蔡氏電路的計算機仿真研究

1、第21卷第6期2002年12月vdl.21 no. 6dec. 2002蘭州鐵遠學院學報(自然科學版journal of l-anzhou railway university (natural sciences)文章編號：1001 - 4373(2002)06 - 0017 - 04蔡氏電路的計算機仿真研究常文利舄王新新2（】蘭州恢道學院基礎科學系甘肅蘭州730070 ； 2.蘭州鐵逋學院估息與電氣工秤學院，忙肅蘭州730070）m 要：從農論分圻與仿真實驗兩個角度分別研究chus gwiii的泯沌行為，研究結果表明在相同的混丸行為預 期下仿真實驗與歿論分析結論十分吻合，仿真實驗能準確地觀測

2、到混沌狹乳子的行為材征利用madab仿真現(xiàn)韓 到蔡氏電珞中典型的通荷混沌道路-f&gengum傳周期分岔過程直至出現(xiàn)雙滿卷絶沌噪引子.根堀理論分析刊計 算出題蛉界hopf分岔點，并r在仿真實驗中得劉證實.關樋詞：蔡氏電路；雙滿曇泯沌吸引子；傳周期分岔；matlab數值仿真中圖分類號：tm132文駅標識甜:a0引喜混沌現(xiàn)象及其應用是非線性科學研究領域的一 個熱點由于電學量（如電壓、電流）易于觀察和顯 示因此非線性電路逐漸成為混沌及混沌同步應用 研究的重要途徑.近年來，學者對非線性電路中的混 沌現(xiàn)象進行了廣泛地研究其中一個最典別的電路 是三階自治chuas grcui（1）,在這個電路中觀

3、察到 了雙渦卷吸引子蔡氏電路是能產生混沌行為垠簡 單的自治電路所有應該從三階自治常微分方程描 述的系統(tǒng)中得到的分岔和混沌現(xiàn)象都能夠在蔡氏電 路中通過計算機仿真觀察到蔡氏電路是至今所知 唯一的混沌實際物理系統(tǒng)已被shilnikov定理嚴格 證明存在混沌性態(tài)研究表明，蔡氏電路易于控 制和同步既可以控制它由混沌狀態(tài)轉變?yōu)橹芷?性或定常軌道也可以使兩個相同的蔡氏電路同步 工作于周期振蕩或混沌狀態(tài)，使混沌電路有可能在 廣泛的領域中得到應用.如混沌保密通信技術、數字 水印技術和混沌擴頻通信技術等從理論分析與仿真實驗兩個角度綜合研究 chuas circuit的混沌行為，研究結果表明在相同的 混沌行為預期下

4、仿真實驗與理論分析結論十分吻 合，仿真實驗能準確地觀測到混沌吸引子的行為恃 征.1三階chua s circuit的電路模型三階蔡氏電路模型如圖1所示，其中nr為 壓控型非線性電臥非線性電阻也稱為蔡氏二極 管它的實現(xiàn)方式很多本文采用雙運放（tl082）和 6個線性電班構成，如圖鮎所示，其伏安特性（你 -ir）如圖2b所示.b圖2蔡氏二極管的構成及其伏安特性收暮日期4002-09-25 作者簡介曲文利（1967-）,女陜西*脂人講師.蘭州鐵道學院學報(自然科學版)第21卷2三階chua's circuit的數學模型2.1動力學方程由kirchhoff結點電流定律得到圖1所示電路 的動力學

5、狀態(tài)方程為cj x dv/dt = g(v vc ) -* f(vc)c2 x dv/dr = g(vf)-叫)- il (1)di = l(x,>tz) i x > 11<d()= (x9ytz) ii x 111(5)(d-1 =i x 11內唯一的平衡點.由于/(工)的分段線性特點，因此 式(5)所我示的每一個區(qū)域內，方程(4)均屬線性, 可用線性方程組表示.若定義x =工*沁卩, k =女,0, k t, jacobi 矩陣為其中函數 g)具冇分段線性待性,其函數形式為 fg) = g叫 + 1/2( ga - g)(i 嗚 + e i i % el) 作變量代換*x

6、 = vc/e y = vfj/e z = i/egr = tg/ci a - gjg b = gb，ga = c2/c| b = c2/lg2則式(1)可寫為dx/dr = ay x /( j) 1dj/dr = x y + 2(2)dr/dr = -丿ba:十 a b hni/(x) = * ar i x 1(3)6x a + 6 x 1上式(2),(3)中a/g和b的變化，綜合反映了電路 中實際元件參數的變化.2.2 平衡點及穩(wěn)定性將式(2)可寫成如下形式一 a (川十 1) a 0"m=1- 11.0一 p(1(6)式中：力= a»vz do；m = 6»

7、vx d|u d-v這樣式(4)就可寫為m(x- k)i=" mxm(x+ k)r dixdoxc d-im的特征方程為/(a) = iae-ml=a、+1 + a(加 + 1 )a2 十(0 + am)a + (h(m + 1)(8)根據routh-hurwitz crierion判據，當下式滿足時，1 a(m +1) > 0,/? + am >m + 1) > 01 + a ( nt + 1)1> 0a/?( 1 + w ) p + erm在式(5)表示的三個區(qū)域屮m的特征值都具有負的實部此時,平衡點漸進穩(wěn)定，電路不發(fā)生振蕩.如果保證ab<0tp (

8、p)存在且位于對應的d (d.j中，當a"其中一個參數發(fā)生變化,半衡點 的性質就會改變當平衡點由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定且在由于式(3)描述的電方程關于原點對稱，因此式平衡點附近岀現(xiàn)極限環(huán)時，即發(fā)生了 hopf分岔，此 時電路參數 s 滿足1 + a(m + 1)a(3( 1 + m)p + am(4)也關于原點對稱，即當式中的q,y, = )f (-工,-卅-=)時,方程保持不變當電路方幔條件.工 + /(x) = 02-3 chua s circuit雙渦卷吸引子幾何結構式(7)方程的本征空間由矩陣m決定，而m 取決于向氟x所在的區(qū)域.當電路參數為y = 0x z = 0時,平衡點分別為p

9、*= (&,0, 7)6 di 0 = (0,0,0) w doip"= (- &,(m) d-i式中m = (6-a)/(6 + l);a與&不為-1這三個平衡點分別是狀態(tài)空間r3的三個子空間(a/“")= (10j568,-1.276 8,-0.688 8) 時蔡氏電路出現(xiàn)雙渦卷吸引子.相應do區(qū)域內的矩陣af = m( 10,15. 68.- 1.276 8),具有實數待征值y0 = 3. 889 0及一對共 鋌的復數特征值<70土血)心-1060 5 ±)3.167 9；而相應于di和d_|區(qū)域內的矩陣m =m( 10.15.

10、 68. -0.688 8)具有實數符征值人= -4.541 8及一對共純的復數特征值叭士知嚴第6期常文利等:蔡氏電路的計算機仿4研究190.214 9 土丿3.270 7.因此，所冇的平衡點均為鞍點. 平禽點o的本征值相應的本征空間er(o) 表示為平衡點o的本征值十她。相應的本征空間£5(0)表示為£5(0):(/0 + 卩0 + 0)工 + atoy 十 az = 0 是平面; 平衡點p±的本征值/1相應的本征空間er(pf)表示為平衡點iji的本征值叭+ j5相應的本征空間 £5(卩£)表示為ec(p±)：(/i + /i +

11、 0)(工寸)+ ayy +(»(« ± *) =0是平面.這些本征空間相互關系見圖3所示其中:圖3 平衡點的待征空間u| = diddo= l(r,>,z) i x = 1|; u-i = d_i f| do =i x =- 11;l° =氏(o) a 5;li = esf士)n u|；l2 = (x uh歙工) uj；a = lq c li；b = l| fl l：;c = er(o) a 5d = er(p*) fl u e = locl l2；f = ix g l2：6(x) / l2!.3倍周期分岔通向混沌的matlab仿真結果混沌是非線

12、性電路系統(tǒng)中既普遍存在文極英復 雜的現(xiàn)象.混沌態(tài)尼非線性系統(tǒng)中的一種奇異的穩(wěn) 態(tài)響應，是始終限于有限區(qū)域且軌道永不朮復、性態(tài) 復雜的運動.蔡氏電路系統(tǒng)的輸出由簡單規(guī)則的振 蕩演變?yōu)榛煦?，存在著許多不同的道路，如倍周期分 岔和周期窗、環(huán)面破裂等.給岀蔡氏電路由超臨界hopf分岔至倍周期分 岔直至混沌的matlab仿直結果蔡氏電路具有參數 敏感性丄、cg,g,ga,gb,ev個參數的變化對 輸岀特性的影響各不相同考慮到碩件電路實驗實 現(xiàn)的可行性，本仿真實驗選擇g作為控制參數在 本文的數值仿真中固定以下參數c| = 10 nfc2 = 100 nf,l = 18 mh,e = 1 g. = - 0.

13、76 ms,g& = - 0.41 ms,改變參數r,變化范圍02.5 kh.采用四階龍格- 庫塔算法對方程(2)進行求解，積分步長取力= 0.001,采用雙精度型數據.在表格i中列出，當尺=2016q時，電路發(fā)生 趙臨界hopf分岔,電路輸出由穩(wěn)定平衡點變成不穩(wěn) 定r岀現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，與由式(9)理論計算的結果 完全一致隨若r繼續(xù)減小接著依次岀現(xiàn)周期2、 周期4、 、.m至混沌典型的feigenbaum倍周期分 岔過程圖嗆圖4d分別給岀了電路倍周期分岔 的典5?相圖由于電路的對稱性，隨初值選擇不同， 可以得到與圖4a圖4d關于原點o完全對稱的相 圖在蔡氏單渦卷吸引子和雙渦卷吸引子之間出

14、現(xiàn) 了 3周期態(tài)，如圖4e所示，這有力地驗證了 ij - yorke定理:周期3蘊含混沌當r繼續(xù)滅小時，選 擇兩個不同的初始條件，相圖上會得到兩個完全對 禰的吸引子逐漸靠近，直至融合，最終形成雙渦卷吸 引子.圖4f圖4h表示這一過程，這個過程被稱為 由切分岔通向混沌的道路.表1倍周期分叉過程nr變化區(qū)間狀態(tài)圖號>2 016穩(wěn)定平衡點2 016翅臨界p* (p")hopf分岔點a1 965.5周期2b1 957.1周期4c1 949.03周期8d1 934周期3e1 937.5單渦卷roller吸引子f1 932單禍卷rossler吸引子g1 860雙擠卷混沌吸引于h1 8604

15、的時域圖i20第21卷蘭州佚道學院學報（自煞科學版）圖4 il - 5、相圖及%的時域禺4結束語由以上理論分析蔡氏電路中的雙渦卷吸引子的通向混沌道路參考文猷：由matlab仿真可見蔡氏電*的電路簡單，非空間幾何結構與matlab仿真實驗的雙渦卷混沌吸 引子相圖之間十分吻合實驗表明仿真實驗研究非 線性電路的混沌性態(tài)是可行的，為構造硬件系統(tǒng)提 供了最化依據.線性動力學行為極為豐富，改變控制參數r,可出 現(xiàn)fcigcnbaum倍周期分岔過程這一內在規(guī)律在完 全不同的非線性電路系統(tǒng)中都會出現(xiàn),具有普適性.1 matsumoto tt chua l et al. the dtxiblc scrull：j

16、 ieee trans, 1985,gs -32(8):797-818.2 peoura l m,camoil t l. synchronization ；n chjiotic gr- cuilstj . phys rev lett .1990.64(8):821.3 chua l o, komun? matsumoto t. the double scroll familyfj. ieee transcircuit system, 1986,33:1073 - 1117.4 j kennedy m p robust op amp realization of chua 5 cir- cuii

17、j).fretiuaiz>1992>46(3>4) ： 6680.fcigenbaurn借周期分岔過程是蔡氏電路中典型的simulation reserch by computer in chua i circuitschang wenli1 wang xinxin2(1- i>pt. of b»i<- science . lanzhou railway university, lanzhou 730070.chirw；2.qjllege of information and electrical enginemngf lanzhou railway u

18、niversity .lanzhou 730070ha)abstract:the chaotic behavior in chua's circuit are studied by matlab numerical computer and theoretical analysis in the paper. research shows that the results of numerical simulation are completely ax)rdinated with thco retieal analysis and the characteristics of chaos attractor behavior have been observed on the base of same anticlutes numerical computer results show that there are usual routes from feigenbaum period doubling bifurcation to