專題4平面向量與不等式結(jié)合

1、精品資源專題4平面向量與不等式結(jié)合考點動向：向量與不等式的交匯是當(dāng)今高考命題的一個熱點.自從新教材實施以來，在高考中，不時考查平面向量與不等式有關(guān)知識的結(jié)合。這些題實際上是以向量為載體考查不等式的知識，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識將問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題，轉(zhuǎn)化時不要把向量與實數(shù)搞混淆，一般來說向量與不等式結(jié)合的題目難度不大。向量與不等式結(jié)合，既符合在知識的“交匯處”構(gòu)題，又加強了對雙基的考查。這類題 目常常包括向量與不等式的性質(zhì)、均值不等式、解不等式、求值包括(求最大值、最小值) 的交匯等幾個方面.可以預(yù)測到，明年仍至今后的高考中，還會繼續(xù)出現(xiàn)向量與不等式結(jié)合 的題目。方法范例例1、(2

2、005年，上海卷)已知函數(shù)f (x) =kx + b的圖象與x,y軸分別相交于點 A、B,2AB=2i+2j (i,j分別是與x,y軸正半軸同方向的單位向量)，函數(shù)g(x) = x2x 6。(1) 求k,b的值；(2)當(dāng)x滿足f(x)g(x)時，求函數(shù)g(x)+1的最小值。f(x)解析(1)通過交點坐標(biāo)求出向量 AB的坐標(biāo)表示，列方程組，求 k,b的值；(2)先由 f(x)Ag(x),得2<x<4,再對g(x)+1進行化簡，得x+2+,-5,然后利用f(x)不等式a + b之2、，'ab求函數(shù)的最值.一.b' b .答案(1)由已知得 A(,0),B(0,b),則

3、AB =,b,于 kkb = 2 kb =2(2)由 f (x) a g(x)，得x+2 > x2 x 6,即(x +2)(x 4) < 0,得 一 2 < x < 4,，、2_g(x) 1 x-x -5f (x) 一 x 2="2+六一5,由于 x+20，則*"3,其中等號當(dāng)且僅當(dāng) x+2=1,即x=1時成立，g(x) +1時的最小值是_ 3.f(x)例2、(2005年黃崗模擬)已知二次函數(shù)f (x)對任意x W R ,都有f (1 - x) = f (1 + x)1、成立，設(shè)向重 a=(sinx,2), b =(2sm x,2) , c = (c

4、os2x,1), d =(1,2),當(dāng) x=0,n時, 求不等式f (a *b) > f (c *d)的解集.解析二次函數(shù)圖象開口方向不確定，要分類討論.由f (1 - x) = f (1 +x),知二次函歡下載數(shù)f(x)關(guān)于直線X = 1對稱.先求出向量數(shù)量積 a.b與c.d,答案二次函數(shù)圖象開口方向不確定，要分類討論.由f (1 - x) = f(1+x),知二次函數(shù)f (X)在W1,+")上遞增，當(dāng) AV0時,f(x)關(guān)于直線x = 1對稱.當(dāng)二次項系數(shù) A>0時,f (x)在W1,)上遞減.1、_2,_因為 a ,b = ( si nx,2) .(2si nx,)

5、 = 2sin x +1 > 1 , c ,d = (cos2x,1) *(1,2)= 2cos2x +2 > 1,所以當(dāng) A >0 時，由 f (a ,b) > f (c*d),得 2sin2x +1 > cos2x + 2 ,即 cos2x< 0 ,又因為 0W x W n ,所以< x < 3H ；44當(dāng) A<0 時，由 f (a ,b) > f (c d),得 2sin2 x +1 v cos2x 十 2 ,即 cos2x a 0,又因為0w x w冗，所以0w xv,或芻兀< x < n .44綜上所述，當(dāng)二次函

6、數(shù)f(x)二次項系數(shù)A>0時，不等式的解集xl±vxv3n;44當(dāng)二次函數(shù)f (x)二次項系數(shù) Av 0時，不等式的解集 xl0WxE或gnvxwn. 44例3、(2005年，浙江卷) 已知向量awe, Ie|=1,對任意te R,恒有|a te|河a e|,則().(A) a± e ,(B) a ±(a - e),(C) e±(a- e),(D) ( a + e)X(a - e).* * 4 4解析對|ate蘆|a e|進行平方，化成關(guān)于t的二次不等式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，得AW0恒成立，從而得a c = 1.答案解：對任意te R,恒有|a te

7、|n |a e|,故兩邊平方得噎 - 2.2-2Ia -2t a c+t 之 a -2 a c+1, 即：t -2t a c +2t a c 1 之 0.又上式對任意te R,恒成立，即有：AW0恒成立.".十2, T L 、2即A=4 (a c 4(2a c-1) =4(a c1) <0.故當(dāng)a c=1時，上式成立，本題應(yīng)選(C).規(guī)律小結(jié)(1)平面向量與不等式結(jié)合的問題，經(jīng)常以向量為載體考查不等式的知識，解題的關(guān) 鍵是利用向量的知識將問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題：解不等式，求最大值(最小值)，轉(zhuǎn)化時不要把向量與實數(shù)搞混淆。(2)向量與不等式的結(jié)合，既符合在知識的“交匯處”構(gòu)題，又

8、加強了對雙基的考查， 特別是向量的坐標(biāo)表示及運算，這類問題的解決思路通常是將向量的數(shù)量積的運算與模用坐標(biāo)運算后，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題， 然后用三角函數(shù)基本公式求解，基中涉及到的有關(guān)向量的知識有：向量的坐標(biāo)表示及加法、減法、數(shù)乘向量；向量的數(shù)量積；向量平行、垂直 的充要條件；向量的模、夾角； a b，a心；若a = (x1,y1) ,b =(x2,y2)，有（xix2 + VM）2 工（x2 + x；）（y： + y） 向量不等式:a±b <|a +|b|,|a|-|b|.|a.b|.|a|b|.(3)可能涉及不等式的內(nèi)容有:解分式不等式 Hx)>a(a#0的一般解題思路：移

9、項通分，分子分母分解因式，x的gx系數(shù)變?yōu)檎?，?biāo)根及奇穿過偶彈回.含有兩個絕對值的不等式：一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集利用重要不等式 a +b >2Vab以及變式abE(a2b)2等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注 意a, bw R +(或a , b非負(fù))，且“等號成立”時的條件是積 ab或和a+ b其中之一應(yīng)是 定值(一正二定三等).2 2常用不等式：Ja 2b 2a2上>Vab之彳2彳(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選a b用)a、b、cwR, a2+

10、b2+c2 之 ab+ bc+ ca (當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c時，取等號)比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜 合法、分析法和放縮法.含絕對值不等式的性質(zhì):a、b 同號或有 0 y |a"b|=|a|+|b| 之 |a| |b|=|ab|；a、b 異號或有 0y |ab |=|a |+| b| 引| a | |b |=| a+b |.不等式的恒成立，能成立等問題1) .恒成立問題：若不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f (x min > A ；若不等式f (x K B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f ( x K

11、x M B .2) .能成立問題：若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)> A成立，即f(x)> A在區(qū)間 D上能成立，則等價于在區(qū)間 D上f(x 1ax >A；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式 f(x)<B成立，即f(x)<B在區(qū)間D上能成立，則等價于在區(qū)間D上的f(x)min<B.考點誤區(qū)分析：*3* *- w(1)J |aHb|a¥qa|j|b|q要注*9、b同向或有 0 二 |a+b|=|a|十|b| |,a|b|二|ab|;a、J 反向或有 0y |ab|=|a|+|b,| 引|a|b舊 a+b|;a b不共線二|?| |b|<|a&

12、#177;b|<|a|+|b|.(這些和實數(shù)集中類似)精品資源(2)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值 往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值(3)有些取值范圍、最值問題，雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運用 向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手?？忌?jīng)常沒想到而陷入困境“配方、函數(shù)單調(diào)性等”對放(4)注意對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑, 縮的影響.同步訓(xùn)練:221、(2000年，全國卷)橢圓 x-+_y=1的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當(dāng)94ZF1P 52為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是2、(2005

13、年，江蘇卷)在 ABC 中，O為中線 AM 上的一個動點，若 AM =2,則OA,(OB+OQ的最小值是3、已知向量a =(2, 2),向量b與a的夾角為3n ,且ab= 2.4C(1)求向量 b;(2)若t=(1,0)且b_Lt,c=(cs A, 2cos2上)，其中 A、C 是 AABC 2的內(nèi)角，若三角形的三個內(nèi)角依次成等差數(shù)列，試求b+c的取值范圍.歡下載221224、已知定點A(-1,0)和B(1,0) , P是圓(x-3) +(y-4) =4上的一動點，求PA +| PB的最大值和最小值.b = 3a -kb (k 0,k R)5、若 a =(cosc(,sin a),b =(co

14、s B,sin P),且 ka +(1)試用k表布a *b ；(2)求ab的最小值，并求出此時 a與b的夾角日的大小.參考答案1、解析解決與角有關(guān)的一類問題，總可以從平面向量數(shù)量積入手，通過坐標(biāo)運算列出不等式。Fl (石,0) F2 ( J5,0 ),設(shè) P (3cos%2sin 日)，；/ F1PF 2為鈍角PFi PF2 =(芯3cos“2sinH) (753cos“2sin8) =9cos 2-5 +.2 -2 . 一, 5(4sin 6=5 cos 6一1<0,解得： < cos < 一55/ 3.5 3.5(一一,一)點P橫坐標(biāo)的取值范圍是553 、 5 3. 5答

15、案(-A)552、解析如圖設(shè) |OA|=x,則 |OM|=2x, (0<x<2):M 為BC的中點，, OBOC=2OM,OA.(OB OC) =OA.2OM =2x(2.x)*cos180= 2x2 4x = 2(x1)22|_(0WxE2), .當(dāng) x = 1 時，取最小值 2.答案-2.3、解析(1)設(shè)b = (x, y),由 a b= 2,得 2x + 2y=2,即 x +因為向量b與a的夾角為：冗，a = $22+22 =2 J2 ,所以b =a *b3a *cos n-22五.1叵< 2 J因此 x2 + y2 = 1.聯(lián)立、，解得",或,y =0x =

16、 0, grp, .所以J-1b = (1, 0)或b = (0, 1).(2)根據(jù)題意，得B=二，A+C=3由于 t=(1,0)且b_Lt,故b =(0, T),b +c = ( cos A , cosC ),22c=cos A + cos C11_=1+ (cos2 A cos2c)+1+ cos2A22 |t-A = 1 + cos(2A +) 23一 2二因為0vAv 3，所以 一 v 2A+ <cos(n2A + ) <3因此,b +c2 w值。設(shè)已知圓的圓心為 C,由已知可得：答案(1) b = ( 1, 0)或 b = (0, 1)；住安12 2 )4、分析利用向量把

17、問題車t化為求向量 OP'的最OA=i,o,OB=i,o ,oa+OB=o,oAoB=-i ,由中點公式得PA + PB = 2PO,所以 pA12 +|PB|2 =(pA + PB'PB)2 -2PA PBt2. T4 K T4=(2PO)2 -2(OA-OP) (OB-OP)=4 PO2 -2OA OB-2'Op,2r t t t 2-i+ 2OP (OA + OB) = 2 OP| +2,又因為 OC =3,4點 P在圓(x-3) 2+(y-4) 2=4 上，所以 OC' =5, CP1=2,且OP=OC +CP ,所以IOC1 Cp1 , gp 3 <<7故20oC-'CP <Op' =|oc +CP1 <答案最大值為100,最小值為20.+ 2M100,所以PA+PB的最大值為100,最小值為20.5、解析(1) a =(cosa,sina)