D一元函數(shù)積分學一學習教案

1、會計學1D一元函數(shù)積分學一一元函數(shù)積分學一1.理解原函數(shù)的概念,的性質及定積分中值定理,分法.3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 積分.2.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分掌握換元積分法和分部積4.理解積分上限的函數(shù),會求它的導數(shù),理解不定積分和定積分的概念.掌握牛頓萊布尼茲公式.5.了解反常積分的概念,會計算反常積分.第1頁/共27頁引力、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 及側面積、(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、 旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體體積、功、壓力、質心、形心等)及函數(shù)的平均值.第2頁/共27頁機動 目錄 上頁

2、 下頁 返回 結束 (一一)不定積分不定積分若1.原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義:有則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個原原設函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,函數(shù)函數(shù).稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分不定積分,記為f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù) F (x) + c ,2. 不定積分的性質不定積分的性質:(1)(2)第3頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1). 4.基本積分公式基本積分公式(2)(互逆運算)(1)3.不定積分與微分的關系不定積分與微分的關系(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).第4頁/共27頁機動 目錄

3、上頁 下頁 返回 結束 (9).(10).(11).(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).第5頁/共27頁(1).直接積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2).換元積分法第一類換元積分法(湊微分法)常用湊微分公式:第6頁/共27頁第二類換元積分法(變量代換法)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (正弦代換)(正切代換)(正割代換)(根式代換)三角代換第7頁/共27頁令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 萬能代換:積分步驟:湊微分選 u , v ;(3) 分部積分法代公式;算微分 ;求積分.例如:第8頁/共27頁機

4、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (4) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為真分式真分式;時,)(xR為假分式假分式 .利用多項式綜合除法, 總可以將一個假分式化為一個多項式與一個真分 式之和的形式 . 例如: _ _第9頁/共27頁類型:(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中有理真分式的積分(1)第10頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3)(需用遞推公式計算,不作要求)(4)注注:但計算相當復雜.解題時應尋求更為簡便的方法,如湊微分法、倒代換法等,有理函數(shù)雖然一定可積,盡量避免使用一般方法.第11頁/共27頁1.定積分的定義定積分的定義:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、 (二二) 定積分定積分(七條性質二條推論)2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義:3.定積分的性質定積分的性質:曲邊梯形面積的代數(shù)和.(1)(2)(3)則有(4)則有(5)則有第12頁/共27頁推論1.則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (6). (定積分估值定理)若 M 和 m 分別是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,則有: (7).(定積分中值定理)若f (x) 是a , b上的連續(xù)函數(shù),則在a , b上至少存在一點 , 使等式推論2.成立.并稱為f (x)在a ,b區(qū)間上的平均值.第13頁/共27頁(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 定積分計算法定積分計算法(1

6、)牛頓-萊布尼茲公式(2) 當a = b 時,(2) 定積分換元積分法(3)第14頁/共27頁5.重要公式重要公式(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)若f (x)為a , a上的奇函數(shù),則若f (x)為a , a上的偶函數(shù),則(3)n為奇數(shù)n為偶數(shù)注意注意:余弦函數(shù)無此性質!第15頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 a為任意實數(shù),( (三三) ) 廣義廣義( (反常反常) )積分積分2. 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分則1. .無窮區(qū)間的廣義積分無窮區(qū)間的廣義積分則有:則第16頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的

7、應用:(1). 平面圖形的面積平面圖形的面積則有(四四) 定積分的應用定積分的應用 直角坐標1.定積分微元法定積分微元法若整體量U在區(qū)間a , b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx則xyoxx+dx( )y= f x( )y= g xdAab第17頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 起點x = a 對應參數(shù) t = 按順時針方向決定起點與終點.參數(shù)方程極坐標xyocdyydy( )xy( )xydA終點x = b 對應參數(shù) t = xyoabdAyxdxxxo( )rrdA第18頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 y( )yf xaobxxxdx

8、yxyocd( )xyyydyx第19頁/共27頁弧長元素(弧微分)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若曲線方程為y = f (x) , 則有則有 直角坐標若曲線方程為x = (y) , xyoab( )yf x參數(shù)方程若曲線方程為參數(shù)方程 ( )xt( )yt則有第20頁/共27頁則有3. 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的作用下(1) 變力作功變力作功 設物體在變力從點 a 沿直線移動到點b,(如圖示)則在此過程中變力所作的功為:(力的大小改變方向不變)若變力函數(shù) F (x) 不易確定,也可用微元分析法直接若曲線方程為極坐標方程 確定功的微元

9、dW.注注:xab( )F x第21頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 窄條的壓力微元壓強窄條面積則薄板受到的側壓力為其中 為水的比重.xyobaxxdx( )yf x( )yg xdp(3) 引力引力小段細棒的引力微元yxyo2l2ly+dyaMr由于對稱性第22頁/共27頁年份機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 考點分值定積分應用幾何積分中值定理物理87888990919293949596979833+3337365合計93125141338123變上限積分不定積分計算定積分計算3+333148+3355555156定積分性質3+63+69第23頁/共27頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 年份分值考點99000102030405060708合計3合計984612668271033161631034206118415434431074不定積分計算定積分計算變上限積分定積分應用幾何物理定積分性質積分中值定理10102190944第24頁/共27頁1.不定積分,2.不定積分與定積分計算(主要是換元法和分部法).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4.定積分在幾何和物理中的應用(主要是幾何應用).6.反常積分的概念及其計算.3.變上限積分及其導數(shù).原函數(shù)和定積分的定義.5.定積分性質及積分中值定理.本部分的重點是本部分的重點是:第