D1232函數(shù)展開成冪級數(shù)48121學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D1232函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)48121其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共23頁)(00 xxxf為 f (x) 的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù):若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于則對應(yīng)的麥氏級數(shù)為第2頁/共23頁各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的條件是

2、 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明證明:令)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內(nèi)具有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （泰勒中值公式）充要第3頁/共23頁若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共23頁1. 直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否驟如下 :展開方

3、法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式為0. 的函數(shù)展開機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共23頁展開成 x 的冪級數(shù). 解解: 其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ).(0! ) 1(,! ) 1(11nnxRxnxnn通項是收斂級數(shù)第6頁/共23頁展開成 x 的冪級數(shù).解解: 得級數(shù):其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足! ) 1( nn0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共23頁類似可推出:),(x),(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共2

4、3頁展開成 x 的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出 于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù) m, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共23頁2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推導(dǎo)推導(dǎo)則推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為避免研究余項 , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為第10頁/共23頁2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為二項展開式二項展開式 .說明：說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理二項式定理.機動 目錄 上

5、頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得 第11頁/共23頁對應(yīng)的二項展開式分別為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 (第12頁/共23頁利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解: 因為把 x 換成)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共23頁展開成 x 的冪級數(shù).解解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

6、 第14頁/共23頁展成解解: 的冪級數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共23頁展成 x1 的冪級數(shù). 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共23頁1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式1x2!21x式的函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共23頁x11nxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時),(x),(x) 1, 1(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共23頁1. 函數(shù)處 “有泰勒級數(shù)” 與 “能展成泰勒級數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級數(shù) ?提示提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共23頁)()1 (xFx第20頁/共23頁將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)解解:211xx1 時, 此級數(shù)條件收斂,因此 機動 目錄 上頁 下頁 返回