擴(kuò)頻通信(3)n1

1、擴(kuò)展頻譜技術(shù)（擴(kuò)展頻譜技術(shù)（3）劉乃安N 西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室擴(kuò)頻編碼技術(shù)擴(kuò)頻編碼技術(shù)內(nèi)容提要偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述m m序列序列GoldGold碼碼M M序列序列其它其它PNPN碼碼DSDS系統(tǒng)用偽碼系統(tǒng)用偽碼FHFH系統(tǒng)用偽碼系統(tǒng)用偽碼偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述Shannon編碼定理：只要信息速率Ra小于信道容量C，則總可以找到某種編碼方法，使在碼字相當(dāng)長(zhǎng)的條件下，能夠幾乎無(wú)差錯(cuò)地從遭受到高斯白噪聲干擾的信號(hào)中復(fù)制出原發(fā)送信息。兩個(gè)條件：1）RaC；2）編碼字足夠長(zhǎng)。Shannon在證明編碼定理時(shí)，提出了用具有白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的信號(hào)來編碼。白噪聲是一種隨機(jī)過程，它

2、的瞬時(shí)值服從正態(tài)分布，功率譜在很寬的頻帶內(nèi)都是均勻的，它有極其優(yōu)良的相關(guān)特性。偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述但是，真正的白噪聲不能重復(fù)再現(xiàn)和產(chǎn)生，至今還無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)白噪聲的放大、調(diào)制、檢測(cè)、同步及控制等，因此，只能用具有類似于帶限白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的偽隨機(jī)碼（PN碼）來逼近它，并作為擴(kuò)頻系統(tǒng)的擴(kuò)頻碼。為什么要選用隨機(jī)信號(hào)或噪聲性能的信號(hào)來傳輸信息呢？許多理論研究表明，在信息傳輸中各種信號(hào)之間的差別性能越大越好。這樣任意兩個(gè)信號(hào)不容易混淆，也就是說，相互之間不易發(fā)生干擾，不會(huì)發(fā)生誤判。理想的傳輸信息的信號(hào)形式應(yīng)是類似噪聲的隨機(jī)信號(hào)，因?yàn)槿∪魏螘r(shí)間上不同的兩段噪聲來比較都不會(huì)完全相似。用它們代表兩種信號(hào)，

3、其差別性就最大。 偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述在數(shù)學(xué)上是用自相關(guān)函數(shù)來表示信號(hào)與它自身相移以后的相似性的。隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的定義為 f(t)為信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，為時(shí)間延遲。上式的物理概念是f(t)與其相對(duì)延遲的 的f( t - )來比較: 如二者不完全重疊，即 0，則乘積的積分 a()為0； 如二者完全重疊，即0；則相乘積分后a(0)為一常數(shù)。因此，a()的大小可用來表征 f(t)與自身延遲后的f( t )的相關(guān)性，故稱為自相關(guān)函數(shù)。 偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述高斯白噪聲的理想特性為)(2)(0nRn2)(0nGn偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述設(shè)有兩條長(zhǎng)為N的序列a和b，序列中的元素分別為a

4、i和bi，i0，1，2，3，4，N-1，則序列的自相關(guān)函數(shù)Ra(j)定義為：10)(NijiiaaajR由于a為周期性序列，故有aN+1=ai。其自相關(guān)系數(shù)a(j)定義為： 101)(NijiiaaaNj偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述PN碼就是一種具有近似隨機(jī)噪聲這種理想二值自相關(guān)特性的碼序列偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述兩個(gè)不同信號(hào)波形f(t)與g(t)之間的相似性用互相關(guān)函數(shù)來表示： 如果兩個(gè)信號(hào)都是完全隨機(jī)的，在任意延遲時(shí)間 都不相同，則上式（互相關(guān)函數(shù)）為0。這時(shí)稱這兩個(gè)信號(hào)是正交的。如果有一定的相似性，則不完全為0。通常希望兩個(gè)信號(hào)的互相關(guān)值越小越好，則它們?cè)饺菀妆粎^(qū)分，且相互之間的干擾

5、也小。v有許多用戶共用一個(gè)信道，要區(qū)分不同用戶的信號(hào)，就得靠相互之間的區(qū)別或不相似性來區(qū)分。換句話說，就是要選用互相關(guān)性小的信號(hào)來表示不同的用戶。偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述序列a和序列b的互相關(guān)函數(shù)Rab(j)定義為 互相關(guān)系數(shù)定義為 10)(NijiiabbajR101)(NijiiabbaNj對(duì)于二進(jìn)制序列，可以表示為NDAjab)( Aa和b的對(duì)應(yīng)碼元相同數(shù)目。 Da和b的對(duì)應(yīng)碼元不相同數(shù)目。若pab(j)=0，則定義序列a與序列b正交。偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述序列a的部分相關(guān)函數(shù)和部分相關(guān)系數(shù)分別為序列a與序列b的部分互相關(guān)函數(shù)和部分互相關(guān)系數(shù)分別為 t為某一常數(shù) 111)()(

6、tPtijiiaPtPtijiiaPNPaaNjNPaajR111)()(tPtijiiabPtPtijiiabPNPbaNjNPbajR偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述凡自相關(guān)系數(shù)具有 形式的碼，稱為狹義偽隨機(jī)碼 。10102011011)(NijiiNiiajNaaNjaNj偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述凡自相關(guān)系數(shù)具有 形式的碼，稱為第一類廣義偽隨機(jī)碼 。10102011011)(NijiiNiiajcaaNjaNj狹義偽隨機(jī)碼是第一類廣義偽隨機(jī)序列的一種特例 偽隨機(jī)編碼概述偽隨機(jī)編碼概述凡互相關(guān)系數(shù)具有 形式的碼，稱為第二類廣義偽隨機(jī)碼 。0)(jabq狹義偽隨機(jī)碼、第一類廣義偽隨機(jī)碼狹義偽

7、隨機(jī)碼、第一類廣義偽隨機(jī)碼和第二類廣義偽隨機(jī)碼統(tǒng)稱為偽隨機(jī)碼。和第二類廣義偽隨機(jī)碼統(tǒng)稱為偽隨機(jī)碼。擴(kuò)頻偽隨機(jī)碼的特點(diǎn)擴(kuò)頻偽隨機(jī)碼的特點(diǎn)尖銳的自相關(guān)函數(shù)，而互相關(guān)函數(shù)接近于0，以利于接收時(shí)的截獲與跟蹤。隨機(jī)性要好。足夠長(zhǎng)的碼周期，以抗偵破、抗干擾。足夠多的獨(dú)立地址數(shù)，以實(shí)現(xiàn)碼分多址。工程上易于產(chǎn)生、加工、復(fù)制和控制。偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造雙值自相關(guān)序列 若一個(gè)碼長(zhǎng)為p的周期序列，自相關(guān)函數(shù)滿足11101)(paR稱為雙值自相關(guān)序列。屬于廣義偽隨機(jī)碼。若上式中pa1則為狹義偽隨機(jī)碼。偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造雙值自相關(guān)序列構(gòu)造 雙值自相關(guān)碼由差集產(chǎn)生，因此，可用構(gòu)造差集的方法構(gòu)造雙值自相關(guān)

8、碼。差集設(shè)有一個(gè)模v的整數(shù)集V，V=0,1,2,v-1，存在一個(gè)含有k個(gè)元的子集D，D=d1, d2, dk,且di-dj(mod v) ij恰好遍取1,2,v-1各次。稱子集D為差集，記為（v,k, ）。偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造差集例子 設(shè)v=7,k=3, =1,則在整數(shù)集V=0,1,2,3,4,5,6中存在一個(gè)含有3個(gè)元的子集D=1,2,4，D具有差集性質(zhì)。d1-d2 =1-2=-16d1-d3 =1-4=-34d2-d3 =2-4=-25d2-d1 =2-1=1d3-d1 =4-1=3d3-d2 =4-2=2同樣，D=0,2,3也是V中的一個(gè)差集。偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造定理 對(duì)

9、于給定的差集(v,k, )，可以寫出 V=0,1,2,v-1 D=d1, d2, dk令 X=x0, x1, x2, xv-1為一長(zhǎng)度等于V的碼，且則， X=xi;i=0,1,2,v-1 是一個(gè)雙值自相關(guān)的廣義偽隨機(jī)碼，其自相關(guān)函數(shù)為DiDixi, 1, 11,.,2 , 1)(401)(vjvkvjjRx當(dāng)v+1=4(k- )時(shí)，構(gòu)造的是狹義偽隨機(jī)碼。偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造例子 前述，v7,k3, 1有兩個(gè)差集D1=1, 2,4和D2=0, 2,3，對(duì)應(yīng)的雙值自相關(guān)偽隨機(jī)碼為1,.,2 , 1717) 13(4701)(21vjjjRXX 或6 , 5 ,4 , 3 ,2 ,1 , 0

10、*1V6 , 5 , 4 ,3 ,2 , 1 ,0*2V1, 1, 1 , 1, 1 , 1 , 11X1, 1, 1, 1 , 1 , 1, 12X它們具有相同的雙值自相關(guān)函數(shù)都是狹義偽隨機(jī)碼偽隨機(jī)碼的構(gòu)造偽隨機(jī)碼的構(gòu)造結(jié)論 只要給出差集，就可以很容易寫出對(duì)應(yīng)的偽隨機(jī)碼。在給定(v,k, )的條件下，要找出差集D不容易。如果整數(shù)集V的值很大時(shí)，用計(jì)算機(jī)來完成計(jì)算。狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造L(Legendre)序列 L序列又稱二次（平方）剩余序列，簡(jiǎn)稱方余碼。設(shè)i和p互素，記作(i,p)=1，若i (mod p)有解，則稱整數(shù)i為模p的二次剩余；否則稱i為模p的二次非剩余。當(dāng)p4t

11、-1為素?cái)?shù)（t為正整數(shù)）時(shí)，模p的二次剩余構(gòu)成一個(gè)差集。因此，存在周期為p的L序列 xi;i=0,1,2,p-12a為其它值的二次剩余為模ipixi, 1, 1v當(dāng)p=4t+1為素?cái)?shù)時(shí)， xi的自相關(guān)函數(shù)取p,1,-3三個(gè)值， xi不是偽隨機(jī)碼。狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造L(Legendre)序列 當(dāng)p為奇素?cái)?shù)時(shí)，上面定義的xi正是勒讓德符號(hào)(i/p)：為其它值的二次剩余為模ipipi, 1, 1)/(對(duì)于任意整數(shù)k都有并且規(guī)定(mp/p)=1，m為任意整數(shù)。)()(22pxkpx模所以，要檢查一個(gè)整數(shù)i(0ip)是不是模p的二次剩余，只要檢查i是不是在集合) 1(,.,)2( ,)

12、 1(222pppp中出現(xiàn)就行了。狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造狹義偽隨機(jī)碼的構(gòu)造L(Legendre)序列 由于)()(22pxpx模所以，要檢查一個(gè)整數(shù)i(0i13的奇數(shù)長(zhǎng)度的巴克碼偶數(shù)長(zhǎng)度的巴克碼的可能長(zhǎng)度為 ，t為正整數(shù)16p 11664(2 t 54)的偶數(shù)長(zhǎng)度巴克碼不存在，t54的情況目前還不清楚。設(shè)xi（xi= 1,i=1,2,p)為一有限長(zhǎng)度的序列，當(dāng)1 p-1時(shí)，其局部自相關(guān)函數(shù)為其它1, 00)(1pxxRpiii24t巴克碼巴克碼p巴克碼211121-1-1311-10-1411-11-1014111-110-15111-1101017111-1-11-10-10-10-111111

13、-1-1-11-1-11-10-10-10-10-10-113 11111-1-111-11-11010101010101) 1,.,2 , 1 , 0)(pR偽隨機(jī)碼的產(chǎn)生偽隨機(jī)碼的產(chǎn)生移位寄存器序列 在工程中用得最多的是二進(jìn)制序列，序列中的元素只有兩個(gè)取值“0”或“1”。二進(jìn)制序列一般可由移位寄存器產(chǎn)生，故由移位寄存器產(chǎn)生的序列就稱之為移位寄存器序列。簡(jiǎn)單型移位寄存器（SSRGSimple Shift Register Generator）模件抽頭碼序列發(fā)生器（MSRGMulti-return Shift Register Generator） 移位寄存器序列產(chǎn)生器的結(jié)構(gòu) 移位寄存器序列產(chǎn)

14、生器的結(jié)構(gòu) 簡(jiǎn)單型移位寄存器（SSRG） r級(jí)線性反饋移位寄存器 1na2na3na)1( rnarna1c2c3c1rcrc0c輸出1ic說明：有反饋；0ic無(wú)反饋。一般情況下10rcc模2加移位寄存器序列產(chǎn)生器的結(jié)構(gòu) SSRG特點(diǎn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便反饋邏輯由特征多項(xiàng)式確定 反饋支路中的器件時(shí)延是疊加的。即等于反饋支路中所有模2加法器時(shí)延的總和。因此限制了偽隨機(jī)序列的工作速度。其最高工作頻率為 式中TR為一級(jí)移位寄存器的傳輸時(shí)延；TM為反饋網(wǎng)絡(luò)中模2加時(shí)延的總和。提高SSRG工作速率的辦法：(1)選用抽頭數(shù)目少的m序列，這樣，還可簡(jiǎn)化序列產(chǎn)生器的結(jié)構(gòu)。 (2)采用MSRG型結(jié)構(gòu) 。 MRTT

15、f1max移位寄存器序列產(chǎn)生器的結(jié)構(gòu) 模件抽頭碼序列發(fā)生器（MSRG） 1nb2nb3nb)1( rnbrnb1d2d3d1rdrd0d輸出1id說明：有反饋；0id無(wú)反饋。一般情況下10rddSSRG與MSRG結(jié)構(gòu)互換 SSRG與MSRG的結(jié)構(gòu)不同，但這兩種類型是可以互換的。只要知道了SSRG的序列特征多項(xiàng)式或反饋系數(shù)，就可得到MSRG的反饋抽頭。SSRG的反饋系數(shù)與MSRG的反饋系數(shù)之間的相互關(guān)系為 ci=dr-i 移位寄存器序列產(chǎn)生器的結(jié)構(gòu) MSRG特點(diǎn)在它的每一級(jí)觸發(fā)器和它相鄰一級(jí)觸發(fā)器之間，接入一個(gè)模2加法器反饋路徑上無(wú)任何延時(shí)部件 ，反饋總延時(shí)，只是一個(gè)模2加法器的延時(shí)時(shí)間，故能提

16、高發(fā)生器的工作速度 。其最高工作頻率為 TM為一級(jí)模2加法器的傳輸時(shí)延。這種類型的序列發(fā)生器已被模件化 MRTTf1max偽隨機(jī)碼的產(chǎn)生偽隨機(jī)碼的產(chǎn)生對(duì)于一個(gè)反饋移位寄存器來說，反饋邏輯一確定，產(chǎn)生的序列就確定了。序列與反饋邏輯之間的關(guān)系由上圖可以看出，移位寄存器第一位的下一時(shí)刻的狀態(tài)是由此時(shí)的r個(gè)移位寄存器的狀態(tài)反饋后共同確定的，即有：riinirnrnnnnacacacacaca1332211由此可見，序列滿足線性遞歸關(guān)系。riiniriininacacac010把a(bǔ)n移到等式的右邊并考慮到c0=1，上式可變?yōu)閙序列與循環(huán)序列發(fā)生器序列與循環(huán)序列發(fā)生器m序列是最長(zhǎng)線性移位寄存器序列，是偽隨

17、機(jī)序列中最重要的序列中的一種，這種序列易于產(chǎn)生，有優(yōu)良的自相關(guān)特性。在直擴(kuò)系統(tǒng)中用于擴(kuò)展要傳遞的信號(hào)，在跳頻系統(tǒng)中用來控制跳頻系統(tǒng)的頻率合成器，組成隨機(jī)跳頻圖案。 m序列由移位寄存器加反饋后形成的。其結(jié)構(gòu)如上圖所示。最長(zhǎng)線性移位寄存器序列可以由反饋邏輯的遞推關(guān)系求得。 m序列例子序列例子序列（生成）多項(xiàng)式序列（生成）多項(xiàng)式 一個(gè)以二元有限域的元素an(n=0,1,)為系數(shù)的多項(xiàng)式02210)(nnnnnxaxaxaxaaxG稱之為序列的生成多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱序列多項(xiàng)式。序列an與生成多項(xiàng)式G（X）是一一對(duì)應(yīng)的。給定一個(gè)移位寄存器后，生成多項(xiàng)式就確定了，序列也就確定了。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)反饋移位寄存器，

18、可用A矩陣來描述，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。A矩陣為rr階矩陣，其結(jié)構(gòu)為01000000100000111321rccccASR反饋邏輯(r-1)(r-1)的單位矩陣 A矩陣與移位寄存器的結(jié)構(gòu)是一一對(duì)應(yīng)的。A矩陣可以將移位寄存器的下一狀態(tài)與現(xiàn)狀態(tài)聯(lián)系起來。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣移位寄存器的現(xiàn)狀態(tài)和下一狀態(tài)分別由矢量an和an+1表示，分別為 rnnnnnrnnnnnaaaaaaaaaa)1(3)1(2)1(1)1(1321及則有nnaAa1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)眠f推的方法，可得后m時(shí)刻的狀態(tài)與現(xiàn)狀態(tài)之間的關(guān)系為這表示反饋移位寄存器的狀態(tài)與移位m次后的狀態(tài)相同。由此可見，此反饋移位積存器序列的周期為m。若m2r1，則產(chǎn)

19、生的序列必定是m序列。nmmnaAa當(dāng)IAm時(shí)有nmnaa狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣通過A矩陣也可以找到前k個(gè)時(shí)刻移位寄存器的狀態(tài)利用遞推關(guān)系，可得A矩陣的逆矩陣為 nnnaaAAaA111nkknaAa1232111001000000100000010rrcccccA特征方程A矩陣的特征方程為即0|)(I xAxF010000010000110)(321xxxccxcxF特征方程或Caley-Hamiton定理：一個(gè)rr矩陣滿足它自己的特征方程，即 0) 1()()()()(332211rrrrxcxcxxcxFriirirrrxcxcxcxxF0221101)(0)(AF特征多項(xiàng)式由A矩陣的特征方程式，

20、可以定義特征多項(xiàng)式f(x) 為特征多項(xiàng)式與序列多項(xiàng)式的關(guān)系1)(00rriiiccxcxf0)(nnnxaxGriininaca1an的線性遞歸反饋函數(shù) an的序列多項(xiàng)式為則nriininxacxG)(10特征多項(xiàng)式)()(1110111010mimmriiimimmmmmriiimimmriiiriinniniinriinnixaxGxcxaxaxcxaxcxaxcxacxG特征多項(xiàng)式經(jīng)整理后，并考慮c0=1，則有riiimimmriiiriiimimmriiixcxaxcxcxaxcxG011111/ 1/)(選擇移位寄存器的初始狀態(tài)為a-r=1, a-r+1=a-2=a-1=0，則 rm

21、immriiicxaxc11)()(0 xfcxccxGrriiir特征多項(xiàng)式cr只有取1時(shí)才有意義。故可得序列多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式之間的關(guān)系為)(1)(xfxGv對(duì)f(x)進(jìn)行長(zhǎng)除，得到序列多項(xiàng)式，序列多項(xiàng)式的系數(shù)就是所求序列。例子一個(gè)三級(jí)移位寄存器如下圖所示，求該反饋移位寄存器序列。 001輸出解：由圖可求得特征多項(xiàng)式f(x)=x3+x+1，由圖中可看出移位寄存器的初始狀態(tài)為100，故有G(x)=1f(x)，進(jìn)行長(zhǎng)除，按升冪形式排列，有例子G(X)=1+x+x2+x4+x7+x8+x9+x11+x14對(duì)應(yīng)的序列為a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a1

22、2 a13 a14 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 從上面可以看出a0a6與a7a13完全一樣。因而該序列的周期為7，正好為3級(jí)最長(zhǎng)線性移位寄存器序列，即m序列。 特征多項(xiàng)式如果初始條件不是前述條件，則 )()()(xfxgxG)(11mimmriiixaxcxgv只要am(m=-r,-r+1，-1)不全為零，g(x)就不會(huì)為零，產(chǎn)生的序列是相同的，不同的是相位偏移即位移。 特征多項(xiàng)式定理 如果序列an的周期為N，則f(x)可整除1+xN，即有 v證：考慮r階反饋移位寄存器，且初始條件為a-r=1, a-r+1=a-r+2=a-1=0，則有)1/()(Nxxf特征多

23、項(xiàng)式NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNnnnxxaxxaxaxaaxxxxaxaxaaxxaxaxaaxxaxaxaaxxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaaxaxfxG1)(1)1)()()()()()(1)(112210321122103112210211221011221011221013132222121222121222111122100特征多項(xiàng)式即有NNxxaxf1)()(1或)()(1xaxfxNN由此可見1xN可被f(x)整除，得到的商正好是所求移位寄存器序列。對(duì)上式進(jìn)行變換，可得)()()(1)(

24、xfxxaxfxGNNv上式表明，用f(x)去除1，當(dāng)運(yùn)算到余式為xN時(shí)得到的商便是所求序列aN(x)，而余式xN的冪N為該序列的周期。產(chǎn)生m序列的條件v條件一：條件一：r級(jí)移位寄存器產(chǎn)生的碼，周期級(jí)移位寄存器產(chǎn)生的碼，周期N2r1，其特征多項(xiàng)式必然是不可約的。，其特征多項(xiàng)式必然是不可約的。即不能再因式分解而產(chǎn)生最長(zhǎng)序列。因此，即不能再因式分解而產(chǎn)生最長(zhǎng)序列。因此，反饋抽頭不能隨便決定，否則將會(huì)產(chǎn)生短反饋抽頭不能隨便決定，否則將會(huì)產(chǎn)生短碼。碼。產(chǎn)生m序列的條件證明：采用反證法來證明。設(shè)f(x)為一長(zhǎng)為N2r1的m序列的特征多項(xiàng)式，而f(x)可以分解，有)()()(21xfxfxf由序列多項(xiàng)式與

25、特征多面式的關(guān)系，有)()()()()()()()(1)(1)(212121xGxGxfxxfxxfxfxfxG設(shè)f1(x)的階數(shù)為r1, f2(x)的階數(shù)r2，則r=r1+r2,(x)與(x)的階數(shù)分別小于等于r1與r2。由上式可見，產(chǎn)生的序列是由兩個(gè)子序列組合而成的，這兩個(gè)子序列的特征多項(xiàng)式分別為f1(x)和f2(x)。假設(shè)這兩個(gè)特征多項(xiàng)式產(chǎn)生的序列也為m序列，則其周期分別為N12r11和N22r21，組合序列的最大長(zhǎng)度為兩個(gè)序列的長(zhǎng)度的乘積。即有組合序列的為NN1N2。產(chǎn)生m序列的條件前已假設(shè)f(x)產(chǎn)生的序列的長(zhǎng)度為N2r1但f(x)可約，產(chǎn)生的復(fù)合序列的長(zhǎng)度最長(zhǎng)為N2r3。因此假設(shè)不

26、成立。由此可知f(x)不可約。 NNrrrrrrrrrrr12321)22(2122212)(12(21212121）產(chǎn)生m序列的條件v條件二：條件二：所有的階數(shù)所有的階數(shù)r r1 1的不可約多項(xiàng)式的不可約多項(xiàng)式f(x)f(x)必然能除盡必然能除盡1 1x xN N，因?yàn)椋驗(yàn)閍 aN N(x(x)=(1+x)=(1+xN N) )f(x)f(x)。 如r3，N7令則f1(x)和f2(x)均為不可約式項(xiàng)式，都可以產(chǎn)生N7的序列，產(chǎn)生的序列分別為1110100和1011100。這樣也為我們找到產(chǎn)生m序列的特征多項(xiàng)式提供了方便。)1)(1)(1 (13237xxxxxx322311)(1)(xxx

27、fxxxf產(chǎn)生m序列的條件v條件三：條件三：如果如果N=2r1是一個(gè)素?cái)?shù)，則所是一個(gè)素?cái)?shù)，則所有有r次不可約多項(xiàng)式產(chǎn)生的線性移位寄存器次不可約多項(xiàng)式產(chǎn)生的線性移位寄存器序列，一定是序列，一定是m序列，產(chǎn)生這個(gè)序列，產(chǎn)生這個(gè)m序列的不序列的不可約多項(xiàng)式稱為本原多項(xiàng)式?？杉s多項(xiàng)式稱為本原多項(xiàng)式。由此可見，如果長(zhǎng)度N2r-1為素?cái)?shù)，則對(duì)1xN進(jìn)行因式分解，分解出來的次數(shù)為r的不可約因式一定為m序列的特征多項(xiàng)式，由此可產(chǎn)生一條m序列，能分解出多少個(gè)r階的不可約因式，就可產(chǎn)生多少條m序列。反之，若N不為素?cái)?shù)，則因式分解后階數(shù)為r的不可約多項(xiàng)式不一定都能成為m序列的特征多項(xiàng)式。 產(chǎn)生m序列的條件不可約多項(xiàng)

28、式的個(gè)數(shù)不可約多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)N NI I由1xN分解出的所有的階數(shù)為r的不可約多項(xiàng)式的條數(shù)NI 。r級(jí)移位寄存器序列的r階不可約多項(xiàng)式為 rddIdrrN/)(21這里的求和是對(duì)所有能整除r的正整數(shù)d的求和，包括1在內(nèi)。產(chǎn)生m序列的條件唯一分解定理唯一分解定理任一個(gè)大于1的正整數(shù)n，都可以表示為素?cái)?shù)的乘積，即式中pi為素?cái)?shù)；i是正的冪數(shù)。 如n=56=78=723,p1=7,1=1,p2=2,2=3 kiiipn1產(chǎn)生m序列的條件MobiusMobius 函數(shù)函數(shù) 如果p和q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，則有(p)=-1(pq)=1 (p2)=0 個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積是knnnkkii) 1(1011)(1產(chǎn)生

29、m序列的條件例子例子 如r=6,則d=1,2,3,6,因此96484261)1 (2)2(2)3(2)6(261632IN即r6的移位寄存器的不可約多項(xiàng)式有9條，但N26163不是素?cái)?shù)。故這9條6階的不可約多項(xiàng)式不一定都能成為m序列的特征多項(xiàng)式。 產(chǎn)生m序列的條件Euler Euler 函數(shù)函數(shù) 如果p和q為兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，則有為一素?cái)?shù)pnpnppnnkiiii11) 1(11)(11kiikiippcpppbqppqa112) 1()(.) 1()(.) 1)(1()(.產(chǎn)生m序列的條件能產(chǎn)生能產(chǎn)生m m序列的特征多項(xiàng)式的條數(shù)序列的特征多項(xiàng)式的條數(shù)N Nm m rNrm) 12(由上面的例子

30、，r6，可得66366)37(6)63(6) 12(26mN即9條6階不可約多項(xiàng)式中，只有6條能作為m序列的特征多項(xiàng)式。換句話說，r6的移位寄存器只能產(chǎn)生6條m序列。 m序列長(zhǎng)度、不可約多項(xiàng)式條數(shù)和序列長(zhǎng)度、不可約多項(xiàng)式條數(shù)和m序列的條數(shù)序列的條數(shù) r2r-1NmNi123456789101112131415161718192021222324 13a7a1531a6312725551110232,0474,0958,191a16,38332,76765,535131,071a262,143524,287a1,048,5752,098,1514,194,3038,388,60716,777,2

31、15112266181648601761446307561,8002,0487,7108,06427,59424,00084,672120,032356,960276,480212369183056991863356301,1612,1824,0807，71014，53227，59452，37799，858190，557364，722698，870產(chǎn)生m序列的條件v條件四條件四：除了第除了第r階以外，如果還有偶數(shù)階以外，如果還有偶數(shù)個(gè)抽頭的反饋結(jié)構(gòu)，則產(chǎn)生的序列就不是個(gè)抽頭的反饋結(jié)構(gòu)，則產(chǎn)生的序列就不是最長(zhǎng)線性移位寄存器序列。最長(zhǎng)線性移位寄存器序列。證：m序列為最長(zhǎng)線性移位寄存器序列，經(jīng)歷了除

32、全“0”以外的所有的移位寄存器狀態(tài)。若反饋結(jié)構(gòu)的抽頭包括r級(jí)共有奇數(shù)個(gè)的話，那么當(dāng)移位寄存器處于全“1”狀態(tài)時(shí)，經(jīng)反饋模2加后，仍然為“1”，這樣移位寄存器就停留在全“1”狀態(tài)。若要得到最長(zhǎng)線性移位寄存器序列就必須扣除全“1”狀態(tài)，這樣剩下的狀態(tài)數(shù)為2r-22r-1,不再是m序列。由此可見，從移位寄存器的結(jié)構(gòu)看，其總的反饋抽頭數(shù)必為偶數(shù)。m序列的反饋系數(shù)v一個(gè)線性反饋移位寄存器能否產(chǎn)生一個(gè)線性反饋移位寄存器能否產(chǎn)生m序列，決定于它的電路序列，決定于它的電路反饋系數(shù)反饋系數(shù)ci，也就是它的遞歸關(guān)系式。從不同的反饋系數(shù)，可，也就是它的遞歸關(guān)系式。從不同的反饋系數(shù)，可以得到相對(duì)于反饋系數(shù)的產(chǎn)生以得到

33、相對(duì)于反饋系數(shù)的產(chǎn)生m序列的特征多項(xiàng)式，進(jìn)而產(chǎn)序列的特征多項(xiàng)式，進(jìn)而產(chǎn)生不同的移位寄存器序列。生不同的移位寄存器序列。 如r9，反饋系數(shù)為11578，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，并與移位寄存器相對(duì)應(yīng)，可得：C9 C8 C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1即C9C6C5C3C2C1C01有反饋，C8C7C40無(wú)反饋。同時(shí)可以得到產(chǎn)生m序列的特征多項(xiàng)式相對(duì)于1157的反饋系數(shù)。特征多項(xiàng)式為f(x)=x9+x6+x5+x3+x2+x+1m序列的反饋系數(shù)級(jí)數(shù)r長(zhǎng)度N反饋系數(shù)3456789101112131415161718192071531631272255111

34、,0232,0474,0958,19116,38332,76765,535131,071262,143524,2871,048,575132345,67,75103,147,155203,211,217,235,277,313,325,345,367435,453,537,543,545,551,703,7471021,1055,1131,1157,1167,11752011,2033,2157,2443,2745,34714005,4445,5023,5263,6211,736310123,11417,12515,13505,14127,1505320033,23261,24633,3074

35、1,32535,3750542103,51761,55753,60153,71147,67401100003,110013,120265,133663,142305,164705210013,233303,307572,311405,347433,375213400011,411335,444257,527427,646775,71430310000201,1002241,1025711,17036012000047,2020471,2227023,2331067,2570103,36103534000011,4001151,4004515,442235,6000031m序列的反饋系數(shù)通過反饋

36、系數(shù)，還可以求出對(duì)應(yīng)的鏡像序列的反饋抽頭和特征多項(xiàng)式。鏡像序列是與原序列相反的序列。如r3的序列1110100，鏡像序列為0010111?？梢酝ㄟ^下式，由原序列的特征多項(xiàng)式f(x)求鏡像序列的特征多項(xiàng)式f（R）(x)。 )1()()(xfxxfrRm序列的反饋系數(shù)如r7，反饋系數(shù)為235的序列，對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為 f(x)=x7+x4+x3+x2+1鏡像序列的特征多項(xiàng)式為 1) 1()1(3457234777)(xxxxxxxxxxfxfR對(duì)應(yīng)的反饋系數(shù)為271。 m序列的性質(zhì)q均衡性在m序列的一個(gè)周期內(nèi)，“1”和“0”的數(shù)目基本相等。準(zhǔn)確地說：“1”的個(gè)數(shù)比“0”的個(gè)數(shù)多一個(gè)。這是由m序列經(jīng)

37、歷了r級(jí)移位寄存器的除全“0”以外的所有2r1個(gè)狀態(tài)，排除了輸出序列中的r個(gè)連“0”。因而輸出序列的“1”比“0”多一個(gè)。如r3，反饋系數(shù)15，序列為0101110，4個(gè)“1”，3個(gè)“0”，“1”比“0”多一個(gè)。由此可見，在輸出序列的2r1個(gè)元素中，“1”的個(gè)數(shù)為2r-1，“0”的個(gè)數(shù)為2r11。 m序列的均衡性可減小調(diào)制后的載漏，使得信號(hào)更加隱蔽，更能滿足系統(tǒng)要求。m序列的性質(zhì)q游程分布把一個(gè)序列中取值相同的那些相繼元素合稱一個(gè)游程。在一個(gè)游程中，元素的個(gè)數(shù)稱為游程長(zhǎng)度。在m序列中，游程總數(shù)為2r-1個(gè)，其中長(zhǎng)度為1的游程占游程總數(shù)的12；長(zhǎng)度為2的游程占游程總數(shù)的14；長(zhǎng)度為3的占18；即

38、長(zhǎng)度為k的游程數(shù)占游程總數(shù)的2k，其中1k(r-2)。而且在長(zhǎng)度為k的游程中（1kr-2）連“1”和連“0”的游程各占一半，r1個(gè)連“0”和r個(gè)連“1”的游程各一個(gè)。 m序列的性質(zhì)q移位相加性一個(gè)序列an與其經(jīng)m次遲延移位產(chǎn)生的另一不同序列an+m模2加，得到的仍然是an的某次遲延移位序列an+k，即 an+an+m=an+k 利用此性質(zhì)可產(chǎn)生指定延遲的m序列。例SR特征多項(xiàng)式 ,初始狀態(tài)為（1000）。要得到相對(duì)于SR輸入序列右移12位的新序列，如何添加模二加法器？41)(xxxFm序列的性質(zhì)解以 表示右移算子，右移12位以 表示。 被F（x）除得余項(xiàng)x12x12x321)(xxxxrr(x

39、)表示要從4級(jí)SR引出連線添加模二加法器。如圖。0001nana.nana01111010110010011010110010001112位m序列的性質(zhì)q周期性m序列的周期為N2r1，r為反饋移位寄存器的級(jí)數(shù)。q保密性由于m序列的周期性，其功率譜的各譜線相隔頻率1/NTc的整數(shù)倍。通過測(cè)量接收的m序列的功率譜很容易確定此序列的周期，進(jìn)而可確定SR的級(jí)數(shù)。只要找到SR的反饋邏輯，此m序列就可較容易地復(fù)制出來。因此，m序列的保密性較差。增加保密性的方法:(1)增加SR的級(jí)數(shù)；(2) 反饋邏輯除采用模二加外還采用模二乘，得到非線性碼。m序列的性質(zhì)q相關(guān)特性對(duì)于取值為“1”和“0”的二進(jìn)制碼序列an，

40、自相關(guān)函數(shù)值為10)(NijiiaajR其相關(guān)系數(shù)為NDAaaNjNijii101)( 式中 A為序列an與移位序列an+i在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)元素相同的數(shù)目；D為序列an與移位序列an+i在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)元素不相同的數(shù)目。N為序列an的周期。 上式中的A相當(dāng)于兩個(gè)序列中對(duì)應(yīng)位模2加為“0”的個(gè)數(shù)(ai ai+j=0), D相當(dāng)于”1”的個(gè)數(shù)(ai ai+j=1) 。m序列的性質(zhì)由m序列的移位相加特性可得，上式分子就等于m序列一個(gè)周期內(nèi)“0”的個(gè)數(shù)與“1”的個(gè)數(shù)的差值，由均衡性可知“1”比“0”多一個(gè)。故有)1()0(1)(的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)jiijiiaaaaNj1, 3 , 2 , 11)(NjNj

41、當(dāng)j=0時(shí)，顯然(0)=1。所以，m序列的自相關(guān)系數(shù)為0101)(jNjj周期為N的偶函數(shù)雙值自相關(guān)函數(shù)m序列的性質(zhì)qm序列波形的連續(xù)相關(guān)函數(shù)R（） 當(dāng)周期NTC很長(zhǎng)及碼元寬度TC很小時(shí)，R（）近似于沖激函數(shù)（）的形狀?；ハ嚓P(guān)和部分相關(guān)函數(shù)復(fù)雜，這里不討論。參見擴(kuò)譜技術(shù)。cccTNTNTNR|1|11)(m序列的性質(zhì)q偽隨機(jī)性由于m序列的均衡性、游程分布、自相關(guān)函數(shù)及功率譜與上述隨機(jī)序列的基本性質(zhì)很相似，所以通常認(rèn)為m序列屬于偽隨機(jī)序列，是一種常見的偽隨機(jī)序列。m序列可供使用的跳頻圖案少，互相關(guān)特性不理想，又因它采用的是線性反饋邏輯，就容易被敵人破譯碼的序列，即保密性、抗截獲性差。由于這些原因

42、，在跳頻系統(tǒng)中不采用m序列作為跳頻指令碼。 截短m序列實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生給定的任意長(zhǎng)度的序列常常采用截取m序列某一段子序列，從而得到其長(zhǎng)度縮短了的m序列，稱為截短m序列。截短m序列已不是m序列了。從一個(gè)長(zhǎng)度為p的m序列中截取出一段長(zhǎng)度為pp的截短序列，只要設(shè)法截去m序列中的一段長(zhǎng)度為p=p-p的子序列就行了。從SR狀態(tài)圖上看，就是當(dāng)m序列從初始狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過p個(gè)狀態(tài)后，整個(gè)SR狀態(tài)發(fā)生跳躍，跳過p個(gè)狀態(tài)，使p1狀態(tài)按長(zhǎng)度為p循環(huán)運(yùn)行，而得到長(zhǎng)度為p的截短序列。跳躍點(diǎn)的選擇很重要。附加反饋邏輯修正項(xiàng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跳躍。查表法更簡(jiǎn)單。Gold碼序列q為什么要用Gold碼序列？當(dāng)選用偽隨機(jī)序列作為碼分多址通信的地址

43、碼時(shí)，m序列有很大的局限性。m序列雖然性能優(yōu)良，但同樣長(zhǎng)度的m序列個(gè)數(shù)不多，且序列之間的互相關(guān)值并不都好。例如，9級(jí)移位寄存器產(chǎn)生的m序列有48個(gè)，取出一個(gè)序列，只能找到12個(gè)m序列與其相關(guān)的互相關(guān)值最大值等于33。但找不到多于3個(gè)序列的組，其中任意兩序列之間的互相關(guān)最大值等于33。如果要求的地址數(shù)多，只有降低對(duì)互相關(guān)的要求。例如，當(dāng)互相關(guān)值不超過65時(shí)，可以從48個(gè)序列中挑選出幾組由6個(gè)m序列組成的集。Gold碼序列q為什么要用Gold碼序列？RGold于1967年提出了一種基于m序列的碼序列,稱為Gold碼序列。這種序列有較優(yōu)良的自相關(guān)和互相關(guān)特性，而且可以用作地址碼的數(shù)量比m序列要多得多

44、，一對(duì)m序列優(yōu)選對(duì)可產(chǎn)生2r1條Gold碼。這種碼發(fā)生器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，因此，Gold碼在碼分多址通信，組網(wǎng)工作的雷達(dá)及報(bào)警系統(tǒng)等許多工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。地址碼的選擇碼分多址在于信號(hào)波形的分割。擴(kuò)頻通信就是用碼的形狀差異來區(qū)分通信地址的一種選 址通信方式。故地址碼性能的好壞，直接關(guān)系到系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。一般來說，對(duì)于不同的網(wǎng)其地址碼是不同的，不同網(wǎng)的地址碼的互相關(guān)值應(yīng)為零即地址碼正交，有 Tjijijidttctc01)()(正交碼型就是不同的碼的互相關(guān)值很小。這類碼就是第二類廣義偽隨機(jī)碼。碼分多址通信的重要問題q可用的地址碼數(shù)量要多；互相關(guān)值要??；有一定的抗干擾能力；碼發(fā)生器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)

45、單等。由此可見，m序列的抗干擾能力較強(qiáng)；有優(yōu)良的相關(guān)特性；易產(chǎn)生。但不足的是m序列的數(shù)目少，為（2r-1）/r條，不能滿足作為地址碼的要求。Gold碼是在m序列的基礎(chǔ)上得到的，但它的條數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了m序列。目前多采用Gold碼作為地址碼。對(duì)地址碼的一般要求有良好的自相關(guān)、互相關(guān)和部分相關(guān)特性。即要求碼的自相關(guān)旁瓣、互相關(guān)和部分相關(guān)值要盡可能的小，以便在檢測(cè)地址碼時(shí)有最大的分辨率。碼序列要多?？捎玫拇a序列的多少，直接關(guān)系到系統(tǒng)的組網(wǎng)能力及頻譜利用率的高低。在保證第一個(gè)要求的基礎(chǔ)上，這樣的碼序列越多越好。有一定的長(zhǎng)度。碼序列越長(zhǎng)，越接近于隨機(jī)序列，因而抗干擾的性能越強(qiáng)。易于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步，捕捉時(shí)間要

46、快。易于實(shí)現(xiàn)、設(shè)備簡(jiǎn)單、成本低等。Gold碼的產(chǎn)生qGold碼是基于m序列優(yōu)選對(duì)產(chǎn)生的。qm序列優(yōu)選對(duì)在m序列集中，其互相關(guān)函數(shù)最大值的絕對(duì)值|Rab|max小于某個(gè)值（互相關(guān)函數(shù)的絕對(duì)值有界）的二條m序列。設(shè)序列a是對(duì)應(yīng)于r階本原多項(xiàng)式f(x)產(chǎn)生的m序列；序列b是對(duì)應(yīng)于r階本原多項(xiàng)式g(x)產(chǎn)生的m序列；當(dāng)它們的互相關(guān)函數(shù)值Rab()滿足不等式整除但不被為偶數(shù)為奇數(shù)4,1212| )(|2221rrRrrab則f(x)和g(x)產(chǎn)生的m序列a和b構(gòu)成一優(yōu)選對(duì)。 Gold碼的產(chǎn)生方法產(chǎn)生Gold碼的方法有兩種，它是用一對(duì)優(yōu)選的周期和速率均相同的m序列的移位寄存器串聯(lián)或并聯(lián)后得到的。通常多使用

47、并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即將兩個(gè)m序列進(jìn)行模2和后輸出。Gold碼的產(chǎn)生方法設(shè)序列a和序列b為長(zhǎng)N2r1的m序列優(yōu)選對(duì)。以a序列為參考序列，對(duì)b序列進(jìn)行移位i次，得到b的移位序列bi,(i=0,1,，N1)，然后與a序列模2加后得到一新的長(zhǎng)度為N的序列ci。則此序列就是Gold序列，即ci=a+bi i=0,1,N 對(duì)不同的i，得到不同的Gold序列，這樣可得2r1條Gold碼，加上a序列和b序列，共得到2r1條Gold。把這2r1條Gold碼稱為一Gold碼族。Gold碼的產(chǎn)生方法q串聯(lián)成2r級(jí)線性移位寄存器r6 m序列的本原多項(xiàng)式分別為f(x)=1+x+x6和g(x)=1+x+x2+x5+x6，串聯(lián)成1

48、2級(jí)線性移位寄存器，將兩序列的本原多項(xiàng)式相乘，可得階數(shù)為12的多項(xiàng)式為 f(x)g(x)=x12+x11+x8+x6+x5+x3+1，由此可得串聯(lián)的12級(jí)線性移位寄存器如下圖所示。 m序列1m序列2Gold碼輸出Gold碼的產(chǎn)生方法q兩個(gè)r級(jí)移位寄存器并聯(lián)m序列1m序列1Gold碼輸出Gold碼的產(chǎn)生方法Gold碼的相關(guān)特性q由m序列優(yōu)選對(duì)模2加產(chǎn)生的Gold碼族中的2r1條Gold碼序列已不再是m序列，也不具有m序列的游程特性和二值相關(guān)特性。但Gold碼序列具有三值互相關(guān)特性，如下表所示。q由表中可以看出，由于碼序列的互相關(guān)值可以看成兩個(gè)序列對(duì)應(yīng)位的元素的相同和不同的碼元數(shù)的差值。因而得到的

49、Gold碼族中的碼序列出現(xiàn)了平衡（序列“1”和“0”之間差為1）與非平衡碼。 Gold碼的相關(guān)特性寄存器長(zhǎng)度r 碼長(zhǎng)N歸一化互相關(guān)函數(shù)值出現(xiàn)概率r為奇數(shù) -1/N0.500.250.25r為偶數(shù)，但不被4整除 -1/N0.750.1250.12512 r12 rNr/ ) 12(21Nr/ ) 12(21Nr/ ) 12(22Nr/ ) 12(22Gold碼的自相關(guān)函數(shù)同互相關(guān)函數(shù)一樣，也是三值函數(shù)，只是出現(xiàn)的概率是不同的。 m序列和Gold序列互相關(guān)函數(shù)旁瓣的最大值平衡Gold碼vr為奇數(shù)的平衡碼與非平衡碼的數(shù)量 類別碼序列中“1”的個(gè)數(shù)碼族中這種序列數(shù)1平衡碼2非平衡碼312r121r21

50、122rr21122rr23222rr23222rr平衡Gold碼v碼的平衡性與載波抑制度的關(guān)系 級(jí)數(shù)r 碼長(zhǎng)N歸一化相關(guān)函數(shù)載波抑制（dB）371/75/78.45 平衡碼1.46 非平衡碼5311/319/3114.9 平衡碼5.37 非平衡碼71271/12717/12721.04 平衡碼8.73 非平衡碼95111/51133/51127.08 平衡碼11.9 非平衡碼1120471/204765/204733.11 平衡碼15.00 非平衡碼平衡Gold碼產(chǎn)生方法v特征相位 為了尋找平衡Gold碼，首先確定特征相位。每一條最長(zhǎng)線性移位寄存器序列都具有特征相位。當(dāng)序列處于特征相位時(shí)，序

51、列每隔一位抽樣后得到的序列與原序列完全一樣，這是序列處于特征相位的特征。 設(shè)序列的特征多項(xiàng)式f(x)為一r級(jí)線性移位寄存器產(chǎn)生m序列的本原多項(xiàng)式。序列的特征相位由g(x)/f（x）的比值確定。g(x)為生成函數(shù)，為一階數(shù)等于或小于r的多項(xiàng)式。g(x)的計(jì)算方法如下 為偶數(shù)為奇數(shù)rdxxxfdxfxgrdxxxfdxg)()()()()(平衡Gold碼產(chǎn)生方法序列多項(xiàng)式為 )()()(xfxgxG長(zhǎng)除后就可得到處于特征相位的m序列。例r3的m序列的特征多項(xiàng)式為 f（x）=1+x+x3由此可得出生成多項(xiàng)式g(x)為242421)()(xxdxxxxddxxxfdxg經(jīng)模2處理后，可得 987423

52、111)()()(1)(xxxxxxxxxfxgxGxg平衡Gold碼產(chǎn)生方法可得產(chǎn)生的序列為111010011101001則序列的特征相位為111。我們對(duì)產(chǎn)生的序列隔位抽樣，得到抽樣序列。1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1由此可見，抽樣序列與原序列完全一樣，故原序列處于特征相位上，其特征相位111即為產(chǎn)生m序列的初始相位，即a1=a2=a3=1。平衡Gold碼產(chǎn)生方法v相對(duì)相位令序列a和序列b為處于特征相位的m序列優(yōu)選對(duì)。當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，其序列生成多項(xiàng)式可表示為 )(1)(1)(xdxcxG這里d(x)的階數(shù)為r，

53、c(x)的階數(shù)小于r。進(jìn)行長(zhǎng)除后的結(jié)果將是1，這樣處于特征相位的序列的第一位必定是“1”。因此，處于特征相位上的序列a和b序列，以a序列為參考序列，移動(dòng)b序列，使之第一位為“0”，對(duì)應(yīng)于a序列第一位“1”。兩序列相加后得到的序列必定是平衡Gold碼。那么，移動(dòng)序列b的第一位為“0”的序列的前r位，就是產(chǎn)生平衡Gold碼的相對(duì)相位。 平衡Gold碼產(chǎn)生方法例 r3，m序列優(yōu)選對(duì)的本原多項(xiàng)式分別為 f1(x)=1+x+x3和f2(x)=1+x2+x3，則212111)()(1)()(xdxxxfdxgdxxxfdxg可得序列a和序列b為a=1110100和b=1001011將b序列分別左移1、2、

54、5位，使b序列的第一位為“0”。然后與a序列模2加。 1110100 1110100 1110100 0010111 0101110 0111001 1100011 1011010 1001101得到了平衡Gold碼。 平衡Gold碼產(chǎn)生方法對(duì)于其它的位移，即位移后第一位不為“0”時(shí)，產(chǎn)生的Gold序列為 1110100 1110100 1110100 1110100 1001011 1011100 1110010 1100101 0111111 0101000 0000110 0010001由此可以看出，產(chǎn)生平衡Gold碼的相對(duì)相位為001，010，011，其它的相位不能產(chǎn)生平衡Gold碼。

55、r3的Gold碼共有9條。平衡碼5條（3條由a與b的位移產(chǎn)生，2條為a與b自身）和非平衡碼4條。平衡Gold碼產(chǎn)生方法v產(chǎn)生平衡Gold碼的一般步驟為：1）選一參考序列，其本原多項(xiàng)式為fa(x)，求出生成多項(xiàng)式ga(x)；2）由G(x)ga(x)/fa(x)求出序列多項(xiàng)式，使得序列a處于特征相位上；3）求位移序列b，使位移序列的初始狀態(tài)的第一位為“0”，即處于相對(duì)相位，對(duì)應(yīng)于a的第一位“1”；4）將處于特征相位的a序列與處于相位的b序列模2加，就可得到平衡Gold碼序列。平衡Gold碼產(chǎn)生方法v在某些應(yīng)用場(chǎng)合，需同時(shí)產(chǎn)生兩條Gold碼序列，且是同族的。一般采用兩個(gè)Gold碼序列發(fā)生器。如美國(guó)國(guó)

56、家航空和宇宙航空局（NASA）研制的跟蹤和數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星系統(tǒng)（TDRSS）的正交信號(hào)發(fā)生器就是一例。r11產(chǎn)生的Gold序列長(zhǎng)為2047，m序列優(yōu)選對(duì)為4445和4005。兩個(gè)移位序列發(fā)生器的相對(duì)相位不同，因而產(chǎn)生的Gold碼序列不同，但又同為一族。I通道Q通道Kasami 序列q由于m 序列良好的偽隨機(jī)性，為其他序列的生成奠定了基礎(chǔ)。Gold 碼就是選用兩個(gè)互為優(yōu)選對(duì)的m 序列模二加而形成的。qKasami 序列也是一種在m 序列基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的擴(kuò)頻序列。它繼承了m 序列良好的偽隨機(jī)性,同時(shí)又具有自、互相關(guān)特性均較好的特點(diǎn)（特別是互相關(guān)值小），且序列數(shù)量也很可觀。q把m 序列、Gold 碼、G

57、old-like 序列、Kasami 序列統(tǒng)稱為m 系列擴(kuò)頻碼，因?yàn)楹? 個(gè)碼型都是由m 序列經(jīng)過各種取樣和變換生成的。q常用于隨機(jī)擴(kuò)頻多址（RSSMA）系統(tǒng)中，降低MAI，如在IS-95、UMTS-CDMA和CDMA2K 系統(tǒng)中所使用的就是Kasami小集合序列。Kasami 序列完全剩余系q設(shè)p 是一個(gè)大于1 的整數(shù)，把能被p 整除的所有整數(shù)(即形如pq 的所有整數(shù),其中q = 0 , 1 , 2 , ) 劃成一類;把被p 除后余數(shù)是p - 1 的所有整數(shù)(即形如pq + p - 1 的所有整數(shù),其中q = 0 , 1 , 2 , ) 劃成一類；以此類推，就把所有整數(shù)共劃分為p類，用一個(gè)統(tǒng)

58、一的公式表示為pq + k ( k = 0 ,1 ,2 , , p - 1) 。如果從每一類中各取出一個(gè)整數(shù)，把取出的p 個(gè)整數(shù)叫做“模p 的一個(gè)完全剩余系”，把0 ,1 , p - 1 稱為“模p 的非負(fù)最小完全剩余系”。m系列擴(kuò)頻碼分類q取p=4 ,則0 ,1 ,2 ,3 是模4 的非負(fù)最小完全剩余系。這樣取是根據(jù)m 系列擴(kuò)頻碼的碼長(zhǎng)N均為 , n 是移位寄存器的階數(shù)。m 序列就是直接由移位寄存器生成的,而其他的擴(kuò)頻序列可分別歸到以下4 類中去:q當(dāng)n = 1 (模4) 時(shí),包括的序列類型只有Gold 序列;q當(dāng)n = 2 (模4) 時(shí),包括Gold 序列、Kasami 小集合序列和大集合

59、序列;q當(dāng)n = 3 (模4) 時(shí),只包括Gold 序列;q當(dāng)n = 0 (模4) 時(shí),包括Gold-like 序列、Kasami 小集合和大集合序列。.q這樣,對(duì)于大于3 的所有自然數(shù)n ,都有相應(yīng)的序列和它對(duì)應(yīng),從而構(gòu)成了一個(gè)體系。Kasami 小集合序列Kasami 小集合序列Kasami 小集合序列相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)（N=1023）互相關(guān)函數(shù) (N=1023)Kasami 大集合序列M序列vr級(jí)移位寄存器的狀態(tài)有2r個(gè)，它產(chǎn)生的序列的最大長(zhǎng)度為2r。vM序列稱為最長(zhǎng)非線性移位寄存器序列，其碼長(zhǎng)為2r，達(dá)到了r級(jí)移位寄存器所能達(dá)到的最長(zhǎng)周期，故又稱為全長(zhǎng)序列。vM序列不僅比m序列的在相

60、同級(jí)數(shù)移位寄存器的長(zhǎng)度多一位，而且產(chǎn)生的序列數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了m序列，故M序列在實(shí)際中應(yīng)用較廣。v目前對(duì)非線性移位寄存器的研究尚未找到足夠有效的數(shù)學(xué)工具及系統(tǒng)的研究方法，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，這個(gè)科學(xué)難題將會(huì)得以解決。M序列構(gòu)造方法v在m序列的基礎(chǔ)上增加全“0”狀態(tài)獲得v用搜索的方法獲得無(wú)論何種方法，只要滿足對(duì)r級(jí)移位寄存器所有的2r個(gè)狀態(tài)都要經(jīng)歷一次，而且僅經(jīng)歷一次，同時(shí)要滿足移位寄存的關(guān)系即可。由m序列構(gòu)成M序列 vm序列已包含了2r1個(gè)非零的狀態(tài)，缺少由r個(gè)“0”組成的一個(gè)全“0”狀態(tài)。由m序列構(gòu)成M序列時(shí)，只要在適當(dāng)?shù)奈恢貌迦胍粋€(gè)零狀態(tài)（r個(gè)“0”），即可使碼長(zhǎng)為2r1的m序列增長(zhǎng)至碼長(zhǎng)為2r