2018屆高考數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)考點(diǎn)02命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件理

1、考點(diǎn)2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【考點(diǎn)剖析】1. 最新考試說(shuō)明：(1 )了解命題的概念，會(huì)分析原命題及其逆命題、否命題與逆否命題這四種命題的相互關(guān)系.(2) 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義2. 命題方向預(yù)測(cè)：(1 )四種命題的概念及其相互關(guān)系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)(2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).(3) 本節(jié)知識(shí)常與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、立體幾何中的直線、平面間的位置關(guān)系、復(fù)數(shù)、平面解析幾何等知識(shí)結(jié)合，復(fù)習(xí)中在理解命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件等基礎(chǔ) 知識(shí)的同時(shí)，重在掌握其它相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)A .3. 課本結(jié)論總結(jié)：(1) 命題的概念

2、在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判定真假的陳述句叫做命題其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題.(2) 四種命題及其關(guān)系1四種命題及其關(guān)系2四種命題的真假關(guān)系逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假，互逆或互否的兩個(gè)命題,它們的真假?zèng)]有關(guān)系.(3)充分條件與必要條件1若p= q，則p是q充分條件，q是p的必要條件2若p= q，且q= p，則p是q充要條件24.名師二級(jí)結(jié)論：(1)常見結(jié)論的否定形式結(jié)論是都是大于小于至少一個(gè)至多一個(gè)至少n個(gè)至多有n個(gè)對(duì)所有x，成立p或qp且q對(duì)任何x，不成立否疋不是不都是不大于不小于一個(gè)也沒(méi)有至少兩個(gè)至多有(n-1)個(gè)至少有(

3、n + 1)個(gè)存在某x，不成立且p或q)存在某x，成立(2)充要條件判定方法定義法：若p= q，則p是q充分條件；若q= p，則p是q必要條件；若p= q， 且q= p，則p是q充要條件.集合法：若滿足條件p的集合為 A,滿足條件q的集合為 B,若A.；B,則p是q的充分不 必要條件；若BA,則p是q必要不充分條件；若 A=B 則，p是q充要條件。對(duì)充要條件判定問(wèn)題，一定要分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論，若條件、結(jié)論滿足的條件易求，常 用集合法3利用原命題與逆命題的真假判斷若原命題為若p則q”，則有如下結(jié)論:5.課本經(jīng)典習(xí)題: (1)新課標(biāo) A 版第 8 頁(yè)習(xí)題 1.1A 組，第 2 題【經(jīng)典理由】本

4、題考查了命題的四種形式及其真假的判定，特別是都是的否定是一個(gè)難點(diǎn), 也是一個(gè)常考點(diǎn) 新課標(biāo) A 版第 12 頁(yè)習(xí)題 1.2A 組第 3 題【經(jīng)典理由】本題主要考查了充要條件的三種判定方法，具有代表性6.考點(diǎn)交匯展示:（1）與集合交匯例 1 設(shè)A,B是兩個(gè)集合，則“A|B二A”是“AB”的（）(1)若原命題為真逆命題為假，則(2)若原命題為假逆命題為真，則(3)若原命題與逆命題都為真，則(4)若原命題與逆命題都為假，則p是q的充分不必要條件；p是q的必要不充分條件；p是q的充要條件；p是q的既不充分也不必要條件3A.充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C

5、.【解析】由題意得，ARB二A= A B，反之，AB= A B = A，故為充要條件，選 C.（2）與不等式交匯例 2【2017 天津，文 2】設(shè)xR，則“2-X_0”是“|X-1$1”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】2-xQ?貝|x-l|l,x|0 x2）c2,據(jù)此可知：“2-葢生（T是葢廣的的必要的必要不充分條件，本題選擇E選項(xiàng)一（3）與函數(shù)交匯nn1例 3【2017 天津，理 4】設(shè)R，則“I|”是“sin”的12122（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（ C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【

6、解析】nnI .一I:n10sin二1，但 v- 0,sin -，不滿足12 126 22n n|，所以是充分不必要條件，選A.12 12（4 ）與平面向量結(jié)合例 4 設(shè)平面向量a,b,c均為非零向量，則“a（b-c） =0”是“b = c”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B4【解析】由b=c得，b-c=0，得ab-c = 0；反之不成立，故ab-c = 0是b = c的必要而不充分條件.(5) 與復(fù)數(shù)交匯a,b R，則“a二b =1”是“(a bi)2= 2i”的()【2016 高考山東卷】已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平

7、面f線b相交”是“平面a和平面3相交”的( )(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解折】 試題分析：試題分析：“直線門和直線占相交直線門和直線占相交 亠亠 平面訊呼面平面訊呼面0相交相交& &但但“平面氏和平面目相交平面氏和平面目相交”聲“直線直線 點(diǎn)和直線*相交匕所以葺牝和直陰狡”是“平面肚和平面0相交”的充分不龍囁條件，故選(7)與數(shù)列交匯4 z例 7【2016 高考天津卷】 設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列， 公比為q,則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n| = |可| =J/+滬,故原命題為真：逆命題：若|珂卜|引卜則可宀互為共覘復(fù)數(shù)；如

8、可=3 +億Z2=4+込且|珂卜|引卜匚但此時(shí)可宀不 互為共輒復(fù)，故逆命題為假；否命題：若習(xí)不互為共輒復(fù)數(shù)，則|可卜|可|;如可=3+ 4八習(xí)4+3八 此時(shí)可，習(xí)不互為共輒復(fù)，但|咼| = |勺| =5,故否命題為假；原命題和逆否命題的真假相同，所以逆否命題 為真；故選月.2. 【2017 北京卷】能夠說(shuō)明“設(shè) a, b, c 是任意實(shí)數(shù)若 abc,則 a+bc”是假命題的一組整數(shù) a, b, c 的值依次為 _.【答案】-1 , -2 , -3 （答案不唯一）【解析】試題分折：_t -2-3,-1+（-2） = -3-3相矛盾所以驗(yàn)證是假命題一【方法規(guī)律】1.判斷一個(gè)命題的真假有兩種方法，法

9、一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴(yán)格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結(jié)論正確，要判定一個(gè)命題為假命題， 只要舉出一個(gè)6反例就行；法二：等價(jià)值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。272. 正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式， 也是兩種不同的解題方向，有時(shí)舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難，二者同樣重要.3. 在書寫命題的四種形式時(shí)，首先要將命題轉(zhuǎn)化成“若p,則 q”的形式，然后嚴(yán)格按定義書寫，注意正確應(yīng)用常見詞語(yǔ)的否定4. 在判斷四種形式的命題真假時(shí)，先判斷原命題的真假， 再判斷逆命題的真假，

10、然后根據(jù)等價(jià)關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假.【解題技巧】1當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三個(gè)命題時(shí)，必須保留大前提且不作改換.2. 在判斷命題的真假時(shí)，如果不易直接判斷它的真假，可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假.3. 在書寫否命題題與您否命題時(shí)，要特別注意條件的否定和結(jié)論的否定即為條件的反面和結(jié)論的反面.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】1. 區(qū)分否命題與命題： 否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個(gè)新的命題；命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法.2. 特別要注意含有邏輯連結(jié)詞的否定形式.例寫出命題“若x2 y2= 0，則x,y全為 0”的否命題.2 2【錯(cuò)解】若x y =0,

11、則x,y全不為 0.【錯(cuò)因分析】將命題否定與否命題混淆；命題結(jié)論否定錯(cuò)誤，“x,y全為 0”的否定應(yīng)為“x,y不全為 0”而不是“x,y全為 0” .【預(yù)防措施】要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個(gè)命題的否命題，既要否定條件又要否定結(jié)論，只否定結(jié)論，得到的命題是命題的否定；對(duì)條件和結(jié)論的否定要正確，如“都sA/rV是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結(jié)論的否定就是分別找條件和結(jié)論的對(duì) 立面，抓住這一點(diǎn)就可以避免類似的錯(cuò)誤.【正解】若x2y - 0,則x,y不全為 0.熱點(diǎn)二充分條件與必要條件1.“x 1”是 “l(fā)ogi（x2） :0”的（）2A、充要條件B、充分不必要條件C 必要不

12、充分條件D、既不充分也不必要條件【答案】B8【解析】logx 2）：0= x 2 4= x -1，因此選B.2 212 直線l : kx 1與圓O: x2y-1相交于A, B兩點(diǎn)，貝k =1是“ O的面積為一”2的（ ）A充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由k=1時(shí)，圓心到直線1:x1的距離d.所以弦長(zhǎng)為.2.所以21_ 2 1SOAB2.所以充分性成立，由圖形的對(duì)成性當(dāng) k=-1時(shí)，.10AB的面積22 21為丄.所以不要性不成立.故選 A.23. 設(shè)U為全集，代B是集合，則“存在集合C使得AC,B5CuC是“A B=Q”的（）A.

13、充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)JcC,曇 uCQ且nc = 0j則= 反之當(dāng)/nB=0t坯有cCUCt2當(dāng)A = CfRWQ且|T|C = 0J則反之若ACS=f則AQC = f畫=CQ所*竝3當(dāng)A = =則月=0;反之/nB =ACCyC.綜上所述，澤存在集合 u 梗得/uGBuGQ是-的充要條件.4. 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，貝y q 1是 a.為遞增數(shù)列的（）A充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D.9【解析】當(dāng)a11 時(shí)，數(shù)列an遞減；當(dāng) acO,數(shù)列an遞增時(shí)，0q1.故

14、選 D.【方法規(guī)律】101.在進(jìn)行充分條件、 必要條件的判斷時(shí)， 首先要明確哪個(gè)論斷是條件， 哪個(gè)論斷是結(jié)論，再 從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q,二是由條件q能否推得條件p,結(jié)合定義即 可做出判斷2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應(yīng)用利用集合法進(jìn)行判斷時(shí)，借助數(shù)軸能直觀顯示兩個(gè)集合的關(guān)系，從而命題易于求解.對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價(jià)命題進(jìn)行判斷.【解題技巧】-1.在進(jìn)行充要條件判斷時(shí)， 在明確條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上，將條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)及合理的表示條件間的推出關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2.在利用集合法進(jìn)行充要條件判斷時(shí)，常借助數(shù)軸直觀顯示

15、兩個(gè)集合的關(guān)系，從而使問(wèn)題易于求解3.在利用命題法判定充要條件時(shí)，對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問(wèn)題形象化、 直觀化外，還可利用原命題和逆否命、 逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在判斷充要條件時(shí)，因條件與結(jié)論分不清或因考慮不全面導(dǎo)致致錯(cuò)誤例 已知p: “向量a與向量b的夾角 r 為鈍角”是q:“a * bv0”的條件【錯(cuò)解】若向量a與的充要條件.:b的夾角 v 為鈍角，則COSTv0,即ab V0,故p是q|a|b|【錯(cuò)因分析】判斷條件與結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)要從兩個(gè)方向判斷,而上面之判定了一個(gè)方向就下結(jié)論，忽視了對(duì)“a *b v0”成

16、立時(shí)能否導(dǎo)出“向量a與向量b的夾角為鈍角”的判斷【防范措施】判斷充要條件時(shí)要注意兩點(diǎn)：首項(xiàng)要分清哪個(gè)是條件p，哪個(gè)是條件q;其次要從兩個(gè)方向進(jìn)行判斷，即條件p能否導(dǎo)出結(jié)論q與結(jié)論q能否導(dǎo)出條件p.【正解】【正解】若向量若向量與向量與向量5的夾的夾角角& &為為鈍角，鈍角，則則cos = -i-0,即曰即曰応応 p、cos-cos- “【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)， ：不成立，所以“ ”是“二”的既不充分也不必要條件，故選D.3. 【2017 四川成都】已知數(shù)列訂爲(wèi)是等比數(shù)列，則“a：a2”是“數(shù)列 fa,為遞增數(shù)列” 的（）A.充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件

17、D .既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若 玄堤遞增數(shù)列一定有an：an彳,-ai：a2成立，當(dāng)-2,a2二2時(shí)，滿足ai : a2，而a不是遞增數(shù)列，所以“a：a?”是“數(shù)列曲為遞增數(shù)列”必要不充分 條件，故選 C.4.【2018 屆浙江省“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟高三上期初】若a,bR，使a b 4成立的一個(gè)充 分不必要條件是（）A.a+b蘭4B.a4C.a|2且b2D.b4；C 中2色2,2臭2， 不滿足a + b4；B 中a=44,b=0 ,不滿足 a+|b|4 ； D 中由b 4，但由 a +|b 4 得 不到 b：-4，如a = 1,b=5.選 D.5. 以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(

18、)1 1集合*ai,a2,a3,a4f的真子集的個(gè)數(shù)為15；2 2平面內(nèi)兩條直線的夾角等于它們的方向向量的夾角；3 3設(shè)z(,z C，若z2z2=0，則zi= 0且Z2= 0；4 4設(shè)無(wú)窮數(shù)列 玄的前n項(xiàng)和為Sn,若：Sn是等差數(shù)列，則a-定是常數(shù)列.(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】對(duì)于，集合a1, a2,a3,a?的真子集的個(gè)數(shù)為 24-1=15，二對(duì)；對(duì)于，平面內(nèi)兩條直線的夾角不大于直角，而方向向量的夾角可以為鈍角，故錯(cuò)；A .對(duì)于， 12+i2=0 但 1 與i都不為 0,故錯(cuò)；對(duì)于，若Sn是等差數(shù)列，可設(shè)S=S+(n-1)d, a1=S，當(dāng)n2時(shí)，an=S-S-1=d

19、, 當(dāng)且僅當(dāng) s=d時(shí)a是常數(shù)列，故錯(cuò).jf6. “x 0”是 “In(x 1)疔0”的()/yV、A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件)【答案】B【解析】因?yàn)镮n(x 1)：0，所以ln(x - 1)：In1，即 一1：x：0，因而“x：0”是“l(fā)n(x - 1) : 0”的必要而不充分條件7.原命題p:“設(shè)a、b、cR,若若a b,則則ac2be2”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有()個(gè).A. 0B. 1【答案】CD. 414【解析】當(dāng)衣=0時(shí)，4所以原命題是錯(cuò)誤的由于席命題與逆否命題的頁(yè)假一致，所嘆逆否命 題也是錯(cuò)誤的；逆命題狩“

20、設(shè)acR,若朋曲,則af是正確的，由于否命題與逆命題的直假 致，所以逆命題與否命題都為真命題，所以綜上所述，真命題有2個(gè).8. “a = 5”是直線ax _ 2y_仁0與直線5x - 2y c = 0平行”的（ ）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)a=5時(shí)，直線ax-2y-1=0與直線5x-2yc=0可能平行或重合；若直線ax -2y =0與直線5x -2y c =0平行，則a=5故選C39. 已知p : x _ k,q :1，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是x +1（ ）A.2,二）B.（2,：） C.1,：） D.

21、（：，-1【答案】B332 x【解析】由 ：1得，亠-1二土上：0，即（x-2Xx1） 0，解得x，1或x 2，x 1x 1 x 1由p是q的充分不必要條件知，k 2，故選 B.10.實(shí)數(shù)a =1”是復(fù)數(shù)（1 ai）i（aR,i為虛數(shù)單位）的模為、.、2”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分條件又不必要條件【答案】A【解析】o =1時(shí),即+=-+; = -1+i,其模為運(yùn)當(dāng)（1斗i=-a + i的模為血時(shí)，+解彳專即實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)C+少SEJV為虛數(shù)單位）的模為的的充分非必要條件，選&11.ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a, b, c,則“a = 2bc

22、osC”是“rABC是等腰三角形”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件15C.充分必要條件.既不充分也不必要條件16即b二c，所以ABC是等腰三角形，反之，當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，不一定有b二c,故“2b cosC”是“.IABC是等腰三角形”的充分不必要條件.12. 若、2、-R且；-kk：三Z,- kk：三Z，9“：=2-”是223“.3tan：-1、.3tan-1僅4”的（）4V IA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由、3ta n二-1 . 3 ta n：-1 = 4知，3ta n ta n：-,3ta n：-、3ta n“】

23、1=473 ta notta n Bta nata nB=V3,tan +tan,tan（口+3） = -751 - ta n.ta n P所以.:=k二3當(dāng)k=0時(shí)，： 1=2二3 /X所以“- -2”是“3tan-1 . 3 tan -1 = 4”的充分不必要條件.3故選AiYyjf嗎13.“m =1”是“直線xy=0和直線x + my = 0互相垂直”的（）yA.充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)閙 =1時(shí)，兩直線分別是直線X - y = 0和直線X y二0兩直線的斜率分別是 1 和-1.所以兩直線垂直，所以充分性成立；當(dāng)直線x-y =0和直線x my = 0互相垂直則1 1 （-1）0, m=1.所以必