D一元函數(shù)積分學(xué)一學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D一元函數(shù)積分學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一1.理解原函數(shù)的概念,的性質(zhì)及定積分中值定理,分法.3.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 積分.2.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分掌握換元積分法和分部積4.理解積分上限的函數(shù),會(huì)求它的導(dǎo)數(shù),理解不定積分和定積分的概念.掌握牛頓萊布尼茲公式.5.了解反常積分的概念,會(huì)計(jì)算反常積分.第1頁/共27頁引力、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 及側(cè)面積、(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、 旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體體積、功、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.第2頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

2、 下頁 返回 結(jié)束 (一一)不定積分不定積分若1.原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義:有則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原原設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,函數(shù)函數(shù).稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分不定積分,記為f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù) F (x) + c ,2. 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì):(1)(2)第3頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1). 4.基本積分公式基本積分公式(2)(互逆運(yùn)算)(1)3.不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).第4頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄

3、上頁 下頁 返回 結(jié)束 (9).(10).(11).(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).第5頁/共27頁(1).直接積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2).換元積分法第一類換元積分法(湊微分法)常用湊微分公式:第6頁/共27頁第二類換元積分法(變量代換法)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (正弦代換)(正切代換)(正割代換)(根式代換)三角代換第7頁/共27頁令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 萬能代換:積分步驟:湊微分選 u , v ;(3) 分部積分法代公式;算微分 ;求積分.例如:第8頁/共27頁機(jī)

4、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為真分式真分式;時(shí),)(xR為假分式假分式 .利用多項(xiàng)式綜合除法, 總可以將一個(gè)假分式化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分 式之和的形式 . 例如: _ _第9頁/共27頁類型:(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中有理真分式的積分(1)第10頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)(需用遞推公式計(jì)算,不作要求)(4)注注:但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜.解題時(shí)應(yīng)尋求更為簡(jiǎn)便的方法,如湊微分法、倒代換法等,有理函數(shù)雖然一定可積,盡量避免使用一般方法.第11頁/共27頁1.定積分的定義定積分的定義:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

5、 (二二) 定積分定積分(七條性質(zhì)二條推論)2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義:3.定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì):曲邊梯形面積的代數(shù)和.(1)(2)(3)則有(4)則有(5)則有第12頁/共27頁推論1.則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (6). (定積分估值定理)若 M 和 m 分別是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,則有: (7).(定積分中值定理)若f (x) 是a , b上的連續(xù)函數(shù),則在a , b上至少存在一點(diǎn) , 使等式推論2.成立.并稱為f (x)在a ,b區(qū)間上的平均值.第13頁/共27頁(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 定積分計(jì)算法定積分計(jì)算法(1

6、)牛頓-萊布尼茲公式(2) 當(dāng)a = b 時(shí),(2) 定積分換元積分法(3)第14頁/共27頁5.重要公式重要公式(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)若f (x)為a , a上的奇函數(shù),則若f (x)為a , a上的偶函數(shù),則(3)n為奇數(shù)n為偶數(shù)注意注意:余弦函數(shù)無此性質(zhì)!第15頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a為任意實(shí)數(shù),( (三三) ) 廣義廣義( (反常反常) )積分積分2. 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分則1. .無窮區(qū)間的廣義積分無窮區(qū)間的廣義積分則有:則第16頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的

7、應(yīng)用:(1). 平面圖形的面積平面圖形的面積則有(四四) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 直角坐標(biāo)1.定積分微元法定積分微元法若整體量U在區(qū)間a , b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx則xyoxx+dx( )y= f x( )y= g xdAab第17頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 起點(diǎn)x = a 對(duì)應(yīng)參數(shù) t = 按順時(shí)針方向決定起點(diǎn)與終點(diǎn).參數(shù)方程極坐標(biāo)xyocdyydy( )xy( )xydA終點(diǎn)x = b 對(duì)應(yīng)參數(shù) t = xyoabdAyxdxxxo( )rrdA第18頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y( )yf xaobxxxdx

8、yxyocd( )xyyydyx第19頁/共27頁弧長(zhǎng)元素(弧微分)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若曲線方程為y = f (x) , 則有則有 直角坐標(biāo)若曲線方程為x = (y) , xyoab( )yf x參數(shù)方程若曲線方程為參數(shù)方程 ( )xt( )yt則有第20頁/共27頁則有3. 定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的作用下(1) 變力作功變力作功 設(shè)物體在變力從點(diǎn) a 沿直線移動(dòng)到點(diǎn)b,(如圖示)則在此過程中變力所作的功為:(力的大小改變方向不變)若變力函數(shù) F (x) 不易確定,也可用微元分析法直接若曲線方程為極坐標(biāo)方程 確定功的微元

9、dW.注注:xab( )F x第21頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 窄條的壓力微元壓強(qiáng)窄條面積則薄板受到的側(cè)壓力為其中 為水的比重.xyobaxxdx( )yf x( )yg xdp(3) 引力引力小段細(xì)棒的引力微元yxyo2l2ly+dyaMr由于對(duì)稱性第22頁/共27頁年份機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 考點(diǎn)分值定積分應(yīng)用幾何積分中值定理物理87888990919293949596979833+3337365合計(jì)93125141338123變上限積分不定積分計(jì)算定積分計(jì)算3+333148+3355555156定積分性質(zhì)3+63+69第23頁/共27頁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 年份分值考點(diǎn)99000102030405060708合計(jì)3合計(jì)984612668271033161631034206118415434431074不定積分計(jì)算定積分計(jì)算變上限積分定積分應(yīng)用幾何物理定積分性質(zhì)積分中值定理10102190944第24頁/共27頁1.不定積分,2.不定積分與定積分計(jì)算(主要是換元法和分部法).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.定積分在幾何和物理中的應(yīng)用(主要是幾何應(yīng)用).6.反常積分的概念及其計(jì)算.3.變上限積分及其導(dǎo)數(shù).原函數(shù)和定積分的定義.5.定積分性質(zhì)及積分中值定理.本部分的重點(diǎn)是本部分的重點(diǎn)是:第