非線性控制系統(tǒng)分析

1、第九章第九章 非線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論9.1 基本概念基本概念非線性是指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化，即輸非線性是指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化，即輸入輸出靜特性不是一條直線。入輸出靜特性不是一條直線。如果一個控制系統(tǒng)，包含一個或一個以上具有非線性的元件如果一個控制系統(tǒng)，包含一個或一個以上具有非線性的元件或環(huán)節(jié)，稱這樣的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。或環(huán)節(jié)，稱這樣的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程。非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程。非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程。兩者的區(qū)別是非線性系統(tǒng)不滿足齊次性和是非線性微分方程。兩者的區(qū)別是非線性系統(tǒng)不滿

2、足齊次性和可疊加性?？莎B加性。10.1.1 一些常見的非線性特性一些常見的非線性特性1、不靈敏區(qū)、不靈敏區(qū)ry如汽車的油門、離合器等。如汽車的油門、離合器等。2、飽和、飽和限幅限幅ry如如PI調(diào)解器的輸出等。調(diào)解器的輸出等。3、間隙、間隙回環(huán)回環(huán)如齒輪等。如齒輪等。r：主動輪位移；：主動輪位移；y：從動輪位移。：從動輪位移。ry4、繼電器特性、繼電器特性如繼電器如繼電器r：線圈電流；：線圈電流； y：觸頭位移。：觸頭位移。 ry5、摩擦、摩擦摩擦力與速度相反。摩擦力與速度相反。ry速度摩擦力9.1.2 非線性的特點非線性的特點1、不具有齊次性和可疊加性、不具有齊次性和可疊加性線性系統(tǒng)對階躍輸入

3、信號的響應(yīng)曲線特性不因輸入幅值的變線性系統(tǒng)對階躍輸入信號的響應(yīng)曲線特性不因輸入幅值的變化而變化，如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等。化而變化，如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等。非線性系統(tǒng)對階躍輸入信號的響應(yīng)曲線特性卻因輸入幅值的非線性系統(tǒng)對階躍輸入信號的響應(yīng)曲線特性卻因輸入幅值的變化而不同。變化而不同。線性系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，不會因初始狀態(tài)不同而改變，線性系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，不會因初始狀態(tài)不同而改變，它們是由系統(tǒng)本身參數(shù)決定的；而非線性系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)它們是由系統(tǒng)本身參數(shù)決定的；而非線性系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，會因初始狀態(tài)不同而改變。節(jié)時間，會因初始狀態(tài)不同而改變。2、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng)，當對于線性

4、定常系統(tǒng)，當A非奇異時，只有唯一的平衡狀態(tài)非奇異時，只有唯一的平衡狀態(tài)xe=0,當當xe=0穩(wěn)定時，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，并與外輸入和初始狀態(tài)無穩(wěn)定時，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，并與外輸入和初始狀態(tài)無關(guān)，只由系統(tǒng)參數(shù)決定。關(guān)，只由系統(tǒng)參數(shù)決定。非線性系統(tǒng)可有多個平衡狀態(tài)，可能某些平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，非線性系統(tǒng)可有多個平衡狀態(tài)，可能某些平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而另一些平衡狀態(tài)卻是不穩(wěn)定的。初始條件不同，系統(tǒng)的運動而另一些平衡狀態(tài)卻是不穩(wěn)定的。初始條件不同，系統(tǒng)的運動可能趨于不同的平衡狀態(tài)，穩(wěn)定性也就隨之不同，所以非線性可能趨于不同的平衡狀態(tài)，穩(wěn)定性也就隨之不同，所以非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，而且與初始條件有

5、關(guān)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，而且與初始條件有關(guān)。3、自激振蕩、自激振蕩自激振蕩是非線性系統(tǒng)的特有性質(zhì)。原因是由于系統(tǒng)中的非線自激振蕩是非線性系統(tǒng)的特有性質(zhì)。原因是由于系統(tǒng)中的非線性作用，使得系統(tǒng)周期性地從外部獲取能量或向外部釋放能量，性作用，使得系統(tǒng)周期性地從外部獲取能量或向外部釋放能量，從而維持周期性的運動。從而維持周期性的運動。線性系統(tǒng)在臨界不穩(wěn)定時，出現(xiàn)無衰減振蕩情況，但在現(xiàn)實中線性系統(tǒng)在臨界不穩(wěn)定時，出現(xiàn)無衰減振蕩情況，但在現(xiàn)實中不會出現(xiàn)，因為現(xiàn)實中有參數(shù)變化，有外界擾動等情況，會破不會出現(xiàn)，因為現(xiàn)實中有參數(shù)變化，有外界擾動等情況，會破壞振蕩情況的出現(xiàn)，所以說線性系統(tǒng)中的自激振

6、蕩是不穩(wěn)定的。壞振蕩情況的出現(xiàn)，所以說線性系統(tǒng)中的自激振蕩是不穩(wěn)定的。而非線性系統(tǒng)可以保持自激振蕩狀態(tài)而非線性系統(tǒng)可以保持自激振蕩狀態(tài) 。4、畸變現(xiàn)象、畸變現(xiàn)象線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號。信號。非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出不是與輸入同頻率的非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出不是與輸入同頻率的正弦信號，是包含有倍頻和分頻等各種諧波分量的畸變信號。正弦信號，是包含有倍頻和分頻等各種諧波分量的畸變信號。9.2 二階系統(tǒng)的相平面分析二階系統(tǒng)的相平面分析時域分析時域分析 9.2.1 基本概念基本概念相平面法由

7、龐加萊于相平面法由龐加萊于1885年首次提出，相平面法只是分析二階年首次提出，相平面法只是分析二階非線性系統(tǒng)的圖示方法，通過對應(yīng)于各種初始條件下的運動軌非線性系統(tǒng)的圖示方法，通過對應(yīng)于各種初始條件下的運動軌跡，判斷系統(tǒng)固有的動、靜態(tài)特性。相當于研究零輸入時的運跡，判斷系統(tǒng)固有的動、靜態(tài)特性。相當于研究零輸入時的運動軌跡。動軌跡。對于不顯含時間的自治方程，二階系統(tǒng)可用下列常微分方程表對于不顯含時間的自治方程，二階系統(tǒng)可用下列常微分方程表示示),(xxfx 式中式中 是是 和和 的線性或非線性函數(shù)，該方程的的線性或非線性函數(shù)，該方程的解可用解可用 x(t) 和和 t 的關(guān)系曲線描述，也可以將的關(guān)系

8、曲線描述，也可以將 t 作為參變量，用作為參變量，用 和和 關(guān)系曲線描述，后者稱為相平面法。關(guān)系曲線描述，后者稱為相平面法。 和和 稱為相變量或狀態(tài)變量。稱為相變量或狀態(tài)變量。),(xxf)(tx)(tx )(tx )(tx)(tx )(tx如果如果 是運動方程，則是運動方程，則 表示位置，表示位置， 表示表示速度。速度。),(xxfx )(tx)(tx 1、對于二階系統(tǒng)，有、對于二階系統(tǒng)，有 x1 和和 x2 兩個狀態(tài)變量。設(shè)兩個狀態(tài)變量。設(shè)1xx 21xxx 因為狀態(tài)變量不唯一，這樣設(shè)不失一般性。因為狀態(tài)變量不唯一，這樣設(shè)不失一般性。2、以、以 為橫坐標，為橫坐標， 為縱坐標所組成的直角坐

9、標系稱為為縱坐標所組成的直角坐標系稱為相平面。相平面。 )(tx)(tx 3、在某時刻、在某時刻 t ， 和和 對應(yīng)于相平面上的點叫相點，它對應(yīng)于相平面上的點叫相點，它代表了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)，初始相點用代表了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)，初始相點用 表示。表示。)(tx)(tx 00,xx4、隨著時間的推移，相點連成一條線，此線稱為相軌跡。相、隨著時間的推移，相點連成一條線，此線稱為相軌跡。相軌跡上有箭頭，表示時間增加時，相點運動的方向。軌跡上有箭頭，表示時間增加時，相點運動的方向。5、每一個初始狀態(tài)對應(yīng)一條相軌跡，多個初始狀態(tài)對應(yīng)一簇、每一個初始狀態(tài)對應(yīng)一條相軌跡，多個初始狀態(tài)對應(yīng)一簇相軌跡，這種圖

10、像叫相平面圖。相軌跡，這種圖像叫相平面圖。6、用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法叫相平面法。只能研究二階、用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法叫相平面法。只能研究二階系統(tǒng)。系統(tǒng)。對于下面用微分方程描述的二階系統(tǒng)，可以表示成兩個一階對于下面用微分方程描述的二階系統(tǒng)，可以表示成兩個一階微分方程，即狀態(tài)方程微分方程，即狀態(tài)方程 0),(),(01xxxaxxxax xxxx21設(shè)狀態(tài)變量為設(shè)狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程為則狀態(tài)方程為),(),(21222111xxfxxxfx22111210221),(),(-xxxaxxxaxxx寫成一般形式寫成一般形式用用 x2 對對 x1 的關(guān)系曲線來表示狀態(tài)方程的解。的關(guān)系曲線

11、來表示狀態(tài)方程的解。10.2.2相平面圖的建立相平面圖的建立對于微分方程對于微分方程 ),(xxfx xxxx21設(shè)設(shè) 建立相平面：用橫軸表示建立相平面：用橫軸表示x1，縱軸表示，縱軸表示x2 。則狀態(tài)方程為則狀態(tài)方程為),(21221xxfxxx則則 212112112221),(xdxdxxdxdxdtdxdxdxdtdxxxf可以寫成可以寫成12122),(dxxxfdxx22112),(xxxfdxdx上式稱為相軌跡方程。上式稱為相軌跡方程。對于一個初始狀態(tài)，相軌跡方程在相平面上對應(yīng)一條相軌跡曲對于一個初始狀態(tài)，相軌跡方程在相平面上對應(yīng)一條相軌跡曲線，對于多個初始狀態(tài)，相軌跡方程在相平

12、面上則對應(yīng)一簇相線，對于多個初始狀態(tài)，相軌跡方程在相平面上則對應(yīng)一簇相軌跡曲線。軌跡曲線。x1和和x2的關(guān)系曲線稱為相軌跡，則相軌跡方程表示的是相軌跡的關(guān)系曲線稱為相軌跡，則相軌跡方程表示的是相軌跡的斜率，因此也稱相軌跡方程為斜率方程。的斜率，因此也稱相軌跡方程為斜率方程。注意：線性系統(tǒng)的響應(yīng)不隨初始狀態(tài)不同而變化。注意：線性系統(tǒng)的響應(yīng)不隨初始狀態(tài)不同而變化。10.2.3 相軌跡的特點相軌跡的特點 1、孤立的平衡狀態(tài)稱為奇點，在奇點上相軌跡曲線相交。、孤立的平衡狀態(tài)稱為奇點，在奇點上相軌跡曲線相交。在奇點處在奇點處0),(021221xxfxxx相軌跡在奇點處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可

13、以按任相軌跡在奇點處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此，在奇點上相軌跡曲線相交。而意方向趨近或離開奇點，因此，在奇點上相軌跡曲線相交。而在非奇點處不存在切線斜率不定的情況，故經(jīng)過普通點的相軌在非奇點處不存在切線斜率不定的情況，故經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條。跡只有一條。0012dxdx3、在上半相平面，、在上半相平面， ，表示，表示x(t)是遞增的，所以曲線的方是遞增的，所以曲線的方向是由左向右的方向。而在下半相平面，向是由左向右的方向。而在下半相平面， ，表示，表示x(t)是是遞減的，所以曲線的方向是由右向左的方向。遞減的，所以曲線的方向是由右向左的方向。0 x

14、 0 x 4、 時，即相軌跡曲線與橫軸交點處，相軌跡垂直于橫時，即相軌跡曲線與橫軸交點處，相軌跡垂直于橫軸。軸。0 x 5、由相平面圖可以求系統(tǒng)時間響應(yīng)。、由相平面圖可以求系統(tǒng)時間響應(yīng)。 2、除奇點外，相軌跡具有單值性，不相交。、除奇點外，相軌跡具有單值性，不相交。例：運動方程為例：運動方程為 02xxn 畫相平面圖，分析時間響應(yīng)。畫相平面圖，分析時間響應(yīng)。解：解： 設(shè)設(shè) 1xx 2xx 122121xxdxdxxxn 則則 可以寫成可以寫成11222dxxdxxn兩邊積分得兩邊積分得 212222121xcxnc 為初始條件產(chǎn)生的常數(shù)，上式變形為為初始條件產(chǎn)生的常數(shù)，上式變形為2222212

15、nncxx依依 c 的不同，上述方程式對應(yīng)的相軌跡是一簇橢圓如圖所示。的不同，上述方程式對應(yīng)的相軌跡是一簇橢圓如圖所示。以以 A 點做為初始狀態(tài)的時間響應(yīng)如圖所示。畫法是將輸出點做為初始狀態(tài)的時間響應(yīng)如圖所示。畫法是將輸出x畫畫在與在與x1平行的位置，依平行的位置，依x1值的變化，考慮時間因素，可畫出時值的變化，考慮時間因素，可畫出時間響應(yīng)。間響應(yīng)。t1x2xxtxA6、奇線、奇線-極限環(huán)極限環(huán) 非線性系統(tǒng)存在自振情況（固定頻率和振幅），與自振情況相非線性系統(tǒng)存在自振情況（固定頻率和振幅），與自振情況相對應(yīng)，在相平面上會出現(xiàn)一條孤立的封閉曲線，稱為極限環(huán)。對應(yīng)，在相平面上會出現(xiàn)一條孤立的封閉曲

16、線，稱為極限環(huán)。也就是當系統(tǒng)運行在極限環(huán)上時，處于自激振蕩狀態(tài)。也就是當系統(tǒng)運行在極限環(huán)上時，處于自激振蕩狀態(tài)。無外界擾動時，極限環(huán)把相平面分成內(nèi)外兩部分，相軌跡不能無外界擾動時，極限環(huán)把相平面分成內(nèi)外兩部分，相軌跡不能穿越極限環(huán)，從一部分進入另一部分。穿越極限環(huán)，從一部分進入另一部分。奇線是一種特殊相軌跡，它是相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌奇線是一種特殊相軌跡，它是相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌跡的分界線，將相平面劃分為兩個不同性質(zhì)的運動區(qū)域，也稱跡的分界線，將相平面劃分為兩個不同性質(zhì)的運動區(qū)域，也稱為分割線。最常見的奇線是極限環(huán)。為分割線。最常見的奇線是極限環(huán)。封閉的相軌跡表示系統(tǒng)有周期運動，

17、但周期運動不一定是自激封閉的相軌跡表示系統(tǒng)有周期運動，但周期運動不一定是自激振蕩，即封閉的相軌跡不一定是極限環(huán)。只有孤立的封閉曲線振蕩，即封閉的相軌跡不一定是極限環(huán)。只有孤立的封閉曲線才是極限環(huán)。才是極限環(huán)。極限環(huán)附近的相軌跡會趨向極限環(huán)或離開極限環(huán)，而非極限環(huán)極限環(huán)附近的相軌跡會趨向極限環(huán)或離開極限環(huán)，而非極限環(huán)的封閉相軌跡不具有這個性質(zhì)。的封閉相軌跡不具有這個性質(zhì)。極限環(huán)具有封閉性和孤立性，前者表明極限環(huán)的周期運動性質(zhì)，極限環(huán)具有封閉性和孤立性，前者表明極限環(huán)的周期運動性質(zhì)，后者表明極限環(huán)的極限性質(zhì)。后者表明極限環(huán)的極限性質(zhì)。依附近相軌跡的特點，將極限環(huán)分為三種類型：依附近相軌跡的特點，將

18、極限環(huán)分為三種類型：第一種：穩(wěn)定的極限環(huán)第一種：穩(wěn)定的極限環(huán)當當t時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡卷向極限時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡卷向極限環(huán)，則該極限環(huán)叫穩(wěn)定極限環(huán)。環(huán)，則該極限環(huán)叫穩(wěn)定極限環(huán)。此時，內(nèi)部相軌跡發(fā)散至極限環(huán)，內(nèi)部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。外此時，內(nèi)部相軌跡發(fā)散至極限環(huán)，內(nèi)部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。外部相軌跡收斂至極限環(huán)，外部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域。部相軌跡收斂至極限環(huán)，外部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域。系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為自振蕩，且與初始狀態(tài)無關(guān)，只與參數(shù)有關(guān)。系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為自振蕩，且與初始狀態(tài)無關(guān)，只與參數(shù)有關(guān)。因為極限環(huán)本身就是自振蕩的描述，即有穩(wěn)定的極限環(huán)必存在因為極限環(huán)本身就是自振蕩的描

19、述，即有穩(wěn)定的極限環(huán)必存在自振蕩。自振蕩。 xxax tbba第二種：不穩(wěn)定的極限環(huán)第二種：不穩(wěn)定的極限環(huán)當當t時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡均卷離極限時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡均卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)叫不穩(wěn)定極限環(huán)。環(huán)，則該極限環(huán)叫不穩(wěn)定極限環(huán)。此時，內(nèi)部相軌跡收斂至環(huán)內(nèi)的奇點，內(nèi)部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域。此時，內(nèi)部相軌跡收斂至環(huán)內(nèi)的奇點，內(nèi)部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域。外部相軌跡發(fā)散至無窮遠處，外部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。外部相軌跡發(fā)散至無窮遠處，外部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為不穩(wěn)定，不是收斂就是發(fā)散，隨著初始狀態(tài)系統(tǒng)的運動表現(xiàn)為不穩(wěn)定，不是收斂就是發(fā)散，隨著初始狀態(tài)不同而不同。初始狀態(tài)

20、處于極限環(huán)內(nèi)系統(tǒng)收斂，初始狀態(tài)處于不同而不同。初始狀態(tài)處于極限環(huán)內(nèi)系統(tǒng)收斂，初始狀態(tài)處于極限環(huán)外系統(tǒng)發(fā)散。極限環(huán)外系統(tǒng)發(fā)散。xx txabba第三種：半穩(wěn)定的極限環(huán)第三種：半穩(wěn)定的極限環(huán)當時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡均卷向極限當時，如果起始于極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡均卷向極限環(huán)，而起始于極限環(huán)外部（或內(nèi)部）的相軌跡均離開極限環(huán)，環(huán)，而起始于極限環(huán)外部（或內(nèi)部）的相軌跡均離開極限環(huán)，則該極限環(huán)叫半穩(wěn)定極限環(huán)。則該極限環(huán)叫半穩(wěn)定極限環(huán)。此時，有兩種情況：此時，有兩種情況：1、內(nèi)部和外部區(qū)域都為穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)運動是穩(wěn)定的。系統(tǒng)、內(nèi)部和外部區(qū)域都為穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)運動是穩(wěn)定的。系統(tǒng)處于

21、環(huán)外時，會趨于極限環(huán)，在擾動作用下進入極限環(huán)，處于環(huán)外時，會趨于極限環(huán)，在擾動作用下進入極限環(huán)，最后趨于奇點，穩(wěn)定運行。最后趨于奇點，穩(wěn)定運行。x tbbaxxa2、內(nèi)部和外部區(qū)域都為不穩(wěn)定區(qū)域。系統(tǒng)運動是不穩(wěn)定的。、內(nèi)部和外部區(qū)域都為不穩(wěn)定區(qū)域。系統(tǒng)運動是不穩(wěn)定的。xb xtabax 10.3描述函數(shù)法描述函數(shù)法頻域分析頻域分析主要用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求系統(tǒng)的振蕩頻率和振幅。非線主要用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求系統(tǒng)的振蕩頻率和振幅。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用李亞普諾夫穩(wěn)定理論來分析，此處介紹另性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用李亞普諾夫穩(wěn)定理論來分析，此處介紹另一種分析方法。一種分析方法。10.3.1基本概念基本

22、概念1、限制條件、限制條件第一、非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以簡化為只有一個非線性環(huán)節(jié)第一、非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以簡化為只有一個非線性環(huán)節(jié)N和和一個線性環(huán)節(jié)一個線性環(huán)節(jié)G(s)相串聯(lián)的典型形式。相串聯(lián)的典型形式。第二、非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對稱的，即第二、非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對稱的，即-)(sG)(tx)(trN)(ty)(tc)()(xyxy這樣的非線性特性可以保證在正弦信號作用下，輸出信號不包這樣的非線性特性可以保證在正弦信號作用下，輸出信號不包含恒定分量，即平均值為零。含恒定分量，即平均值為零。第三、線性部分具有較好的低通濾波性能。這樣，非線性環(huán)節(jié)第三、線性部分具有較好的低通濾波性能。

23、這樣，非線性環(huán)節(jié)的輸入是正弦信號時，輸出信號中的高次諧波分量將被大大地的輸入是正弦信號時，輸出信號中的高次諧波分量將被大大地削弱，近似只有一次諧波可以通過。削弱，近似只有一次諧波可以通過。由于線性環(huán)節(jié)沒有高次諧波通路，所以由于線性環(huán)節(jié)沒有高次諧波通路，所以y(t)處就沒有了高次諧處就沒有了高次諧波，或者說，由于線性濾波作用，可以認為整個系統(tǒng)就不含高波，或者說，由于線性濾波作用，可以認為整個系統(tǒng)就不含高次諧波。次諧波。2、描述函數(shù)的定義、描述函數(shù)的定義 在一定假設(shè)條件下，將非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出信在一定假設(shè)條件下，將非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出信號用一次諧波信號來近似，并導(dǎo)出非線性

24、環(huán)節(jié)的等效頻率特性，號用一次諧波信號來近似，并導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的等效頻率特性，這個等效頻率特性稱為描述函數(shù)。這個等效頻率特性稱為描述函數(shù)。設(shè)輸入信號為設(shè)輸入信號為 tAtxsin)(一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的輸出是與輸入同頻率的非正弦周期一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的輸出是與輸入同頻率的非正弦周期函數(shù)，可以展成付氏級數(shù)：函數(shù)，可以展成付氏級數(shù)：10)sincos()(nnntnBtnAAtyA0：直流分量；：直流分量； An和和Bn：各次諧波的幅值。：各次諧波的幅值。 依第二個條件得：依第二個條件得： 依第三個條件可近似為依第三個條件可近似為00A)()(1tytytBtAsincos11)sin(11

25、tY式中式中 21211BAY201)(cos)(1ttdtyA201)(sin)(1ttdtyB111arctanBA這時輸出近似成一個與輸入信號同頻率的正弦信號，只不過幅這時輸出近似成一個與輸入信號同頻率的正弦信號，只不過幅值和相位不同罷了。把輸出信號一次諧波分量對應(yīng)的復(fù)數(shù)和輸值和相位不同罷了。把輸出信號一次諧波分量對應(yīng)的復(fù)數(shù)和輸入信號對應(yīng)的復(fù)數(shù)之比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。入信號對應(yīng)的復(fù)數(shù)之比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用用 N(A) 表示。表示。輸入信號輸入信號 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為對應(yīng)的復(fù)數(shù)為tAtxsin)(tjtAAetjsincos輸出信號輸出信號 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為對應(yīng)的復(fù)數(shù)為)sin(

26、)(11tYty)(11tjeYN(A)是輸入信號幅值是輸入信號幅值A(chǔ)的函數(shù)，是個復(fù)數(shù)，形式上與頻率特性的函數(shù)，是個復(fù)數(shù)，形式上與頻率特性相同。當非線性環(huán)節(jié)含有儲能元件時，相同。當非線性環(huán)節(jié)含有儲能元件時， N(A)也是輸入信號頻也是輸入信號頻率率的函數(shù)，應(yīng)表示為的函數(shù)，應(yīng)表示為N(A ,) 。但實際上大多數(shù)非線性環(huán)節(jié)。但實際上大多數(shù)非線性環(huán)節(jié)不含儲能元件，所以常見的非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)用不含儲能元件，所以常見的非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)用N(A)表示。表示。 1111arctan21211)(1)()()(BAjjtjtjANjeABAeAYAeeYeANAN非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)相當于線性系統(tǒng)的頻

27、率特性。從描述函非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)相當于線性系統(tǒng)的頻率特性。從描述函數(shù)數(shù)N(A)的表達式可以看出，當輸入為正弦信號時，輸出信號與的表達式可以看出，當輸入為正弦信號時，輸出信號與輸入信號只是幅值與初始相位不同。也就是說，能用描述函數(shù)輸入信號只是幅值與初始相位不同。也就是說，能用描述函數(shù)表示的系統(tǒng)，可以看作是線性系統(tǒng)。表示的系統(tǒng)，可以看作是線性系統(tǒng)。描述函數(shù)法的實質(zhì)是一種諧波線性化方法，其基本思想是用非描述函數(shù)法的實質(zhì)是一種諧波線性化方法，其基本思想是用非線性環(huán)節(jié)輸出信號中的基波分量近似代替正弦信號作用下的實線性環(huán)節(jié)輸出信號中的基波分量近似代替正弦信號作用下的實際輸出，即忽略輸出中的高次諧波分量

28、。還不能把際輸出，即忽略輸出中的高次諧波分量。還不能把N(A)稱為是稱為是線性環(huán)節(jié)，這樣稱呼不嚴格，因為只有在輸入信號為正弦信號線性環(huán)節(jié)，這樣稱呼不嚴格，因為只有在輸入信號為正弦信號時才有這種近似，其他情況不成立，而線性環(huán)節(jié)對任何輸入信時才有這種近似，其他情況不成立，而線性環(huán)節(jié)對任何輸入信號都存在線性性質(zhì)。號都存在線性性質(zhì)。10.3.2 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析很多非線性系統(tǒng)經(jīng)過簡化，可以化為由線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)很多非線性系統(tǒng)經(jīng)過簡化，可以化為由線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)的系統(tǒng)。（第一限定條件）相串聯(lián)的系統(tǒng)。（第一限定條件）當非線性環(huán)節(jié)滿足條件可以用描述函數(shù)表示時，非線性系統(tǒng)

29、的當非線性環(huán)節(jié)滿足條件可以用描述函數(shù)表示時，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題可以近似用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)來判斷。穩(wěn)定性問題可以近似用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)來判斷。1、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的特征方程為線性系統(tǒng)的特征方程為 0)(1sGk1)(sGk用頻率特性表示為用頻率特性表示為 1)(jGk（A） 由奈氏判據(jù)知，對于由奈氏判據(jù)知，對于Gk(s)沒有右半開平面極點的系統(tǒng)，當沒有右半開平面極點的系統(tǒng)，當Gk(j)曲線不包圍曲線不包圍-1時，系統(tǒng)穩(wěn)定；，當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；，當Gk(j)曲線包圍曲線包圍-1時，時，系統(tǒng)不穩(wěn)定；，當系統(tǒng)不穩(wěn)定；，當Gk(j)曲線經(jīng)過曲線經(jīng)過-1時，系統(tǒng)臨界不穩(wěn)

30、定，此時，系統(tǒng)臨界不穩(wěn)定，此時產(chǎn)生等幅振蕩，所以（時產(chǎn)生等幅振蕩，所以（A）式是產(chǎn)生自振蕩的條件。）式是產(chǎn)生自振蕩的條件。2、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-)(sG)(tx)(tr)(ty)(tc)(AN)()(1)()()()(sGANsGANsRsC特征方程為特征方程為 0)()(1sGAN)(1)(ANsG用頻率特性表示為用頻率特性表示為 )(1)(ANjG（B） 稱為非線性特性的負倒描述函數(shù)。它也復(fù)數(shù)。稱為非線性特性的負倒描述函數(shù)。它也復(fù)數(shù)。 見見P331表表10-2。 對比（對比（A）、（）、（B）兩式可知，）兩式可知， （B）式與）式與“-1”相當，即（相當，即（B）

31、式也是系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件，只是系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的臨界點式也是系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件，只是系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的臨界點不是一個固定的點，而是一個隨不是一個固定的點，而是一個隨A變化的一條負倒描述函數(shù)曲變化的一條負倒描述函數(shù)曲線。線。推廣的奈氏判據(jù)：推廣的奈氏判據(jù)：若若Gk(j)曲線不包圍曲線不包圍-1/N(A)曲線，如圖所示，則非線性系統(tǒng)曲線，如圖所示，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，兩者相距越遠，穩(wěn)定程度越高；穩(wěn)定，兩者相距越遠，穩(wěn)定程度越高； ReIm0)(jG)(1AN若若Gk(j)曲線包圍曲線包圍-1/N(A)曲線，如圖所示，設(shè)曲線，如圖所示，設(shè)G(s)穩(wěn)定（極點穩(wěn)定（極點都位于左半平面），則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)

32、定的。當受到擾動后，都位于左半平面），則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當受到擾動后，系統(tǒng)輸出將無限增加，直至發(fā)生故障或增至極限位置為止。系統(tǒng)輸出將無限增加，直至發(fā)生故障或增至極限位置為止。 ImRe0)(jG)(1AN若若Gk(j)曲線與曲線與-1/N(A)曲線相交，如圖所示，則非線性系統(tǒng)曲線相交，如圖所示，則非線性系統(tǒng)存在周期運動，它可以是穩(wěn)定的，也可以是不穩(wěn)定的。周期運存在周期運動，它可以是穩(wěn)定的，也可以是不穩(wěn)定的。周期運動的頻率取決于交點處動的頻率取決于交點處Gk(j)的頻率，幅值取決于交點處的頻率，幅值取決于交點處-1/N(A)的的A值。值。 ImRe0)(jG)(1ANABCDGk(j)曲線

33、與曲線與-1/N(A)曲線相交的交點滿足（曲線相交的交點滿足（B）式，因此每個）式，因此每個交點均對應(yīng)一個周期運動，但是只有穩(wěn)定的周期運動才是系統(tǒng)交點均對應(yīng)一個周期運動，但是只有穩(wěn)定的周期運動才是系統(tǒng)的自振蕩。所以，要判斷系統(tǒng)是否存在自振蕩，還必須研究周的自振蕩。所以，要判斷系統(tǒng)是否存在自振蕩，還必須研究周期運動的穩(wěn)定性。期運動的穩(wěn)定性。所謂穩(wěn)定的周期運動，是指系統(tǒng)受到輕微擾動作用后，偏離原所謂穩(wěn)定的周期運動，是指系統(tǒng)受到輕微擾動作用后，偏離原來的運動狀態(tài)，在擾動消除后，系統(tǒng)的運動能重新收斂于原來來的運動狀態(tài)，在擾動消除后，系統(tǒng)的運動能重新收斂于原來的等幅振蕩。的等幅振蕩。不穩(wěn)定的周期運動，是

34、指系統(tǒng)受到輕微擾動作用后，系統(tǒng)的運不穩(wěn)定的周期運動，是指系統(tǒng)受到輕微擾動作用后，系統(tǒng)的運動不能重新收斂于原來的等幅振蕩。動不能重新收斂于原來的等幅振蕩。判定周期運動的穩(wěn)定性：判定周期運動的穩(wěn)定性：在復(fù)平面上，將在復(fù)平面上，將Gk(j)包圍的區(qū)域看成是不穩(wěn)定區(qū)域，不被包圍的區(qū)域看成是不穩(wěn)定區(qū)域，不被Gk(j)包圍的區(qū)域看成是穩(wěn)定區(qū)域，那么當交點處的包圍的區(qū)域看成是穩(wěn)定區(qū)域，那么當交點處的-1/N(A)曲線，沿著振幅曲線，沿著振幅A增加的方向是由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域時，增加的方向是由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域時，則該交點代表的是穩(wěn)定的周期運動。反之，如果交點處的則該交點代表的是穩(wěn)定的周期運動。反之，

35、如果交點處的-1/N(A)曲線，沿著振幅曲線，沿著振幅A增加的方向是由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定增加的方向是由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域時，則該交點代表的是不穩(wěn)定的周期運動。區(qū)域時，則該交點代表的是不穩(wěn)定的周期運動。如果如果Gk(j)與與-1/N(A)有相交情況，若使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，應(yīng)選有相交情況，若使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，應(yīng)選擇合適的輸入信號振幅擇合適的輸入信號振幅A，使，使-1/N(A)的工作段處在穩(wěn)定區(qū)域。的工作段處在穩(wěn)定區(qū)域。 ImRe0)(jG)(1ANABCD穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域消除不穩(wěn)定的根本辦法是調(diào)整線性的消除不穩(wěn)定的根本辦法是調(diào)整線性的Gk(j) ，使其不包圍，使其不包圍-1/N(A) 。下面具體討論周期運動的穩(wěn)定性的問題，即交點的情況，驗證下面具體討論周期運動的穩(wěn)定性的問題，即交點的情況，驗證前述的正確性。前述的正確性。依穩(wěn)定周期運動的定義知，穩(wěn)定周期運動是指系統(tǒng)受到輕微擾依穩(wěn)定周期運動的定義知，