人教版高一數(shù)學(xué)必修一教案

1、超越中小學(xué)培訓(xùn)高中數(shù)學(xué)_1.1集_合11.1集合的含義與表示第一課時(shí)集合的含義集合的概念提出問題觀察下列實(shí)例：(1)山東天成書業(yè)集團(tuán)的所有員工；(2)平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長d的所有的點(diǎn)；(3)不等式組的整數(shù)解；(4)方程x25x60的實(shí)數(shù)根；(5)某中學(xué)所有較胖的同學(xué)問題1：上述實(shí)例中的研究對象各是什么？提示：員工、點(diǎn)、整數(shù)解、實(shí)數(shù)根、較胖的同學(xué)問題2：你能確定上述實(shí)例的研究對象嗎？提示：(1)(2)(3)(4)的研究對象可以確定問題3：上述哪些實(shí)例的研究對象不能確定？為什么？提示：(5)的研究對象不能確定，因?yàn)椤拜^胖”這個標(biāo)準(zhǔn)不明確，故無法確定導(dǎo)入新知元素與集合的概念定義表示元素一般地

2、，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，表示集合把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)通常用大寫拉丁字母A，B，C，表示化解疑難準(zhǔn)確認(rèn)識集合的含義(1)集合的概念是一種描述性說明，因?yàn)榧鲜菙?shù)學(xué)中最原始的、不加定義的概念，這與我們初中學(xué)過的點(diǎn)、直線等概念一樣，都是用描述性語言表述的(2)集合含義中的“元素”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等提出問題問題1：上述實(shí)例(3)組成的集合的元素是什么？提示：2,3.問題2：上述實(shí)例(4)組成的集合的元素是什

3、么？提示：2,3.問題3：實(shí)例(3)與實(shí)例(4)組成的集合有什么關(guān)系？提示：相等導(dǎo)入新知1集合相等只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合相等2集合元素的特性集合元素的特性：確定性、互異性、無序性化解疑難對集合中元素特性的理解(1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，不能確定的對象不能構(gòu)成集合也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的(2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時(shí)只能算作集合的一個元素(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的如1,2,3與3,2,1構(gòu)成的集合是同一個集合元素與集合的關(guān)系及常用

4、數(shù)集的記法提出問題某中學(xué)2013年高一年級20個班構(gòu)成一集合問題1：高一(6)班、高一(16)班是這個集合的元素嗎？提示：是這個集合的元素問題2：高二(3)班是這個集合中的元素嗎？為什么？提示：不是高一年級這個集合中沒有高二(3)班這個元素導(dǎo)入新知1元素與集合的關(guān)系(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA.(2)如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA.2常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或NZQR化解疑難1對和的理解(1)符號“”“”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系對于一個元素a與一個集合A而言，只有“aA”與“aA”這兩種結(jié)果

5、(2)和具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R0是錯誤的2常用數(shù)集關(guān)系網(wǎng)實(shí)數(shù)集R集合的基本概念例1(1)下列各組對象：接近于0的數(shù)的全體；比較小的正整數(shù)的全體；平面上到點(diǎn)a的距離等于1的點(diǎn)的全體；正三角形的全體；的近似值的全體其中能構(gòu)成集合的組數(shù)是()A2B3C4 D5(2)判斷下列說法是否正確，并說明理由某個公司里所有的年輕人組成一個集合；由1，組成的集合有五個元素；由a，b，c組成的集合與由b，a，c組成的集合是同一個集合解析(1)“接近于0的數(shù)”“比較小的正整數(shù)”標(biāo)準(zhǔn)不明確，即元素不確定，所以不是集合同樣，“的近似值”也不明確精確到什么程度，因此很難判定一個數(shù)，比如2是不是它的近似值

6、，所以也不是一個集合能構(gòu)成集合答案A(2)解不正確因?yàn)椤澳贻p人”沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)，對象不具有確定性，所以不能組成集合不正確由于，由集合中元素的互異性知，這個集合是由1，這三個元素組成的正確集合中的元素相同，只是次序不同，所以它們?nèi)员硎就粋€集合類題通法判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)及其關(guān)注點(diǎn)(1)標(biāo)準(zhǔn)：判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合(2)關(guān)注點(diǎn)：利用集合的含義判斷一組對象能否組成一個集合，應(yīng)注意集合中元素的特性，即確定性、互異性和無序性活學(xué)活用下列說法正確的是()A小明身高1.78 m，則他應(yīng)該是高個子的總體這一

7、集合中的一個元素B所有大于0小于10的實(shí)數(shù)可以組成一個集合，該集合有9個元素C平面上到定直線的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合是一條直線D任意改變一個集合中元素的順序，所得集合仍和原來的集合相等解析：選DA中的高個子標(biāo)準(zhǔn)不能確定，因而不能構(gòu)成集合；B中對象能構(gòu)成集合，但元素有無窮多個；C中對象構(gòu)成的是兩條直線，D反映的是集合元素的無序性.元素與集合的關(guān)系例2(1)設(shè)集合A只含有一個元素a，則下列各式正確的是()A0A BaACaA DaA(2)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()R； Q；0N*；|4|N*A1 B2C3 D4解析(1)由元素與集合的關(guān)系可知，aA.(2)R顯然是正確的； 是無理數(shù)，而Q表示

8、有理數(shù)集，Q，正確；N*表示不含0的自然數(shù)集，0N*，錯誤；|4|4N*，錯誤，所以是正確的答案(1)C(2)B類題通法判斷元素與集合間關(guān)系的方法判斷一個對象是否為某個集合的元素，就是判斷這個對象是否具有這個集合的元素具有的共同特征如果一個對象是某個集合的元素，那么這個對象必具有這個集合的元素的共同特征活學(xué)活用設(shè)不等式32x<0的解集為M，下列正確的是()A0M,2M B0M,2MC0M,2M D0M,2M解析：選B從四個選項(xiàng)來看，本題是判斷0和2與集合M間的關(guān)系，因此只需判斷0和2是否是不等式32x<0的解即可當(dāng)x0時(shí)，32x3>0，所以0不屬于M，即0M；當(dāng)x2時(shí)，32x

9、1<0，所以2屬于M，即2M.集合中元素的特性及應(yīng)用例3已知集合A中含有兩個元素a和a2，若1A，求實(shí)數(shù)a的值解若1A，則a1或a21，即a±1.當(dāng)a1時(shí)，aa2，集合A有一個元素，a1.當(dāng)a1時(shí)，集合A含有兩個元素1，1，符合互異性a1.類題通法關(guān)注元素的互異性根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能取值，但要時(shí)刻關(guān)注集合中元素的三個特性，尤其是互異性，解題后要注意進(jìn)行檢驗(yàn)活學(xué)活用設(shè)A表示由a22a3,2,3構(gòu)成的集合，B表示由2，|a3|構(gòu)成的集合，已知5A，且5B，求a的值解：5A，a22a35，解之得a2或a4.當(dāng)a2時(shí)，|a3|5，當(dāng)a4時(shí)，|a3|1.又5B，

10、a4.典例若集合A中有三個元素，x，x1,1，集合B中也有三個元素x，xx2，x2，且AB，則實(shí)數(shù)x的值為_解析AB，或解得x±1.經(jīng)檢驗(yàn)，x1不適合集合元素的互異性，而x1適合x1.答案1易錯防范1上面例題易由方程組求得x±1后，忽視對求出的值進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出錯誤的結(jié)論2當(dāng)集合中元素含字母并要求對其求值時(shí)，求出的值一定要加以檢驗(yàn)，看是否符合集合元素的互異性成功破障若集合A中含有三個元素a3,2a1，a24，且3A，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：(1)若a33，則a0，此時(shí)A3，1，4，滿足題意(2)若2a13，則a1，此時(shí)A4，3，3，不滿足元素的互異性(3)若a243，則a&

11、#177;1.當(dāng)a1時(shí)，A2,1，3，滿足題意；當(dāng)a1時(shí)，由(2)知不合題意綜上可知：a0或a1.答案：0或1隨堂即時(shí)演練1下列說法正確的是()A某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個集合B由1,2,3和 ，1，組成的集合不相等C不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個集合D方程(x1)(x1)20的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素解析：選CA項(xiàng)中元素不確定B項(xiàng)中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等D項(xiàng)中方程的解分別是x11，x2x31.由互異性知，構(gòu)成的集合含2個元素2若以集合A的四個元素a、b、c、d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是()A梯形B平行四邊形C菱形 D矩形解析：選A由于

12、a、b、c、d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等3下列說法中集合N與集合N是同一個集合集合N中的元素都是集合Z中的元素集合Q中的元素都是集合Z中的元素集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正確的有_解析：因?yàn)榧螻表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，所以中的說法不正確，中的說法正確答案：4設(shè)由2,4,6構(gòu)成的集合為A，若實(shí)數(shù)aA時(shí)，6aA，則a_.解析：代入驗(yàn)證，若a2，則624A，符合題意；若a4，則642A，符合題意；若a6，則660A，不符合題意，舍去，所以a2或a4.答案：2或45已知集合A中含有兩個元素x，y，集合B中含有兩個元素

13、0，x2，若AB，求實(shí)數(shù)x，y的值解：因?yàn)榧螦，B相等，則x0或y0.(1)當(dāng)x0時(shí)，x20，則B0,0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去(2)當(dāng)y0時(shí)，xx2，解得x0或x1.由(1)知x0應(yīng)舍去綜上知：x1，y0.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1下列判斷正確的個數(shù)為()(1)所有的等腰三角形構(gòu)成一個集合(2)倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)構(gòu)成一個集合(3)質(zhì)數(shù)的全體構(gòu)成一個集合(4)由2,3,4,3,6,2構(gòu)成含有6個元素的集合A1 B2C3 D4解析：選C(1)正確，(2)若a，則a21，a±1，構(gòu)成的集合為1，1，(2)正確，(3)也正確，任何一個質(zhì)數(shù)都在此集合中，不是質(zhì)數(shù)的都不在(3)正確

14、，(4)不正確，集合中的元素具有互異性，構(gòu)成的集合為2,3,4,6，含4個元素，故選C.2若aR，但aQ，則a可以是()A3.14 B5C. D.解析：選D由題意知a是實(shí)數(shù)但不是有理數(shù)，故a應(yīng)為無理數(shù)3下列各組中集合P與Q，表示同一個集合的是()AP是由元素1，構(gòu)成的集合，Q是由元素，1，|構(gòu)成的集合BP是由構(gòu)成的集合，Q是由3.141 59構(gòu)成的集合CP是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合DP是滿足不等式1x1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x21的解集解析：選A由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而B、C、D中元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合故選A

15、.4下列四個說法中正確的個數(shù)是()集合N中的最小數(shù)為1；若aN，則aN；若aN，bN，則ab的最小值為2；所有小的正數(shù)組成一個集合；Q；0N；3Z；R.A0 B1C2 D3解析：選C錯，因?yàn)镹中最小數(shù)是0；錯，因?yàn)?N，而0N；錯，當(dāng)a1，b0時(shí)，ab1；錯，小的正數(shù)是不確定的；錯，因?yàn)椴皇怯欣頂?shù)；錯，因?yàn)?是自然數(shù)；正確，因?yàn)?是整數(shù)；正確，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)5由實(shí)數(shù)a，a，|a|，所組成的集合最多含有()個元素A1 B2C3 D4解析：選B當(dāng)a0時(shí)，這四個數(shù)都是0，所組成的集合只有一個元素0.當(dāng)a0時(shí)，|a|所以一定與a或a中的一個一致故組成的集合中有兩個元素，故選B.二、填空題6方程x22x30

16、的解集與集合A相等，若集合A中的元素是a，b，則ab_.解析：方程x22x30的解集與集合A相等，a，b是方程x22x30的兩個根，ab2.答案：27已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B是由奇數(shù)組成的，若aA，bB，則ab_A，ab_A(填或)解析：a是偶數(shù)，b是奇數(shù)，ab是奇數(shù)，ab是偶數(shù)，故abA，abA.答案：8若集合A是不等式xa>0的解集，且2A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：2A，2a0，即a2.答案：a2三、解答題9設(shè)集合A中含有三個元素3，x，x22x.(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件；(2)若2A，求實(shí)數(shù)x.解：(1)由集合中元素的互異性可知，x3，且xx22x，x22x3.解之得

17、x1且x0，且x3.(2)2A，x2或x22x2.由于x22x(x1)211，x2.10數(shù)集M滿足條件：若aM，則M(a±1且a0)若3M，則在M中還有三個元素是什么？解：3M，2M，M，M.又3M，在M中還有元素2，.第二課時(shí)集合的表示列舉法提出問題觀察下列集合：(1)中國古代四大發(fā)明組成的集合；(2)20的所有正因數(shù)組成的集合問題1：上述兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎？提示：能(1)中的元素為造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥，(2)中的元素為：1,2,4,5,10,20.問題2：如何表示上述兩個集合？提示：用列舉法表示導(dǎo)入新知列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示

18、集合的方法叫做列舉法化解疑難使用列舉法表示集合的四個注意點(diǎn)(1)元素間用“，”分隔開，其一般形式為a1，a2，an；(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；(4)對于含有有限個元素且個數(shù)較少的集合，采取該方法較合適；若元素個數(shù)較多或有無限個且集合中的元素呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不會產(chǎn)生誤解的情況下，也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.描述法提出問題觀察下列集合：(1)不等式x23的解集；(2)函數(shù)yx21的圖象上的所有點(diǎn)問題1：這兩個集合能用列舉法表示嗎？提示：不能問題2：如何表示這兩個集合？提示：利用描述法導(dǎo)入新知描述法(1)定義：用集合所含元素的共

19、同特征表示集合的方法(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征化解疑難1描述法表示集合的條件對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共同特征描述出來，即采用描述法2描述法的一般形式它的一般形式為xA|p(x)，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范圍；p(x)則是表示這個集合中元素的共同特征，其中“|”將代表元素與其特征分隔開來一般來說集合元素x的取值范圍A需寫明確，但若從上下文的關(guān)系看，xA是明確的，則xA可以省略，只寫元素x.用列舉法表示集

20、合例1若集合A(1,2)，(3,4)，則集合A中元素的個數(shù)是()A1B2C3 D4(2)用列舉法表示下列集合不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；方程x2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；直線y2x1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；方程組的解(1)解析集合A(1,2)，(3,4)中有兩個元素(1,2)和(3,4)答案B(2)解因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是0,2,4,6,8,10方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解組成的集合為0,1將x0代入y2x1，得y1，即交點(diǎn)是(0,1)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是(0,1)解方程組得用列舉法表示方程組的解集為(

21、0,1)類題通法用列舉法表示集合的步驟(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號括起來活學(xué)活用已知集合A2，1,0,1,2,3，對任意aA，有|a|B，且B中只有4個元素，求集合B.解：對任意aA，有|a|B.因?yàn)榧螦2，1,0,1,2,3，由1，2,0,1,2,3A，知0,1,2,3B.又因?yàn)锽中只有4個元素，所以B0,1,2,3.用描述法表示集合例2(1)用符號“”或“”填空：Ax|x2x0，則1_A，1_A；(1,2)_(x，y)|yx1(2)用描述法表示下列集合：正偶數(shù)集；被3除余2的正整數(shù)的集合；平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合(1

22、)解析將1代入方程成立，將1代入方程不成立，故1A，1A.將x1，y2代入yx1成立，故填.答案(2)解偶數(shù)可用式子x2n，nZ表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定nN*，所以正偶數(shù)集可表示為x|x2n，nN*設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x3n2，nZ，但元素為正整數(shù)，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為x|x3n2，nN坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個為0，即xy0，故坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為(x，y)|xy0類題通法利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)(1)寫清楚該集合代表元素的符號例如，集合xR|x<1不能寫成x<1(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)例

23、如，xZ|x2k，kZ，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將kZ也寫進(jìn)花括號內(nèi)，即xZ|x2k，kZ(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫例如，方程x22x10的實(shí)數(shù)解集可表示為xR|x22x10，也可寫成x|x22x10(5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如直角三角形，自然數(shù)等活學(xué)活用下列三個集合：Ax|yx21；By|yx21；C(x，y)|yx21(1)它們是不是相同的集合？(2)它們各自的含義分別是什么？解：(1)由于三個集合的代表元素互不相同，故它們是互不相同的集合(2)集合Ax|yx21的代表元素是x，且xR，所以

24、x|yx21R，即AR；集合By|yx21的代表元素是y，滿足條件yx21的y的取值范圍是y1，所以y|yx21y|y1集合C(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，是滿足yx21的數(shù)對可以認(rèn)為集合C是坐標(biāo)平面內(nèi)滿足yx21的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的集合，其實(shí)就是拋物線yx21的圖象.集合表示的應(yīng)用例3(1)集合A1，3,5，7,9，用描述法可表示為()Ax|x2n±1，nNBx|x(1)n(2n1)，nNCx|x(1)n(2n1)，nNDx|x(1)n1(2n1)，nN(2)設(shè)集合B.試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合B.(1)解析觀察規(guī)律，其絕對值為奇數(shù)排列，且正負(fù)相

25、間，且第一個為正數(shù)，故應(yīng)選C.答案C(2)解當(dāng)x1時(shí)，2N.當(dāng)x2時(shí)，N.所以1B,2B.N，xN，2x只能取2,3,6.x只能取0,1,4.B0,1,4類題通法判斷元素與集合間關(guān)系的方法(1)用列舉法給出的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，觀察即得元素與集合的關(guān)系例如，集合A1,9,12，則0A,9A.(2)用描述法給出的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)就比較復(fù)雜此時(shí)，首先明確該集合中元素的一般符號是什么，是實(shí)數(shù)？是方程？，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判斷所給元素是否滿足集合中元素的特征，即可確定所給元素與集合的關(guān)系活學(xué)活用定義集合A，B的一種運(yùn)算：A*Bx|xx1x2，

26、其中x1A，x2B，若A1,2,3，B1,2，試用列舉法表示出集合A*B.解：當(dāng)x11時(shí)，x2可以取1或2，則x1x22或3；當(dāng)x12時(shí)，x2可以取1或2，則x1x23或4；當(dāng)x13時(shí)，x2可以取1或2，則x1x24或5.A*B2,3,4,5典例集合Ax|ax22x10，aR中只有一個元素，求a的取值范圍解當(dāng)a0時(shí)，原方程變?yōu)?x10，此時(shí)x，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，方程ax22x10為一元二次方程，44a0，即a1，原方程的解為x1，符合題意故當(dāng)a0或a1時(shí)，原方程只有一個解，此時(shí)A中只有一個元素多維探究解答上面例題時(shí)，a0這種情況極易被忽視，對于方程“ax22x10”有兩種情況：一是a0，即它

27、是一元一次方程；二是a0，即它是一元二次方程，也只有在這種情況下，才能用判別式來解決問題求解集合與方程問題時(shí)，要注意相關(guān)問題的求解，如：(1)在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍解：A中至多含有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素當(dāng)A中只有一個元素時(shí)，由本例可知，a0或1.當(dāng)A中沒有元素時(shí)，44a<0，即a>1.故當(dāng)A中至多有一個元素時(shí)，a的取值范圍為a0或a1.(2)在本例條件下，若A中至少有一個元素，求a的取值范圍解：A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素由例題可知，當(dāng)a0或a1時(shí)，A中有一個元素；當(dāng)A中有兩個元素時(shí)，44a>0，即a<1.A中至少

28、有一個元素時(shí)，a的取值范圍為a1.(3)若1A，則a為何值？解：1A，a210，即a3.(4)是否存在實(shí)數(shù)a，使A1，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解：A1，1A，a210，即a3.又當(dāng)a3時(shí) ，由 3x22x10，得x或x1，即方程ax22x10存在兩個根和1，此時(shí)A，1，與A1矛盾故不存在實(shí)數(shù)a，使A1隨堂即時(shí)演練1方程組的解集是()A(5,4)B(5，4)C(5,4) D(5，4)解析：選D解方程組得故解集為(5，4)，選D.2下列四個集合中，不同于另外三個的是()Ay|y2 Bx2C2 Dx|x24x40解析：選B集合x2表示的是由一個等式組成的集合，其它選項(xiàng)所表示的集合都是含

29、有一個元素2.3給出下列說法：直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的集合為(x，y)|xy>0；方程|y2|0的解集為2，2；集合(x，y)|y1x與x|y1x是相等的其中正確的是_(填寫正確說法的序號)解析：直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是同號的，且集合中的代表元素為點(diǎn)(x，y)，故正確；方程|y2|0等價(jià)于即解為有序?qū)崝?shù)對(2，2)，解集為(2，2)或(x，y)|，故不正確；集合(x，y)|y1x的代表元素是(x，y)，集合x|y1x的代表元素是x，前者是有序?qū)崝?shù)對，后者是實(shí)數(shù)，因此這兩個集合不相等，故不正確答案：4若A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，用列舉法表示集合B

30、為_解析：由題意可知集合B是由A中元素的平方構(gòu)成的，故B4,9,16答案：4,9,165用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于3.5小于12.8的整數(shù)的全體；(3)梯形的全體構(gòu)成的集合；(4)所有能被3整除的數(shù)的集合；(5)方程(x1)(x2)0的解集；(6)不等式2x1>5的解集解：(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)x|x是梯形或梯形(4)x|x3n，nZ(5)1,2(6)x|2x1>5課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1下列各組中的兩個集合M和N，表示同一集合的是

31、()AM，N3.141 59BM2,3，N(2,3)CMx|1<x1，xN，N1DM1，N，1，|解析：選D選項(xiàng)A中兩個集合的元素互不相等，選項(xiàng)B中兩個集合一個是數(shù)集，一個是點(diǎn)集，選項(xiàng)C中集合M0,1，只有D是正確的2已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是()A0M B2MC4M D4M解析：選D當(dāng)x，y，z都大于零時(shí)，代數(shù)式的值為4，所以4M，故選D.3集合xN*|x3<2的另一種表示法是()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5解析：選Bx3<2，xN*，x<5，xN*，x1,2,3,4

32、.故選B.4已知集合Ax|x2m1，mZ，Bx|x2n，nZ，且x1、x2A，x3B，則下列判斷不正確的是()Ax1·x2A Bx2·x3BCx1x2B Dx1x2x3A解析：選D集合A表示奇數(shù)集，B表示偶數(shù)集，x1、x2是奇數(shù)，x3是偶數(shù)，x1x2x3應(yīng)為偶數(shù)，即D是錯誤的5設(shè)P1,2,3,4，Q4,5,6,7,8，定義P*Q(a，b)|aP，bQ，ab，則P*Q中元素的個數(shù)為()A4 B5C19 D20解析：選C由題意知集合P*Q的元素為點(diǎn)，當(dāng)a1時(shí)，集合P*Q的元素為：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5個元素同樣當(dāng)a2,3時(shí)集合P*Q的元素

33、個數(shù)都為5個，當(dāng)a4時(shí)，集合P*Q中元素為：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4個因此P*Q中元素的個數(shù)為19個，故選C.二、填空題6設(shè)集合A1，2，a21，B1，a23a,0，若A，B相等，則實(shí)數(shù)a_.解析：由集合相等的概念得解得a1.答案：17已知集合Ax|2xa>0，且1A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：1x|2xa>0，2×1a0，即a2.答案：a28已知5x|x2ax50，則集合x|x24xa0中所有元素之和為_解析：由5x|x2ax50得(5)2a×(5)50，所以a4，所以x|x24x402，所以集合中所有元素之和為2.答案：2三、解答

34、題9已知集合M2,3x23x4，x2x4，若2M，求x.解：當(dāng)3x23x42時(shí)，即x2x20，則x2或x1.經(jīng)檢驗(yàn)，x2，x1均不合題意當(dāng)x2x42時(shí)，即x2x60，則x3或2.經(jīng)檢驗(yàn)，x3或x2均合題意x3或x2. 10(1)已知集合MxN|Z，求M；(2)已知集合CZ|xN，求C.解：(1)xN，Z，1x應(yīng)為6的正約數(shù)1x1,2,3,6，即x0,1,2,5.M0,1,2,5(2)Z，且xN，1x應(yīng)為6的正約數(shù)，1x1,2,3,6，此時(shí)分別為6,3,2,1，C6,3,2,111.2集合間的基本關(guān)系子集提出問題具有北京市東城區(qū)戶口的人組成集合A，具有北京市戶口的人組成集合B.問題1：A中元素與

35、集合B有關(guān)系嗎？提示：有關(guān)系，A中每一個元素都屬于B.問題2：集合A與集合B有什么關(guān)系？提示：集合B包含集合A.導(dǎo)入新知子集的概念定義一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)圖示結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即AA. (2)對于集合A，B，C，若AB，且BC，則AC化解疑難對子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含義是：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB.例如0,11,0,1，則00,1,01,0,1(2)如果

36、集合A中存在著不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此時(shí)記作AB或BA.(3)注意符號“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如0N.而不能寫成0N，“”只能用于元素與集合之間如0N，而不能寫成0N.集合相等提出問題設(shè)Ax|x是有三條邊相等的三角形，Bx|x是等邊三角形問題1：三邊相等的三角形是何三角形？提示：等邊三角形問題2：兩集合中的元素相同嗎？提示：相同問題3：A是B的子集嗎？B是A的子集嗎？提示：是，是導(dǎo)入新知集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作AB.化解

37、疑難對兩集合相等的認(rèn)識(1)若AB，又BA，則AB；反之，如果AB，則AB，且BA.這就給出了證明兩個集合相等的方法，即欲證AB，只需證AB與BA同時(shí)成立即可(2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān).真子集提出問題給出下列集合：Aa，b，c，Ba，b，c，d，e問題1：集合A與集合B有什么關(guān)系？提示：AB.問題2：集合B中的元素與集合A有什么關(guān)系？提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不在A中導(dǎo)入新知真子集的概念定義如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作AB(或BA)圖示結(jié)論(1)AB且BC，則AC；(2)AB且AB，則

38、AB化解疑難對真子集概念的理解(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足AB，其次至少有一個xB，但xA.(2)若A不是B的子集，則A一定不是B的真子集.空集提出問題一個月有32天的月份組成集合T.問題1：含有32天的月份存在嗎？提示：不存在問題2：集合T存在嗎？是什么集合？提示：存在，是空集導(dǎo)入新知空集的概念定義我們把不含任何元素的集合，叫做空集記法規(guī)定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一個子集，即它的本身，(2)A，則A化解疑難與0的區(qū)別(1)是不含任何元素的集合；(2)0是含有一個元素的集合，0集合間關(guān)系的判斷例1(1)下列各式中，正確的個數(shù)是()00,1,2；0,1,22,1,0

39、；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3 D4(2)指出下列各組集合之間的關(guān)系：A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等邊三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*(1)解析對于，是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)為00,1,2；對于，實(shí)際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于，空集是任何集合的子集；對于，0是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；對于，0,1是含有兩個元素0與1的集合，而(0,1)是以有序數(shù)組(0,1)為元素的單元素集合，所以0,1與(0,1)不相等；對于，0與0是

40、“屬于與否”的關(guān)系，所以00故是正確的，應(yīng)選B.答案B(2)解集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.法一：兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列舉法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.類題通法判斷集合間關(guān)系的方法(1)用定義判斷首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則AB，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則BA，否則B不是A的子集；若既

41、有AB，又有BA，則AB.(2)數(shù)形結(jié)合判斷對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍活學(xué)活用能正確表示集合MxR|0x2和集合NxR|x2x0關(guān)系的Venn圖是()解析：選B解x2x0得x1或x0，故N0,1，易得NM，其對應(yīng)的Venn圖如選項(xiàng)B所示.有限集合子集的確定例2(1)集合M1,2,3的真子集個數(shù)是()A6 B7C8 D9(2)滿足1,2M1,2,3,4,5的集合M有_個解析(1)集合M的真子集所含有的元素的個數(shù)可以有0個，1個或2個，含有0個為，含有1個有3個真子集1，2，3，含有2個元素有3個真子集1,21,3和2,3，共有7個真子集，

42、故選B.(2)由題意可得1,2M1,2,3,4,5，可以確定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下：含有三個元素：1,2,31,2,41,2,5；含有四個元素：1,2,3,41,2,3,51,2,4,5；含有五個元素：1,2,3,4,5故滿足題意的集合M共有7個答案(1)B(2)7類題通法公式法求有限集合的子集個數(shù)(1)含n個元素的集合有2n個子集(2)含n個元素的集合有(2n1)個真子集(3)含n個元素的集合有(2n1)個非空子集(4)含有n個元素的集合有(2n2)個非空真子集(5)若集合A有n(n1)個元素，集合C有m(m1)個元素，且A

43、BC，則符合條件的集合B有2mn個活學(xué)活用非空集合S1,2,3,4,5且滿足“若aS，則6aS”，則這樣的集合S共有_個解析：由“若aS，則6aS”知和為6的兩個數(shù)都是集合S中的元素，則()集合S中含有1個元素：3；集合S中含有2個元素：2,4，1,5；集合S中含有3個元素：2,3,4，1,3,5；集合S中含有4個元素：1,2,4,5；集合S中含有5個元素：1,2,3,4,5故滿足題意的集合S共有7個答案：7集合間關(guān)系的應(yīng)用例3已知集合Ax|x<1或x>4，Bx|2axa3，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解當(dāng)B時(shí)，只需2a>a3，即a>3；當(dāng)B時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸

44、，可得或解得a<4或2<a3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<4或a>2.類題通法利用集合關(guān)系求參數(shù)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)分析集合關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡化每個集合(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤一般含“”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“”用空心點(diǎn)表示(3)此類問題還要注意“空集”的情況，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹顚W(xué)活用已知集合Ax|1<ax<2，Bx|1<x<1，求滿足AB的實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時(shí)，A，滿足AB.(2)當(dāng)a>0時(shí)，Ax|<x<又Bx|1&

45、lt;x<1且AB，如圖作出滿足題意的數(shù)軸：a2.(3)當(dāng)a<0時(shí)，Ax|<x<AB，如圖所示，a2.綜上所述，a的取值范圍是a|a0或a2或a2典例已知集合Ax|2x5，Bx|m6x2m1，若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解AB，解得故3m4.m的取值范圍是m|3m4多維探究1本例中，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)當(dāng)B時(shí)，m6>2m1，即m<5當(dāng)B時(shí)，即m.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m<52在本例中，若將“AB”改為“AB”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：AB，兩不等式端點(diǎn)不可能同時(shí)成立，故答案與本例一致3若將本例中的不等式變?yōu)榉匠?，試解決如下問題：已知集合A

46、x|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，aR，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：Ax|x24x00，4，BA，B或B0或B4或B0，4(1)當(dāng)B時(shí)，方程x22(a1)xa210無實(shí)根，則<0，即4(a1)24(a21)<0.a<1.(2)當(dāng)B0時(shí)，有a1.(3)當(dāng)B4時(shí)，有無解(4)當(dāng)B0，4時(shí)，由韋達(dá)定理得a1.綜上所述，a1或a1.隨堂即時(shí)演練1給出下列四個判斷：0；空集沒有子集；任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集；空集是任何一個集合的子集其中，正確的有()A0個B1個C2個 D3個解析：選B由空集的性質(zhì)可知，只有正確，均不正確2已知Ax|x是菱形，Bx|x是正方形，Cx|x是平行四邊形，那么A，B，C之間的關(guān)系是()AABC BBACCABC DABC解析：選B集合A，B，C關(guān)系如圖3已知集合A1,3，m，B3,4，若BA，則實(shí)數(shù)m_.解析 ：BA，B3,4，A1,3，mmA，m4.答案：44集合Ax|0x<3且xN的真子集的個數(shù)為_解析：由題意得A0,1,2，故集合A有