復變函數(shù) 2.3初等多值解析函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 初等多值解析函數(shù)初等多值解析函數(shù)2.3.1 根式函數(shù)根式函數(shù)2.3.2 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)2.3.3 一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)2.3.4 具有多個有限支點的情形具有多個有限支點的情形2.3.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)2.3.6 小結與思考小結與思考2定義定義2.8(單葉函數(shù)）單葉函數(shù)）設函數(shù)設函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內有定義內有定義,且對且對D內任意不內任意不同的兩點同的兩點z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(z)在在D內內是是單葉的單葉的.并且稱區(qū)域并且稱區(qū)域D為為f(z)的的單葉性區(qū)域單葉性區(qū)域.顯然顯

2、然,區(qū)域區(qū)域D到區(qū)域到區(qū)域G的單葉滿變換的單葉滿變換w=f(z)就是就是D 到到G的一一變換的一一變換.f(z)=z2不是不是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù). f(z)=z3是是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù)32.3.0冪函數(shù)的變換性質及其單葉性區(qū)域冪函數(shù)的變換性質及其單葉性區(qū)域設有冪函數(shù)設有冪函數(shù): w=zn 令令z=rei , w= ei ,則：則：w=zn ei = rnein = rn, =n 于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質：于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質：z平面平面w平面平面射線射線 = 0射線射線 =n 0圓周圓周r=r0圓周圓周 = r0n 0 正正實實軸軸 0 正正實實軸軸4xozyu

3、owvW=znz平面平面w平面平面射線射線 = 0射線射線 =n 0圓周圓周r=r0圓周圓周 = r0n 0n 0角域角域0 0射線射線0 n 0)0 )0 nxozy)0 n5從原點起沿負實軸剪開的從原點起沿負實軸剪開的w平面平面G0z平面平面w平面平面W=zn角域角域 0 0角域角域0 1) 單葉性區(qū)域是頂點單葉性區(qū)域是頂點在原點，張度不超過在原點，張度不超過2 /n的的角形區(qū)域角形區(qū)域的角形域的角形域, 但張角變成為原來的但張角變成為原來的 n 倍倍. 22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法 總之：總之：把以原點為頂點

4、的角形域映射成以原點為頂點把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域72.3.1根式函數(shù)根式函數(shù) 定義定義2.9 若若z=wn,則稱則稱w為為z的的n次根式函數(shù)，記為：次根式函數(shù)，記為：nwz i.e. 根式函數(shù)根式函數(shù) 為冪函數(shù)為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù)的反函數(shù).nwz (1) 根式函數(shù)的多值性根式函數(shù)的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主輻輻角角8 (2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支分出根式函數(shù)的單值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 1) 產(chǎn)生多值的原因產(chǎn)生多值的原因.

5、2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 產(chǎn)生多值的原因是產(chǎn)生多值的原因是:當當z取定后，其輻角不固定，可取定后，其輻角不固定，可以連續(xù)改變以連續(xù)改變2 的整數(shù)倍，對應的函數(shù)值連續(xù)改變到的整數(shù)倍，對應的函數(shù)值連續(xù)改變到下一個值下一個值9 2) 解決的辦法解決的辦法. 限制限制z的輻角的變換，使其輻角的該變量的輻角的變換，使其輻角的該變量argz2 理論上的的做法：理論上的的做法： 從原點從原點O起到點起到點任意引一條射線將任意引一條射線將z平面割破，該平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平

6、面直線稱為割線，在割破了的平面(構成以此割線為邊構成以此割線為邊界的區(qū)域，記為界的區(qū)域，記為G)上，上， argz2 ，從而可將其轉化，從而可將其轉化為單值函數(shù)來研究為單值函數(shù)來研究 常用的做法：常用的做法： 從原點起沿著負實軸將從原點起沿著負實軸將z平平面割破：面割破：zxozyG10 ( ) 2( )zkinnnkkwzr z e 結論：結論： 從從原點起沿著負實軸原點起沿著負實軸將將z平面割破平面割破,即可將根式函數(shù)即可將根式函數(shù):nwz 分成如下的分成如下的n個單值函數(shù)：個單值函數(shù)： 定義域為定義域為22: nkkkTnnnn 值值域域:22kGkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1

7、nknkkzwznz 113wz 例例: : xozyG13 xozyG0- - T03 3 T1T253 uwvoxozyG23 5 23 0,1,2kinkwrek 30inwre 231inwre 432inwre 30inwre 0: -33T 值值域域0:G 定定義義域域2331iwre 10: 3T 值值域域1:23G 定定義義域域4332iwre 225: 3T 值值域域2:345G 定定義義域域122.3.2 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1. 定義定義: (0) , Lnwez zwzwz 若若則則稱稱 為為 對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 記記為為: : 說明：說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)ew

8、=z的反函數(shù)的反函數(shù)Lnz一般不能寫成一般不能寫成lnzLn zez 2.計算公式及多值性說明：計算公式及多值性說明： ,izewuiv 13=ln= wu iviwzezere = ,2()uer vkkE=ln (),2()urvkkEArgz實實對對數(shù)數(shù)Lnln(2)()wzrikkELnln| |zziArgz由于由于Argz的多值性導致的多值性導致w=Lnz是一個具有無窮多值的多值函數(shù)是一個具有無窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：規(guī)定：lnlnlnarg .zriziz 為對數(shù)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)Lnz的主值的主值于是：于是：Lnln2()wzzk i kE z的的主主輻輻角角14. Ln , , 的

9、的一一個個分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一個個單單值值函函數(shù)數(shù)對對于于每每一一個個固固定定的的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的主值的主值時時當當xzzxz 15例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應的主值以及與它們相應的主值求求 20因因為為 arg arg, ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以112LnLn()lnk i )()12(為整數(shù)為整數(shù)kik 注意注意: 在實對數(shù)函數(shù)中在實對數(shù)函數(shù)中, 零和負數(shù)無對數(shù)零和負數(shù)無對數(shù), 這一點這一點 在復對數(shù)函數(shù)中不再成立在復對數(shù)函數(shù)中不再成立.222 Ln Lnln

10、,k i 1因因為為 arg arg(- ), 11Ln. Ln. ()lnii16例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因為因為)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k17例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k18.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)

11、33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln192. 性質性質,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處可導處處可導和其它各分支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復平面內的復平面內包括原點包括原點在除去負實軸在除去負實軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 20證證 (3) , iyxz 設設,0時時當當 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,處處連續(xù)處處連續(xù)在復平面內其它點在復平面內其它點除原點與負實軸除原點與負實軸所以所以z , ln arg是單值的是單值的

12、內的反函數(shù)內的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z 21(3)(4)錯了錯了例：例： 22(1)zz 22(2)LnLnzz (4)2Ln2Lnzz (5)LnLnzz錯了，同志錯了，同志哥！哥！ Ln( 1)(21) 0, 1, 2, Ln(1)2 0, 1, 2,ki kk ik 因因為為決不會相決不會相等！等！原因原因Bernoulli悖論悖論 (3)LnLnLnLnzzzz Lnz是集合是集合記號，應該記號，應該理解為兩個理解為兩個集合相加集合相加A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A 2A223. 分出分出w=Lnz的單值解析分支的單值解析

13、分支從原點起沿著負實軸將從原點起沿著負實軸將z平面割破，就可將平面割破，就可將對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下分成如下n個單值解析分支：個單值解析分支： Lnln(2) 0, 1, 2, 3,kkwzrikk 定義域為定義域為: 2Im2kBkvzk 值值域域:222kGkkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 232.3.3 一般冪函數(shù)與一般指函數(shù)一般冪函數(shù)與一般指函數(shù)1. 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù)Ln11=(0,) zaazDefweza為為復復常常數(shù)數(shù)稱為稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)的一般冪數(shù)函數(shù)2. 一般指數(shù)函數(shù)一般指數(shù)函數(shù)Ln12=(0,) zazaDefwea 為為復復常常數(shù)

14、數(shù)稱為稱為z的一般指數(shù)函數(shù)的一般指數(shù)函數(shù)Ln zez 都是多值函數(shù)，適當割破都是多值函數(shù)，適當割破z平面平面，都可轉化為單值函數(shù)，都可轉化為單值函數(shù)24注意注意: :ln(arg2)azzizkz 由由于于 Ln Ln 是是多多值值的的, , 因因而而 也也是是多多值值的的. .(1)a 當當 為為整整數(shù)數(shù)時時, ,aaLnzze= =ln(arg2)azizke 1. 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù)Ln11=(0,) zaazDefweza為為復復常常數(shù)數(shù)稱為稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)的一般冪數(shù)函數(shù)Ln zez 25(lnarg ) 2azizka ie ln,aze .具有單一的值具有單一的值ba ,0)

15、 ,( )2(時時為互質的整數(shù)為互質的整數(shù)與與當當 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 個值個值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 時相應的值時相應的值即取即取 qk26特殊情況特殊情況: ,)( )1時時正整數(shù)正整數(shù)當當nb Lnannea LnLnLnaaae ) (項項指數(shù)指數(shù) n LnLnLnaaaeee ) (個個因子因子 n.aaa ) (個個因子因子 n ,)( 1 )2時時分數(shù)分數(shù)當當nb Ln11annea nkainkaean2args

16、in2argcos ln127 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的冪函數(shù)就得到一般的冪函數(shù)為一復變數(shù)為一復變數(shù)如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函數(shù)的反函數(shù)及及數(shù)數(shù)就分別得到通常的冪函就分別得到通常的冪函時時與與當當28例例7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習課堂練習.3)( 5

17、 計算計算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik29例例8 8 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 302. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復平面內是單值解析在復平面內是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個分支個分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪

18、函數(shù)nzn它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的內是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn31它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的內是解析的, ,) 1 ( (3)也是一個多值函數(shù)也是一個多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是無窮多值的是無窮多值的為無理數(shù)或負數(shù)時為無理數(shù)或負數(shù)時當當b322.3.4 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz 記作記作的反余弦函數(shù)的反余弦函數(shù)為為那么稱那么稱設設,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得