2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1 .設(shè)集合M =1.3,5,7,9,N = x|2x>7,則MpN=()A. 7,9B. 5,7,9C. 3,5,7,9D. 1,3,5,7,92.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得根據(jù)此須軍分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是() 即 該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于105萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)

2、6. 5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4. 5萬(wàn)元至8. 5萬(wàn)元之間3.巳知(l iZ = 3 + 2i,則1=(),1 3.t 3.八 3 .3 .丸 -1-ZB. -1 + -/C. -+/D. -/22224.下列函數(shù)中是增函數(shù)為()A. fx) = -xB. /(x)=C. fx = x2D. f(x) = l/x5.6.點(diǎn)（3.0）到雙曲線(xiàn)焉-卷=1的一條漸近線(xiàn)的距離為（）6 C.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄 視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)£和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿(mǎn)足L=5 + lgV巳知某同學(xué)視

3、力的五分記錄法A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（曬R 1.259）37.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)4的三條棱的中點(diǎn)分別為£, F, G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）正視圖8.B.在 aA3c 中，巳知 8 = 120。，AC = M，AB = 29 則 8C=(D.9.記，為等比數(shù)列,的前項(xiàng)和.若S?=4, 1 = 6,則S.=（A.B. 8D.1010.將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰概率為（A. 0.3B. 0.50.60.811.若0,y ,ta

4、n2a =乙)cos a ,不：,則 tana=( 2 sinaD.715亍A.后1512 .設(shè)/（戈）是定義域?yàn)榛鹌婧瘮?shù)，且l + x） = r）.若/（一：二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .若向量3,5滿(mǎn)足。=3,a B =5"八 =1,則人=14 .巳知一個(gè)BI錐的底面半徑為6,其體積為307r則該圓錐的側(cè)面積為15 .巳知函數(shù)/(x) = 2cos(5+o)的部分圖像如圖所示，則/ - =.16 .巳知尸生為橢圓gL+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸,0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn), 16 4則四邊形PF斯的面積為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程

5、程或演算步驟，笫1721題為必考題, 每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了 200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)能否有99%把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?n(ad -be)2(a + d)(a + c)(b + d)P(K2>k)0. 0500. 0100.

6、 001k3. 8416. 63510.828附:18 .記S為數(shù)列,的前項(xiàng)和，巳知% >0,生=3q,且數(shù)列四是等差數(shù)列，證明：4是等差數(shù) 列.19 .巳知直三梭柱ASC-A4G中，側(cè)面A4/為正方形，AB=BC = 2, E,尸分別為AC和C6的中 點(diǎn)，BFLA.(1)求三棱錐尸一ESC的體積；(2)巳知，為棱A4上的點(diǎn)，證明：BF±DE.20 .設(shè)函數(shù)/(x) =31nx+l ,其中a>0.(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)若y = f(x)的圖像與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.21 .拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0.焦點(diǎn)在入軸上，直線(xiàn)1: x = i交C于P, 0兩

7、點(diǎn)，且OPLO。.巳知點(diǎn)”(2,0),且0M與1相切.(1)求C, QM的方程;(2)設(shè)A，4,A是，上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AA，AA均與。m相切.判斷直線(xiàn)A3與OM的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在笫22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的笫一題 計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22 .在宜角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，n軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)，的極坐標(biāo)方程為p = 25/2cos.(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)/的直角坐標(biāo)為(1,0),“為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足4戶(hù)=42AM ,寫(xiě)出尸的軌跡G的參數(shù)方程,并判斷c與G是否有公共點(diǎn).選修4-

8、5：不等式選講23 .巳知函數(shù)/(工)=k2|送。)=|2工+3卜|2xT|.(1)畫(huà)出y=x)和y = g(x)的圖像；(2)若/(工+。)之g(x),求a的取值范圍.92021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1 .設(shè)集合"=1,3,5,7,9,9 =®2)>7,則()A. 7,9B. 5,7,9C. 3,5,7,9D. 1,3,5,7,9【答案】B【解析】【分析】求出集合N后可求McN.【詳解】N =6,xo)，故McN = 5,7.9,故選：B.2.為了

9、解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4. 5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于105萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6. 5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4. 5萬(wàn)元至& 5萬(wàn)元之間【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng) 的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.【詳解】因?yàn)?/p>

10、頻率直方圖中的組足為1,所以各組的直方圖的高度等于須率,樣本叛率直方圖中的須率即可 作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4. 5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為0.02 + 0.04 = 0.06 = 6%,故A正確；該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為004 + 0.02 x 3 = 0.10 = 10%,故B正確；該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4. 5萬(wàn)元至8. 5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為0.10+ 0.14+ 0.20x 2 = 0.64 = 64% > 50%,故 D 正確；該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3x0 02 + 4x0 04 + 5 x 0 10 +

11、 6 x 0.14+ 7 x 0 20+ 8 x 0 20+ 9x0 10+10x 0 10+11x0 04+12 x 0 02 + 13 x 0 02+14 x 0 02 = 7 68 （萬(wàn)元），超過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的叛率可作為總體的頻率 的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于頻率X組距.3.巳知(17尸 z = 3 + 2i,則1=()3 .D.+/2【答案】B【解析】【分析】由巳知得1=?，

12、根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.-2/【詳解】（1-i）為=-2泛=3 +萬(wàn)，3 + 2/ （3 + 2/）/ -2 + 3z , 3.Z = -1 + /.-2/-2/22故選：B.4 .下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A. f(x) = -xB. f(x)=C. /(x) = x2D. f(x) = l/x【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng),= 為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B, /(x) = f-l為R上的減函數(shù)，不合題意,舍. t 3,對(duì)于c, f(x) = r在(一*0)為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D, 7(*)=加為R上的增函數(shù)，

13、符合題意，故選：D5 .點(diǎn)(3,0)到雙曲線(xiàn)看-5=1的一條漸近線(xiàn)的距離為()9864即二B. TC.二D.3533【答案】A【解析】【分析】首先確定漸近線(xiàn)方程，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：二二=0,即3x±4y = 0,16 99 + 09結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)(工0)到直線(xiàn)*+4)，= 0的距離：d = -= = -9V9 + 16 3故選：A.6 .青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄 視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)£和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)，的滿(mǎn)足L=5

14、+ lgV.巳知某同學(xué)視力的五分記錄法 的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(啊= 1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)LW關(guān)系，當(dāng)L = 4.9時(shí)，求出IgV,再用指數(shù)表示V,即可求解.【詳解】由L = 5 + lgV,當(dāng)L = 4.9時(shí)，lgV = -0.1,-1 1 1則V = 1(T°、0.8.=10 10 = = «斷萬(wàn)1.259故選：C.7 .在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)N的三條棱的中點(diǎn)分別為£, F, G.該正方體裁去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視園中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

15、（）正視圖【解析】【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀(guān)圖，結(jié)合直觀(guān)圖進(jìn)行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀(guān)圖，如圖所示，8 .在 aASC 中，巳知8 = 120。，AC = M，AB = 29 則8C=()D. 3C. yf5【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)A8 = c,AC = ,6C =。，結(jié)合余弦定理：/="+c：-2c(cos8 可得：19 = cJ+4-2xaxcosl20 ,即：+ 2« 15 = 0 » 解得：。=3 ( 二 -5舍去)，故 50 = 3.故選：D.【

16、點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：(1)巳知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)巳知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)巳知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.9 .記S.為等比數(shù)列“的前項(xiàng)和.若邑=4, S4 = 6,則Sg=()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目條件可得邑，邑-邑，S6-S,成等比數(shù)列，從而求出S6-S= l,進(jìn)一步求出答案.【詳解】s為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，邑，S4-S29 Sg - Sj成等比數(shù)列.S,=4, SS、=6-4 = 2：.S6-S4=l9/. S6 = 1 + S4 = 1 + 6 = 7.故選：A.10.將3個(gè)1

17、和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)。不相鄰的概率為()A. 0. 3B. 0. 5C. 0. 6D. 0. 8【答案】CI【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可以是: 0011 LOlOiLOllOLOlllOaOOlLlOlOlJOllOJlOOLl 1010,11100, 共10種排法, 其中2個(gè)。不相鄰的排列方法為: 0101L0U0L01110J0101J0110.11010, 共6種方法.故2個(gè)0不相鄰的概率為（=0.6 ,故選：C.11.若aw 0, Ltan2a =cos a ,z：,則 tanc=(2 sina1即居15【解析】【

18、分析】由二倍角公式可得32° =彩=言需,再結(jié)合巳知可求得sma = “利用同角三 角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.cos a【詳解】v tan 2a =2 - siii ac sin 2a 2 sm a cos acos ataxi za =；=,cos2a l-2sin* a 2-sina叫。，力2 sin a丁cosaHO， =-：， 1 - 2sir- a 2-sma解得 sina = 1,4.cosa =史，.tana =吧=史.4cos a 15故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考交三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sina.12.設(shè)/"）是定義域?yàn)?/p>

19、R的奇函數(shù),則/)【答案】c【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得；的值.詳解由題意可得：/(g) = / l + g)=/1_') = _/(g),故選：c.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)暗：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化 是解決本題的關(guān)鍵.二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .若向量滿(mǎn)足。=3,=5,aB = l,則 b = 【答案】3應(yīng) 【解析】 【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案 【詳解】:。-1)=5工 -B =a +b -2a b = 9+ b -2 = 25.樸3立故答案為，3VI.14 .

20、巳知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬(wàn)則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】394【解析】【分析】利用體積公式求出圓錐的高.進(jìn)一步求出母線(xiàn)長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】丫 =：46 /7 = 30產(chǎn)/ = -:.I = V/F+r(IJ2二 13+ 6=213:.S慎=7cr = /rx6x = 39/r.wj2I15 .巳知函數(shù)/(x) = 2cos(0r+°)的部分圖像如圖所示，則/【解析】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解/? ；的值即可.、八 , w-r _ _ 3rr, 137t7t3乃rry27t、【詳解】由題意可得：-T = - = - 一,，丁 = ;r,0=

21、2, 41234T13萬(wàn)，、當(dāng) x = 時(shí)，5 + 夕=2x13萬(wàn)1213+ 9= 2左4,二(p= 2k亢7r(k e Z),6¥令火=1可得：。=一, O故答案為：«【點(diǎn)睛】巳知fG）=/cos（gx+，）a>0, &>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，力比較容易看圖得出，困難 的是求待定系數(shù)少和。，常用如下兩種方法： （1）由&=彳 即可求出外 確定。時(shí)，若能求出高原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)照, 則令<y%+。=0（或公及+/=不），即可求出嫉.（2）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些巳知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”）坐標(biāo)代入解析

22、式，再結(jié)合圖形解出9和0, 若對(duì)人少的符號(hào)或?qū)?。的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式交換使其符合要求.2216.巳知尸尼為橢圓。："+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)歷0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|P9 = |月國(guó), 則四邊形PF】QA的面積為【答案】8【解析】【分析】根據(jù)巳知可得尸身，尸乙，設(shè)|P£b?,|心|=，利用勾股定理結(jié)合葉 =8,求出加，四 邊形?。大面積等于j即可求解.【詳解】因?yàn)镻，。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn), 且|P。卜|E|,所以四邊形尸匕。尼為矩形， 設(shè) IP"卜見(jiàn)IPF21= ,則 m + n = 8,/n2 + n2 = 48 , 所以 64 = （/

23、 + ）？ = nr + 2mn + if =48 + 2/, mn = St即四邊形尸?？偯娣e等于8.故答案為：8.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出交字說(shuō)明、證明過(guò)程程或演算步驟，第1721題為必考題, 每個(gè)試題考生都必須作答.笫22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17 .甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分 別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了 200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一皴品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)

24、能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?n(cid - be)2(q + b)(c + d)(a + c)(Z? + d)P(K/k)0. 0500. 0100. 001k3. 8416.63510.828附：K2 =I【答案】75%； 60%；(2)能.【解析】【分析】本題考查須軍統(tǒng)計(jì)和獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)給出公式計(jì)算即可【詳解】(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻軍為益= 75%,120乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為而= 60%.> 10 > 6.635 >400(150x80-120x50)： _ 400270x130x200x200

25、19故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18 .記S為數(shù)列“的前a項(xiàng)和，巳知q>0,生=3，且數(shù)列四是等差數(shù)列，證明：4是等差數(shù) 列.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】先根據(jù)戶(hù)-£求出數(shù)列、離公差d,進(jìn)一步寫(xiě)出、離的通項(xiàng)，從而求出，的通項(xiàng)公 式，最終得證.【詳解】,數(shù)列店是等差數(shù)列，設(shè)公差為d =叵_& = 1& + %_瓜=也：& = M+QlDM = "M，(hg N*)：.Sn=ajr9 (£N"):.當(dāng)之 2 時(shí)，an = Sn- S,i = q/一 q ( 一 I)- = 2aji - q

26、當(dāng) =1 時(shí)，2qxl-q=q,滿(mǎn)足q,=2q-q, ”的通項(xiàng)公式為an = 2一，(n e N,) a, % = (2 q - q ) - 2q (-1) - a J=2q “是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】在利用q, = S“ S,i求通項(xiàng)公式時(shí)一定要討論 =1的特殊情況.19 .巳知宜三極柱A5C-ABC|中，側(cè)面AAQF為正方形，AB = BC = 29 E,b分別為AC和的中 點(diǎn)，BF 1 4.I(1)求三校錐尸一ESC的體積;(2)巳知，為核Ad上的點(diǎn)，證明：BFLDE.【答案】(1)； (2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求得4c的長(zhǎng)度，然后利用體積公式可得三梭錐的體積；(2)將所給

27、的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線(xiàn)線(xiàn)垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，然后再由線(xiàn)面垂直可得題中的 結(jié)論.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)陽(yáng)1由題意可得：BF = BC2+CF2 =>/4+T = V5 »由于血加，BCJ.AB, BBQBC = B ,故平面8。6耳，而8/u平面0CG4,故A6_L6尸，從而有 AF = AB2 + BF2 =74+5=3.從而 AC =AF2-CF? =5/1 = 2夜，則AB2 + BC2 = AC2,.-. ABLBC, A8C為等腰直角三角形,s* 4BCE= ；s/ = ；x（；x2x2）=l,V-bcngxS.c/XCT7 = gxlxl = ；.

28、(2)由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)枝長(zhǎng)為2的正方體ABCM - A4GM,如圖所示，取棱AM.BC的 中點(diǎn)”,G,連結(jié) AH,HG,GB正方形8cqq中，G,尸為中點(diǎn)，則8尸，8°, 又 5 尸，A&，A51nslG = d, 故8尸，平面A4G”，而OEu平面A4G”,從而B(niǎo)F上DE.【點(diǎn)睛】求三極錐的體積時(shí)要注意三校錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三梭錐的三條側(cè)梭兩兩垂直，我 們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)梭作為高來(lái)求體積,對(duì)于空間中垂直關(guān)系(線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面 面)的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.20 .設(shè)函數(shù)/“)=azx2 ax-3111X+1,其中"0

29、.(1)討論)("的單調(diào)性；(2)若y = /(x)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍./1 (1【答案】(1) /(X)的減區(qū)間為OqJ,增區(qū)間為小,十8>(2) «>-.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)根據(jù)/(1)>0及(D的單調(diào)桂性可得/(*)2>0,從而可求a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù) 定義域?yàn)?0,+8),一 門(mén) (2ax + 3)(ax-l)又(刈=1*x因?yàn)閍>0,x>0,故2ar+3>0,1當(dāng) 0cx時(shí)，/'（x）v0；當(dāng) 時(shí)，fx）> 0 ； aa所以

30、/（x）的城區(qū)間為（°，：），增區(qū)間為（：，+8）.（2）因?yàn)?（1）=片+。+ 1>0且y = /（x）的圖與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以y=/&）的圖象在工軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得x）1ab = /（：） = 3_31n： = 3 + 31na,故 3 + 31na>0 即 e【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.21.拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)1： x = l交C于A(yíng)。兩點(diǎn)，且OP，OQ.巳知點(diǎn)"（2,0）,且。M與1相切.（1

31、）求G。例的方程；（2）設(shè)A，4,a是，上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AA, 4A均與相切.判斷直線(xiàn)人人與0M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）拋物線(xiàn)C：）=X, OM方程為（五一2+ y? = l； （2）相切，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)巳知拋物線(xiàn)與工二1相交，可得出拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱(chēng)性設(shè)出產(chǎn)，。坐標(biāo)，由。尸，。，即可求出；由圓與直線(xiàn)x = l相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）先考慮AA斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，即可得出結(jié)論；著aa，aa，aa斜率存在，由aa，a三點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，將直線(xiàn)AA，AA，A4斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由AA，AA與圓m相切，得出K + K，”,乃

32、與.匕的關(guān)系，最后求出m點(diǎn)到直線(xiàn)AA的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】 依題意設(shè)拋物線(xiàn)c：y= 2px（p>0）,尸（1,九）,。（一），。），OPlOQ,：.OPOQ = L-yl = l-2p = 0.：.2p=lt所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為）J = x,IM（0,2）,OM與x = l相切，所以半徑為1,所以0M的方程為（丫一2尸+獷=1；（2）設(shè) A Qi M ）, A （工，% ），4 （占，出）若AA斜率不存在，則AA方程為x=i或刀=3,若AA方程為x=i，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A。），則過(guò)人與圓M相切的另一條直線(xiàn)方程為y = 1,此時(shí)該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在A(yíng),不合題意；若A

33、A方程為x = 3,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A（3,6）,A（3,-6）,則過(guò)4與圓M相切的直線(xiàn)A4為y 一=乎。一 3）,又 &AA = = = 7-=乎，,必二°，為一不其+ ）'3 J3 + %3凡=0.A（o,o）,此時(shí)直線(xiàn)AA，AA關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 所以直線(xiàn)A4與圓時(shí)相切;若直線(xiàn)A4，AA，AA斜率均存在,1 ,_1 z_1,女44 二，攵=其十>2%十%X+>3所以直線(xiàn)A4方程為）'一 乂 = 4（V-A'i）,>1 + Z2整理得 x- （乂 + y2）y+yy2 = 0,同理直線(xiàn)Ar43的方程為X- （乂 + y,）y + 乂后

34、=0,直線(xiàn) A2A 的方程為 x-（y2 + y3）y + y2y, = 0,A4與IBM相切,.T，1+（其+ ”尸整理得（兄 T）£ + 2yM + 3 y； = 0 ,AA與圓 M 相切，同理（y： - l）y； + 2乂% + 3- y； = 0所以為，%為方程（）'；-0/ + 2y1y + 3- y： = 0的兩根，2yl3-y;-4出= >1 1/l 1m到直線(xiàn)4A的距聲為：p+.ul;著I4+（3+»/i+（-4）2V yl一 l"lJ（yL + 4y； y； + ，所以直線(xiàn)A4與BEM相切；綜上若直線(xiàn)a】a，aa與圓例相切，則直線(xiàn)A

35、A與圓用相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）過(guò)拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)直線(xiàn)斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；（2）要充分利用4A，AA的對(duì)稱(chēng)性，抽象出刈+ %，>'二必與上關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示.（二）選考題：共10分,請(qǐng)考生在笫22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的笫一題 計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系xQv中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為P = 2y/2cos0 .（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)4的直角坐標(biāo)為（LO）, M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿(mǎn)足A戶(hù)=遮人而，寫(xiě)出尸的軌跡C的參數(shù)方程, 并判斷c與G是否有公共點(diǎn).【答案】卜一。葉+廿=2