抽象函數(shù)問題

1、口華羅庚數(shù)學(xué)為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育抽象函數(shù)問題抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征式子的一類函數(shù)由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式抽象，對學(xué)生思維能力考查的起點較高，使得此類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一,使多數(shù)學(xué)生感覺無從下手，望而生畏.事實上，解決此類問題時，只要準(zhǔn)確掌握函數(shù)的性質(zhì)，熟知 我們所學(xué)的基本初等函數(shù)，將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題，問題就迎刃而解了.X丄1典例(2016 全國卷 )已知函數(shù)f(x)(x R)滿足f( X)= 2 f(x),若函數(shù)y=Ud與y= f(x)圖象的 Xm交點為(X1,y),(X2,y2),(m,ym),則(Xiyi)()i 1A 0B mC

2、2mD 4m答案：B思路點撥(1) 由于題目條件中的f(x)沒有具體的解析式，僅給出了它滿足的性質(zhì)f( X)= 2 f(x),即f(x)(x R)為抽象函數(shù)，顯然我們不可能求出這些點的坐標(biāo)，這說明這些交點坐標(biāo)應(yīng)滿足某種規(guī)律，而這種規(guī)律必然和這兩個函數(shù)的性質(zhì)有關(guān).x+ 1(2) 易知函數(shù)y= XzJ關(guān)于點(0,1)成中心對稱，自然而然的讓我們有這樣的想法：函數(shù)f(x)(x R)X的圖象是否也關(guān)于點(0,1)成中心對稱？基于這個想法及選擇題的特點，那么解題方向不外乎兩個： 一是判斷f(x)的對稱性，利用兩個函數(shù)的對稱性求解；二是構(gòu)造一個具體的函數(shù)f(x)來求解.方法演示法一：利用函數(shù)的對稱性由f(

3、 X)= 2 f(x),知f( x) + f(x) = 2,所以點(x, f(x)與點(一x, f(X)連線的中點是(0,1),故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)成中心對稱.(此處也可以這樣考慮：由 f( x) =2 f(x),知 f( x)+ f(x) 2= 0,即f() 1 + f( x) 1 = 0,令 F(X) = f(x) 1 ,貝U F(x)+ F( x)=0,即F(X)= f(x) 1為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(0,0)對稱，而F(X)的圖象可看成是f(x)的圖象向下平移 一個單位得到的，故f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱)又y= 二=1 +丄的圖象也關(guān)于點(0,1)對稱，所以XX

4、兩者圖象的交點也關(guān)于點(0,1)對稱，所以對于每一組對稱點Xi + Xr = 0 , yi + y = 2 ,所以mmmm(Xiyi)Xi + yi= 0 + 2 × = m,故選 B.i 1i =1i = 1法二：構(gòu)造特殊函數(shù)由 f( x) = 2 f(x),知 f( x)+ f(x) 2 = 0,即f() 1 + f( X) 1=0令F(X) = f(x) 1,貝y F(X)為奇函數(shù)，即f(x) 1為奇函數(shù)，從而可令f(x) 1 = X, 即卩f(x)= x+ 1,顯然該函數(shù)滿足此條件此時y= f(x)與y =x+ 1X的交點分別為(1,2)和(一1,0),所以m= 2,(Xii

5、 1yi)1+ 2+ ( 1) + O= 2 ,結(jié)合選項可知選B.解題師說1 解決抽象函數(shù)問題的 2個常用方法函數(shù)性質(zhì)法先研究清楚函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性等性質(zhì)，這樣函數(shù)就不再抽 象了，而是變得相對具體，我們就可以畫出符合性質(zhì)的草圖來解題。特殊值法根據(jù)對題目給出的抽象的函數(shù)性質(zhì)的理解，我們找到一個符合題意的具 體函數(shù)或給變量賦值，把抽象函數(shù)問題化為具體的數(shù)學(xué)問題，從而問題得解。2 解決抽象函數(shù)問題常用的結(jié)論a + b(1)函數(shù) y= f(x)關(guān)于 x = 對稱？ f(a + X)= f(b x)? f(x)= f(b+ a x)特例：函數(shù) y= f(x)關(guān)于 X= a 對稱？ f(a +

6、x) = f(ax)? f(x)= f(2a x);函數(shù)y = f(x)關(guān)于X= 0對稱？ f(x) = f( x)(即為偶函數(shù))函數(shù) y= f(x)關(guān)于點(a, b)對稱? f(a + x) + f(a X)= 2b? f(2a + x) + f( x) = 2b.特例：函數(shù) y= f(x)關(guān)于點(a,0)對稱? f(a+ x) + f(a x) = 0? f(2a + x) + f( X)= 0; 函數(shù)y = f(x)關(guān)于點(0,0)對稱? f(x)+ f( X)= 0(即為奇函數(shù))(3) y= f(x+ a)是偶函數(shù)？函數(shù)y= f(x)關(guān)于直線X= a對稱；y= f(x+ a)是奇函數(shù)？

7、函數(shù)y= f(x)關(guān)于(a,0)對稱.對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值X： 若 f(x+ a) = f(x),貝y T = 2a;1 若 f(x+ a)=丄，則 T = 2a;f x1 若 f(x+ a)=一，貝U T = 2a; (a>0)f X 若 f(x+ a) = f(x + b)(a b),則 T= |a b|; 若 f(2a X)= f(x)且 f(2bX)= f(x)(a b),貝U T= 2|b a|.應(yīng)用體驗1. 已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x R,都有f(f(x) 2x) = 3,則f(3)的值是()B. 7D 12解析：選C由題意，知對任意x

8、 R都有f(f(x) 2x)= 3,不妨令f(x) 2x= c,其中G是常數(shù),則 f(c)= 3 ,所以f(x)= 2x+ c.再令 X=c,貝U f(c)=2c+C =3 ,即2c+C 3 = O易得 2c與3 C 至多只有1 個交點，即 C= 1.所以 f(x)= 2x+ 1,所以 f(3) = 23+ 1 = 9.2. 已知奇函數(shù) f(x)(x D),當(dāng)x>0時，f(x) f(1) = 2.給出下列命題： D = 1,1;對？ x D ,If(X) 2 :？ xo D ,使得f(xo)= 0 :？ X1 D ,使得f(1) = 1.其中所有正確命題的個數(shù)是()A . 0B . 1C

9、. 2D. 3解析：選A由奇函數(shù)f(x)(x D),當(dāng)x>0時，f(x) f(1) = 2,只說明函數(shù)有最值，與定義域無關(guān)，故錯誤；對于，可能f(3) = 3, f(3)= 3>2 ,故錯誤；對于，當(dāng) 0不在D中，且X軸為漸近線時，則不滿足；當(dāng) y= 1為漸近線時，不滿足，因此選 A.3. 已知定義域為 R的函數(shù)y= f(x)滿足f( x)= f(x + 4),當(dāng)x>2時，f(x)單調(diào)遞增，若x1 + X2<4且(X1 2) (X2 2)<0 ,則 f(X1) + f(X2)的值()A .恒大于0B .恒小于0C .可能等于0D .可正可負(fù)解析：選 B 法一：由

10、f( X) = f(x+ 4),得 f( x+ 2)= f(x 2 + 4)= f(x+ 2),即 f(x + 2)=f( X + 2),故函數(shù) f(x)的對稱中心為 M(2,0).令 X = 2,得 f(2) = f(2),解得 f(2) = 0.22F %=2IO又函數(shù)f(x)在2 , + )上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示.由(X1 2)(X2 2)<0 ,可得X1 2與X2 2異號，即X1, X2分布在直線 X= 的兩側(cè)，不妨設(shè) X1 <2<X2.由 X1 + X2<4 ,可得(X1 2) + (X2 2)<0 ,即 |X1 2|>|: 2|,

11、由函數(shù)的對稱性，可知必有f(X1)+ f(x2)<0.法二：由f( x)= f(x + 4)可知，f(2 + x) = f(2 x),則函數(shù)圖象關(guān)于點 (2,0)中心對稱.因為 x<2時，f(x)單調(diào)遞增，所以x>2時，f(x)單調(diào)遞增.因為 X1 + X2<4且(X1 2)(x2 2)<0 ,設(shè) X1<2<X2 ,則 X2<4 X1 ,所以 f(X2)<f(4 X1).又因為 f(4 X1)= f(X1),所以 f(X2)< f(X1), 即 f(X1) + f(X2)<0.升級增分訓(xùn)練一、選擇題11. 函數(shù)f(x)對于任意實

12、數(shù)X滿足條件f(x+ 2)=廠,若f(1) = 5,則f(f(5)的值為()T X1A . 5B . 5C.51 1解析：選D 函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)X滿足條件f(x+ 2) = f , f(x+ 4) = T(x+ 2) + 2 = T-I入I入+厶11=f(x),即函數(shù) f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù). f(1) = 5, f(f(5) = f(f(1) = f( 5) = f(3) = 5.T I52. (2017 天津高考)已知奇函數(shù) f(x)在 R 上是增函數(shù)，g(x)= xf(x).若 a= g( log25.1), b= g(2c8), C聰明在于勤奮，天才在于積累13=g

13、(3),則a, b, C的大小關(guān)系為()A . a<b<cB . c<b<aC. b<a<cD. b<c<a解析：選C 由f(x)為奇函數(shù)，知g(x) = Xf(X)為偶函數(shù).因為f(x)在R上單調(diào)遞增，f(0) = 0,所 以當(dāng) x>0 時，f(x)>0 ,所以 g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，且 g(x)>0.又 a= g(- Iog25.l) = g(log25.l), b =g(208), C= g(3), 20. 8<2 = Iog24<log25.l<log28= 3,所以 b<a<c.

14、3. (2016全國卷 )已知函數(shù)f(x)(x R)滿足f(x)= f(2 x),若函數(shù)y= |x2 2x- 3與 y= f(x)圖象的交m點分別為(X1, y1), (X2, y2), (Xm, ym),則x =()i 1C. 2mD. 4m解析：選B f(x) = f(2-X), 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X= 1 對稱.又 y= x2- 2x- 3|= |(x- 1)24|的圖象關(guān)于直線 X= 1對稱，兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線X= 1對稱.Xi = 2 ×1 = m.m當(dāng)m為偶數(shù)時，x =2× m = m;當(dāng)m為奇數(shù)時,i 14. 已知函數(shù)f(x)的定義域為 R.當(dāng)x

15、<0時，f(x) = x3- 1 ；當(dāng)一1 x 1時，f(-x)=- f(x)；當(dāng)x>*時,1 1f x+ 2 = f X-2 ,則 f(6)=()A . - 2B. - 1C. 0D. 21 1 1解析：選D由題意知當(dāng)x>2時，fx+ 2 = f X-2 ,貝U f(x + 1) = f(x).又當(dāng)一1 x 1時，f(-x)=- f(x), f(6) = f(1) = - f(- 1).又當(dāng) x<0 時，f(x)= X3- 1, f(- 1) = - 2, f(6) = 2.5. 已知定義在 R上的函數(shù)f(x),對任意X R,都有f(x+ 4) = f(x) + f(

16、2)成立，若函數(shù) y= f(x+ 1)的圖 象關(guān)于直線x=- 1對稱，則f(2 018)的值為()A . 2 018B. - 2 018C . 0D . 4解析：選C 依題意得，函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線X= 0對稱，因此函數(shù)y= f(x)是偶函數(shù)，且f(- 2 + 4) = f( - 2) + f(2),即 f(2) = f(2) + f(2),所以 f(2) = 0 ,所以 f(x + 4) = f(x),即函數(shù) y= f(x)是以 4 為周期的函數(shù)，f(2 018) = f(4 × 504 + 2) = f(2) = 0.6. (2018 西三市聯(lián)考)已知f(x)是定義在

17、R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-, 0上單調(diào)遞增，若實數(shù) a 滿足f(2log 3a)>f( - 2),則實數(shù)a的取值范圍是()A . (-,.3)B . (0,.3)C. ( . 3,+ )D . (1 , .3)解析：選B r f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-, 0上單調(diào)遞增， f(x)在區(qū)間0 ,+ )上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得f( .2) = f( I 2), f(20g3a)>f( . 2). V 2log3a>0, f(x)在區(qū)間0 ,+ )上單調(diào)遞減， 0<2log 3a< .2? log3a<2? 0<a< . 3.3

18、7. 設(shè)函數(shù)y= f(x)(x R)的圖象關(guān)于直線 X= 0及直線X= 1對稱，且x 0,1時，f(x) = x2,則f 一d.9解析：選B法一：函數(shù)y= f(x)(x R)的圖象關(guān)于直線 X= 0對稱， f( -x) = f(x).A.1函數(shù) y = f(x)(x R)的圖象關(guān)于直線 X= 1 對稱， f(1- X)= f(1 + x).1 = 1 2= 12 = 2 = 4法二：函數(shù)y= f(x)關(guān)于直線X= 0對稱，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，又關(guān)于 X= 1對稱，則f(2-x)12=1.3 = f3 = " +1 = f1 -12 2 2 1 2=f(x),故 f 3 = f 3

19、 = f 2-3 = f 12 2 2 2 2& 定義在 R 上的函數(shù) y= f(x),滿足 f(4- X) = f(x), (X- 2) ' (x) V 0,若 X1VX2 且 X1 + 2>4 ,則有()A . f(X1) V f(X2)B . f(X1) >f(X2)C . f(X1) = f(X2)D.不確定解析：選B 由f(4- X) = f(x),知函數(shù)f(x)關(guān)于直線X= 2對稱.又(X- 2)f, (X)V 0,故當(dāng)x> 2時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)XV 2時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng) X= 2時，函數(shù)f(x)取得最大值.由X1VX2 且

20、 X1 + X2 > 4 知 X1 離 X= 2 更近，故 f(X1)> f(X2).9. (2018惠州第一次調(diào)研)已知函數(shù)y= f(x)的定義域為 R,且滿足下列三個條件：對任意的X1, X2f X1 一 f X2 4,8,當(dāng)X1V X2時，都有 一 > 0恒成立；f(x+ 4) =- f(x):y= f(x+ 4)是偶函數(shù).若 a X1 X2=f(8), b = f(11), C= f(2 018),則 a, b, C 的大小關(guān)系為()A . a V b V CB . bv CV aC. av CV bD. CV bv a解析：選B 由知函數(shù)f(x)在區(qū)間4,8上為單調(diào)

21、遞增函數(shù)；由知f(x+ 8)=- f(x+ 4) = f(x),即函數(shù)f(x)的周期為8,所以C= f(2 018) = f(252 × 8+ 2) = f(2), b = f(11) = f(3);由可知函數(shù)f(x)的圖 象關(guān)于直線X= 4對稱，所以b= f(3)= f(5), C= f(2) = f(6).因為函數(shù)f(x)在區(qū)間4,8上為單調(diào)遞增函 數(shù)，所以 f(5) Vf(6) V f(8),即 b V CV a.10 .已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x- 4) = - f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()A . f(-25)<f(11)<f(80)

22、B. f(80)<f(11)<f(-25)C . f(11)<f(80)<f( -25)D. f(-25)<f(80)<f(11)解析：選D 因為f(x)滿足f(x-4) = - f(x),所以f(x- 8) = f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周 期函數(shù)，則f( - 25)= f(- 1), f(80) = f(0), f(11) = f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足 f(x 4) =-f(x),得f(11) = f(3) = - f(- 1) = f(1).因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所 以 f(x

23、)在區(qū)間-2,2上是增函數(shù)，所以f(- 1)<f(0)<f(1),即 f( - 25)<f(80)<f(11).11. (2018成都第一次診斷)已知函數(shù)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f( X- 1) = f(x 1),當(dāng)x 511,0時，f(x) = X3,則關(guān)于X的方程f(x) =ICoS X在一2，答案：1解析：因為對任意x R都有f(x÷ 3) = f(x),所以f(x÷ 6) = f(x÷ 3) = f(x),函數(shù)f(x)是周期為 6 的函數(shù)，f(2 018) = f(336×6÷ 2) = f(2).由

24、f(x÷ 3) = f(x)可得 f( 1÷ 3) = f( 1) = f(2),因為函數(shù)1 1 f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f( 1) = f(1) = 2,所以f(2 018) = f(2) = f(1) = 14. 已知定義在 R上的函數(shù)f(x),對任意的實數(shù) X,均有f(x÷ 3) f(x)÷ 3, f(x÷ 2)f(x)÷2且f(1)= 2,貝U f(2 017)的值為.答案：2 018 解析：I f(x÷ 3) f(x)÷ 3, f(x÷ 2) f(x)÷

25、2 , f(x÷ 1) ÷ 2 f(x÷ 3) f(x)÷ 3,二 f(x÷ 1) f(x) ÷上的所有實數(shù)解之和為()A . 7B . 6C.- 3D . 1解析：選A 因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f( X- 1) = f(x+ 1) = f(x 1),所以函數(shù)f(x)的周期為2,又當(dāng)x 1,0時，f(x) = x3,由此在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y= f(x)與 y=|cos 的圖 象如圖所示.由圖象知關(guān)于X的方程f(x)= |cos51欣|在2，£上的實數(shù)解有7個不妨設(shè)X1<X2<X3<X4&l

26、t;X5<X6<X7,則由圖得 X1 ÷ X2= 4,X3+ X5= 2 , X4 = 1, X6÷ X7= 0 ,所以方程 f(x)=|cos Xi在2, 2上的所有實數(shù)解的和為一4 2 1 ÷ 0 = 7.5112. 已知函數(shù)f(x)為定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x0時，有f(x÷ 3) = f(x),且當(dāng)x (0,3)時，f(x)= X ÷ 1,貝U f( 2 017) ÷ f(2 018)=()A . 3B. 2C. 1D. 0解析：選C 因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f( 2 017)= f(2 017),因為當(dāng)x 0 時，有 f(x÷ 3) = f(x),所以 f(x÷ 6) = f(x÷ 3)= f(x),所以 f(x)的周期為 6.又當(dāng) x (0,3)時，f(x)= X ÷ 1,所以 f(2 017) = f(336 × 6÷ 1) = f(1) = 2, f(2 018) = f(336 × 6÷ 2) = f(2) = 3,故 f( 2 017)÷ f(2 018) =f(2 017) ÷ 3 = 2 ÷ 3= 1.二