2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一)導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程3 能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題u問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,由三角函數(shù)定義知P點(diǎn)坐標(biāo)為(COSa, Sina).知識(shí)點(diǎn)一誘導(dǎo)公式二思考 角n+a的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？角n+a的終邊與單位圓的交點(diǎn)Pi(cos(n+a) , sin(n+a)與點(diǎn)P(COSa, sina)呢？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān) 系？函數(shù)關(guān)系如下:tan a = tan知識(shí)點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式四a的終邊有什么關(guān)系？角na的終邊與單位圓的交點(diǎn)P3(COS(na) , si

2、n(na)與點(diǎn)F(COSa, sina)有怎樣的關(guān)系？它們的三角函之間 有什么關(guān)系？答案角n+a的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P與P也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的三角sin+a )=sina ,COS任 +a )=COSa ,tan+ a=tana.知識(shí)點(diǎn)二誘導(dǎo)公式三思考角一a的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？角一a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2(COS(a) , Sin( a)與點(diǎn)P(COsa, sina)有怎樣的關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系?答案角一a的終邊與角a的終邊關(guān)于X軸對(duì)稱，P2與P也關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的三角函數(shù)關(guān)系如下:誘導(dǎo)公式三sina = sinCOs a =COsa ,思考角na的終邊

3、與角誘導(dǎo)公式二2答案 角n a的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，P3與P也關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的三角 函數(shù)關(guān)系如下：誘導(dǎo)公式四sin(n a)=sina ,cos(n一a) = 一 cosa ,tan(n a)= tana梳理 公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，它們分別反映了2kn + a(kZ), n+a,a, n a的三角函數(shù)與a的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點(diǎn)是：2kn + a(kZ), n+a, a, n a的三角函數(shù)值等于a的同名函數(shù)值，前面加上一一 個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.題型探究類型一利用誘導(dǎo)公式求值命題角度 i 給角求值問(wèn)題例 i 求下列各三

4、角函數(shù)式的值11n3n(2)sin 4=sin(2n +)43n7n(3)sin(6)=sin(6n +6)(1)cos 210 ;(2)sin11nT ；sin(43n-)；(4)cos( 1 920 ).解(1)cos 210=cos 30 =cos(180 + 30)2 =sin3nnV=sin(n 7)=sin土=二4 = 2 .3(4)cos( 1 920 ) =cos 1 920=cos(5X360+120)=sin=sin(n+ 亍)=sin 才=2.4=cos 120=cos(180 - 60 ) =-cos 60 =-2.反思與感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟：(1)

5、“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化(2)“大化小”：用公式一將角化為0到 360間的角.(3)“角化銳”：用公式二或四將大于90的角轉(zhuǎn)化為銳角(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.跟蹤訓(xùn)練 1 求下列各三角函數(shù)式的值f 31n、(1)sin 1 320 ; (2)cos ;(3)tan( 945 ).解(1)方法一 sin 1 320 = sin(3x360+ 240)=sin 240 = sin(180 + 60 ) = sin 60 =方法二 sin 1 320 = sin(4x360 120 ) = sin( 120)=sin( 180 60 ) = sin 60sin0 =3cos0

6、 ,|0|n,(2)方法一 cos31n631n=f7n=COS i 4n +E, n、n寸 3=cos(n +石)=cos=牙.方法二 cos31n=cos=cosn =cosn=乎.(3)tan(945)= tan 945 = tan(225 +2x360)=tan 225 = tan(180 + 45 ) = tan 451.命題角度 2 給值求角問(wèn)題例 2 已知sin(n + 0)= 3cos(2n 0),101nn，則0等于()A.違 B.答案解析由 sin(n + 0)= -J3cos(2n 0),|n0|y，可得-5即 tan0 = /3,|0|2, 0 =-3.反思與感悟?qū)τ诮o

7、值求角問(wèn)題，先通過(guò)化簡(jiǎn)已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角跟蹤訓(xùn)練 2 已知 sin(na) = -,/2sin(n+B) , .；3cos( a) = 2cos(n+B),0an ,0Bn,求a, B=+述= 2 / sinaa= 7 或又I0Bn ,類型二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 例 3 化簡(jiǎn)下列各式1 + 2sin 290 cos 430 sin 250 + cos 790sin 2n acos (2n a(1)原式=cos fn asina sinacosasina”-=tanacosa cosaSinaCOSa、pl+ 2sin (360 70 cos(36

8、0+70 )原式=sin 180+70+s 720+ 70(1)tan 2n asin2 cosfa nsn ain 5nCOS 6na.;解由題意，得*sinaI 護(hù) COS2 2 2+，得 sina=2sinB , a =J2COS2+3cosa =2,即 sin2a+ 3(1 sin)=2,sin2a=4n分別代入，得cos3 亠32或 cosB=亍56nsin acosin6|cos 70 sin 70sin 70 + cos 70cos 70 sin707_ sin 70 cos 70cos 70 sin 70引申探究cos 190 sin ( 210)cos 350_ tan 58

9、5.、cosa sina(1)原式sin |n + a cosn + a原式=cos(180。+ 10) sin (180+ 30 j|()原式=cos 360+ 10 tan 360+ 225 _ cos 10 sin 30 _=cos 10 tan 180+ 45sin 30 1=tan 45 = 2.甌當(dāng)堂訓(xùn)練1.sin 585 的值為( )答案 A若本例(1)改為:tannn -COsan aCS (nn a)(1n afin (nn+1nsinn+n Z)，請(qǐng)化簡(jiǎn).解當(dāng)n=2k時(shí),原式=tana sina cosCOsa sina=tan當(dāng)n= 2k+ 1 時(shí),原式=tana sin

10、a COsa=一 tancosa sina反思與感悟三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)常用“切化弦”法，即表達(dá)式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù)、,.,22n注意“ 1”的變式應(yīng)用：女口 1 = sina+ cosa= tan .跟蹤訓(xùn)練 3 化簡(jiǎn)下列各式(1)cosn + asin 2n+ a7t cos 7tcosa sin sina cosa=1.A.B. D._32-8解析 sin 585 = sin(360 + 225 ) = sin(180 + 45)9=sin 4516n2.cos()+sin(16n,） 的值為（-寧寧C.,312答案解析原式

11、=cos16n3 sin16n=cossinn=cos + sinn 3 123.已知3ncos(n a)=2(2an),則 tan(a）等于（）1A. 2B.# C.3 D.答案解析方法一 cos(na)=coscosnTa0./ sin=,1cos2a3114=2,tan(7t+ a)=ta nsina33 .況=cosa方法由 cosan2an ,56n二tan訂.tan(7t+ a)=tan4.sin 750解析 / sin0= sin(k360 + B),kZ,sin 750 =sin(2x360+30)10=sin 30 = 2.COSn a解 原式= 一 sin(2na) COS

12、(2na)sin( n +a)cosa2=sina COsa =COsasinap-與育法-1.明確各誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式一將角轉(zhuǎn)化為 02n之間的角求值公式二將 02n內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為 0n之間的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四n將角轉(zhuǎn)化為 0n之間的角求值2. 誘導(dǎo)公式的記憶這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限” 其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號(hào)則是將a看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，a看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上a可以是任意角.3. 已知角求值問(wèn)題，一般要利用誘導(dǎo)公式三和公式一，將負(fù)角化為正角，將大角化為02n之間的角，然后利用特殊角的

13、三角函數(shù)求解 .必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記， 做到“見(jiàn) 角知值，見(jiàn)值知角”課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.COS 600 的值為（）3 A.1B.2c 一遠(yuǎn)C. 2iD.2答案 D解析 COS 600= cos(360 + 240 ) = cos 2405.化簡(jiǎn):COSa7tsin 5n + a-sin(a 2n)COS(2n a).11二 tan 100 = tan 80=cos(180 + 60 ) = cos 6012.卄132.右 cos(n+a) = 2， 2naacb=cos 6n.33n . nC=sin=sin4 bac.COSa門3n又T na2n，a2n ,4 sina=二5s

14、in(a3n)+COS(a n)=sin(3n a)+COS(n a)=sin(n a)+(COSa)=sina COsa = (sina +COsa)=f4+3=1I 55=5.10.已知函數(shù)f(x) =asi n(nx+a) +bcos(nx+3)，且f(4) = 3，貝Uf(2 017)的值為答案 3_2+12 222.7n解析Ta=咗=tan67t9.已知 COs(n+a3)=5,2n， 貝Usin(a 3n)+COs(a n)=答案解析/ cos(na)=COs35,14解析Tf(4) =asin(4n+a) +bCOs(4n+3)=asina +bcos3 =3,15 f(2 01

15、7)=asin(2 017n + a)+bcos(2 017n + 3)=asin(n + a)+bcos(n + 3)=asina bcos3=3.1n11.已知 sin(n a) = log 84,且a( , 0)，貝 U tan(2na)的值為 答案 51212.已知 cos(508 a) = 13,則cos(212 +a)=.13三、解答題13.化簡(jiǎn)下列各式.197(1)sin( n)cos 6n ；197(1)sin( n)cos 6 冗(2)sin( 960 )cos 1 470 cos 240 sin( 210)=sin( 180 +60+2X360 )cos(30 +4X360)+ cos(180 + 60 )sin( 180 + 30)=sin 60 cos 30 + cos 60 sin 30 =1.四、探究與拓展sinnx,x0,66答案 211 11解析 因?yàn)閒( 石)=sin( 一于)答案1213n=sin(石)2=(2)sin( 960 )cos 1 470 cos( 240 )sin( 210 ).=sin(6nn +y)cos(nn+6)=sinn n3 亍 cos =4.1615一 2=_ -22，17所以f（-辛）+噲）2.” L一 、 sin (n+ apOS(2n a$an ( a )15.已矢知f(a)=.tan (n ayin(n a