、 定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積 (2)變速直線運動的路程2、函數(shù)可積的充分條件 定理 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在區(qū)間a,b上可積,即連續(xù)=>可積。 定理 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在區(qū)間a,b上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì) 性質(zhì) 如
22、果在區(qū)間a,b上f(x)0則abf(x)dx0。 推論 如果在區(qū)間a,b上f(x)g(x)則abf(x)dxabg(x)dx。 推論|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。 性質(zhì) 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值,則m(b-a)abf(x)dxM(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點,使下式成立:abf(x)dx= f()(b-a)。4、關(guān)于
23、廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點c(a<c<b)外連續(xù),而在點c的鄰域內(nèi)無界,如果兩個廣義積分acf(x)dx與cbf(x)dx都收斂,則定義abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx,否則(只要其中一個發(fā)散)就稱廣義積分abf(x)dx發(fā)散。第六章 定積分的應(yīng)用1、 求平面圖形的面積(曲線圍成的面積) 直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù)) &
24、#160; 極坐標系下(r,x=rcos,y=rsin)(扇形面積公式S=R2/2) 旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=abf(x)2dx,其中f(x)指曲線的方程) 平行截面面積為已知的立體體積(V=abA(x)dx,其中A(x)為截面面積) 功、水壓力、引力 函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)* abf(x)dx)第七章
25、; 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、 多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)都無限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時,即使函數(shù)無限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來,如果當P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù):f(x,y)=0 (xy)/(x2+y2) x2+y2
26、02、 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0D,如果lim(xx0,yy0) f(x,y)= f(x0,y0)則稱f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)。 性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值。 性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取
27、得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。3、 多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點具有導(dǎo)數(shù),則它在該點必定連續(xù),但對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時,函數(shù)值f(P)趨于f(P0),但不能保證點P按任何方式趨于P0時,函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。4、 多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件,但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在
28、的必要條件而不是充分條件,即可微=>可偏導(dǎo)。5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z= f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點可微分。6多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件 定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z= f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(x0,y0)處有極值,則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零。 定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z= f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x
29、0,y0)=C,則f(x,y)在點(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1) AC-B2>0時具有極值,且當A<0時有極大值,當A>0時有極小值;(2) AC-B2<0時沒有極值;(3) AC-B2=0時可能有也可能沒有。7、 多元函數(shù)極值存在的解法(1) 解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實數(shù)解,即可求得一切駐點。(2) 對于每一個駐點(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C。(3) 定出AC-B2的符號,按充分條件進行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。注意:在考慮函數(shù)的極值問題時,除了考慮函數(shù)的駐點外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點,那么對這些點也應(yīng)當考慮在內(nèi)。第八章
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