大學(xué)物理實驗-誤差

1、3.1 誤差的基本知識誤差的基本知識 誤差定義誤差定義： =| -x| 或或 r = | -x| / 測量值測量值x與真值與真值 之差稱為誤差。由于真值不可知之差稱為誤差。由于真值不可知, 故故誤差不可知，所以測量都是對真值的近似描述。多用相誤差不可知，所以測量都是對真值的近似描述。多用相對真值（理論值、約定真值、算術(shù)平均值）代替真值，對真值（理論值、約定真值、算術(shù)平均值）代替真值，并從統(tǒng)計的角度估算誤差的大小。并從統(tǒng)計的角度估算誤差的大小。*誤差存在一切測量之中。它的大小反映了人們的認(rèn)識誤差存在一切測量之中。它的大小反映了人們的認(rèn)識接近客觀真實的程度。接近客觀真實的程度。 誤差來源：誤差來源

2、：由由系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差兩部分組成。兩部分組成。 （1）系統(tǒng)誤差：）系統(tǒng)誤差：來源于測量系統(tǒng)的不完善來源于測量系統(tǒng)的不完善(如如:儀器、儀器、 方法、環(huán)境等方法、環(huán)境等)，使，使x 偏離偏離 。 特特 點(diǎn)點(diǎn): 以恒定偏大（?。┗蛑芷谛孕问匠霈F(xiàn)。以恒定偏大（?。┗蛑芷谛孕问匠霈F(xiàn)。 消除方法消除方法: 針對產(chǎn)生的原因加以消除。針對產(chǎn)生的原因加以消除。（2）偶然誤差）偶然誤差：由大量微小干擾因素產(chǎn)生的，使由大量微小干擾因素產(chǎn)生的，使x 偏偏離離 如讓如讓n個同學(xué)依次測某人身高個同學(xué)依次測某人身高X，得，得(X1、X2、 Xn )，但不能保證但不能保證X1 X2 Xn 。再次測量得。

3、再次測量得(X1、X2、 Xn )，除不能保證，除不能保證X1 X2 Xn 外，還不能保證外，還不能保證X1= X1、 X2= X2 Xn =Xn。若若 X1=X1 +， ， Xn= Xn 。因因 X可正，可負(fù)，可可正，可負(fù)，可為零。為零。這表明：這表明：偶然誤差的特點(diǎn)：偶然誤差的特點(diǎn)：隨機(jī)性。隨機(jī)性。消除方法：消除方法：因因 X X可正，可負(fù)，可為零，可正，可負(fù)，可為零，多次測量可多次測量可以減小以減小偶然誤差偶然誤差。 X(長度值長度值)1.01 1.021.03 1.04 1.05 1.061.071.081.091.101.11N( 相同值相同值出 現(xiàn) 的 次出 現(xiàn) 的 次數(shù)數(shù))136

4、10151184321對某一長度X測量了64次，其數(shù)據(jù)如下：概率分布圖n=64222)(21)(xexf當(dāng)n 時，反應(yīng)x值出現(xiàn)次數(shù)的值n(x)變成連續(xù)函數(shù)，即多次測量服從正態(tài)分布：單峰；有界；近似對稱和正、負(fù)相消的特點(diǎn)。可用正態(tài)分布函數(shù)來描述。f(x)xi正態(tài)分布曲線多次測量服從正態(tài)分布：單峰；有界；近似對稱和正、負(fù)相消的特點(diǎn)。可用正態(tài)分布函數(shù)來描述。 23其幾何意義為分布曲線的寬度。曲線的總面積為1，在范圍內(nèi)包含68.3%的面積； 2范圍內(nèi)包含95.4%的面積； 3范圍內(nèi)包含99.7%的面積；而3范圍以外，僅包含了0.3%的面積。大部分測量值分布在由決定的范圍內(nèi)。f(x)Xnx2)(1 不同

5、，表明偶然誤差的影響不同。 分布為 1的曲線其測量值離散性大些，分布為 2的曲線測量值相對集中些，表明前者偶然誤差的影響要大。 可用來描述偶然誤差的大小。 f(x) 2X 在實際中，我們對物理量的測量都是有限次測量，偶然誤差對測量值的影響，是通過標(biāo)準(zhǔn)偏差S來估算的。偏差=|平均值 測量值| =| |XSXiX（3）偶然誤差的估算）偶然誤差的估算： 在有限次測量條件下，我們可用在有限次測量條件下，我們可用S 對偶然誤差進(jìn)行對偶然誤差進(jìn)行估算。由公式知，估算。由公式知， S 從統(tǒng)計的角度反映了平均值從統(tǒng)計的角度反映了平均值 和和某一次測量值某一次測量值X 之間的偏離程度，稱為之間的偏離程度，稱為測

6、量列的標(biāo)準(zhǔn)測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差偏差，簡稱，簡稱測量列的標(biāo)準(zhǔn)差測量列的標(biāo)準(zhǔn)差。統(tǒng)計解釋：統(tǒng)計解釋：數(shù)據(jù)列中任一數(shù)據(jù)列中任一值值X 出現(xiàn)在（出現(xiàn)在（ S ）區(qū)間的概率為區(qū)間的概率為68.3%。 可證明：當(dāng)可證明：當(dāng)n 時，時， S XXiiXXX)1()(2 nXXSiXnx2)(但在測量時，我們更關(guān)心、且經(jīng)常利用測量列平均值X的標(biāo)準(zhǔn)差S 來估算平均值與真實值之間的偶然誤差。 X)1()(2 nnXXnSSiXX在在X S 范圍內(nèi)有范圍內(nèi)有68.3% 的可能包含了真值的可能包含了真值; 在在X 2S 范圍內(nèi)有范圍內(nèi)有95%的可能包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范圍內(nèi)有范圍內(nèi)有99.7%的可能

7、包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范圍外范圍外,僅有僅有0.3% 的可能包含了真值。的可能包含了真值。 3S 稱為誤差的極限，也叫壞值剔除的標(biāo)準(zhǔn)。稱為誤差的極限，也叫壞值剔除的標(biāo)準(zhǔn)。XXXXX標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo): :有一組測量值有一組測量值, , ，各次測量，各次測量值的誤差為值的誤差為 兩邊求和取平均得：兩邊求和取平均得：)(11AxnniiAx inAx1或或代入偏差定義式，得：代入偏差定義式，得：iiinAxx1iin1nixxxx,21, 2 , 1,niAxii 兩邊平方求和得：兩邊平方求和得：2iii2i2inn2x)1(12222)(1)(12iiinnn22)

8、(1iin因為在測量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率接近相等，故因為在測量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率接近相等，故 展開后，交叉項展開后，交叉項 為正為負(fù)的數(shù)目接近相等，為正為負(fù)的數(shù)目接近相等，彼此相消，故得：彼此相消，故得：2)(i,312122)(ii221iinnx因而因而nnxii221即即等式右邊若取等式右邊若取n n 時的極限，即是標(biāo)準(zhǔn)誤差時的極限，即是標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義式。的定義式。等式左邊是任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，記作等式左邊是任意一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，記作x x1)(122nxxnxiix即即 它表示測量次數(shù)有限多時，標(biāo)準(zhǔn)誤差它表示測量次數(shù)有限多時，標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個估算值。的一個估算值。 物理意義：

9、如果多次測量的偶然誤差遵從正態(tài)分布，則任物理意義：如果多次測量的偶然誤差遵從正態(tài)分布，則任意一次測量的誤差落在意一次測量的誤差落在- -x x到到+ +x x區(qū)域之間的可能性（概率）區(qū)域之間的可能性（概率）為為68.3%68.3%?；蛘哒f，它表示這組數(shù)據(jù)的誤差有。或者說，它表示這組數(shù)據(jù)的誤差有68.3%68.3%的概率出現(xiàn)的概率出現(xiàn)在在- -x x到到+ +x x的區(qū)間內(nèi)。又稱測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。的區(qū)間內(nèi)。又稱測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 同樣可以得到算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣可以得到算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差1)(2n(nxxnixx即即 物理意義：真值處于物理意義：真值處于 區(qū)間內(nèi)的概率為區(qū)間內(nèi)的概率為68.

10、368.3% %。xx （4）系統(tǒng)誤差的估算）系統(tǒng)誤差的估算(只考慮儀器產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差只考慮儀器產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差) 由儀器的極限誤差來估算系統(tǒng)誤差。由儀器的極限誤差來估算系統(tǒng)誤差。 極極儀器在使用時所能產(chǎn)生的最大誤差范圍?？蓛x器在使用時所能產(chǎn)生的最大誤差范圍?？?由如下三種途徑獲?。河扇缦氯N途徑獲?。?1）由儀器說明書查詢）由儀器說明書查詢 2）無法查詢時可按最小刻度一半考慮）無法查詢時可按最小刻度一半考慮 3）指針式電表：）指針式電表： 極極量程量程 等級等級% 系統(tǒng)誤差的估算：系統(tǒng)誤差的估算：U儀儀= 極極/C C為置信系數(shù)為置信系數(shù) 對誤差均勻分布的儀器，通常等刻度儀器，對誤差均勻分布的儀器，通常等刻度儀器，C取取 ,米尺、儀表米尺、儀表均是這種情況均是這種情況;對誤差服從正態(tài)分布的儀器（如數(shù)顯表）對誤差服從正態(tài)分布的儀器（如數(shù)顯表）C取取3。3等差細(xì)分類儀器等差細(xì)分類儀器: : U儀卡尺儀卡尺= = 0.02mm; U儀分光計儀分光計=1 指針式電表：指針式電表：U儀電表儀電表= = 極電表極電表 = =（量程量程 等級等級%） U儀米尺儀米尺 U儀千分尺儀千分尺 秒表：秒表：