《高等數(shù)學(xué)》電子課件（自編教材）：05第八章 第5節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用

1、1第五節(jié)第五節(jié) 多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線三、小結(jié)三、小結(jié)2設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面M.),(0000tttzzyyxxM 對應(yīng)于對應(yīng)于;),(0000ttzyxM 對應(yīng)于對應(yīng)于設(shè)設(shè)M 3考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為

2、的方程為MM ,000zzzyyyxxx 4,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 5例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sinco

3、s2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即61.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：)(),(,001xxT 切向量切向量72.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,)()(000001xzzzxyyyxx法平面方

4、程為法平面方程為.)()()(000000zzxzyyxyxx)()(xzzxyy隱式確定隱式確定,),(000處處在在zyxM求導(dǎo)求導(dǎo)將方程組對將方程組對x00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx),(),(xzxy)(),(,001xzxyT切向量切向量8例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項，得求導(dǎo)并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdx

5、dz 9由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz103例例的切線方程的切線方程上平行于平面上平行于平面求曲線求曲線4232zyxxzxy,:解解),(000zyx設(shè)切點為設(shè)切點為,200321xxT ,121n而而0nTnT由由0341200 xx31100 xx,),(),(:2719131111對應(yīng)點對應(yīng)點切切線線方方程程312111zyx312713291131zyx和和11設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),(

6、 zyxF),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面與法線nTM的曲線的曲線在曲面上任取一條過在曲面上任取一條過),(000zyxM.點有無窮多條曲線點有無窮多條曲線曲面上過曲面上過M:問題問題?平面上平面上點的切線是否都在同一點的切線是否都在同一這些曲線在這些曲線在M12 在光滑曲面 上通過點 M 的任何曲線在點 M 處的切線都在同一平面上.命題命題:.的切平面的切平面在點在點稱此平面為曲面稱此平面為曲面MnTM事實上, 因)(, )(, )(:tztytx 0) )(, )(, )(tttF 兩邊對 t 求導(dǎo),0tt

7、 ),(000zyxM),(000zyxFx)(0t ),(000zyxFy)(0t ),(000zyxFz)(0t 013),(000zyxFx)(0t ),(000zyxFy)(0t ),(000zyxFz)(0t 0)(, )(, )(000tttT 記記),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyxnT表明這些切線都在以的同一平面上 ， 從而切平面存在 .,的任意性的任意性由于曲線由于曲線為法向量為法向量n14)( ),(0000 xxzyxFx),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面 在點 M 的法向量法向量法線方

8、程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznTM15例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0 , 2, 1()0 , 2, 1(yFx, 22)0 , 2, 1()0 , 2, 1(xFy, 01)0 , 2, 1()0 , 2, 1(zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 y

9、x.001221 zyxyFx2xFy2zzeF1,024n16特殊地：空間曲面方程為特殊地：空間曲面方程為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令處的法向量處的法向量曲面在曲面在),(000zyxMn),(),(10000yxfyxfyx17,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中

10、其中點點在在對于對于),(),(:000zyxMyxfz 則法向量的則法向量的方向余弦方向余弦為為),(),(10000yxfyxfnyx此時此時18例例 5 5 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz在點在點)4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx19例例 6 6 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方

11、程的各切平面方程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 20因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)21使曲面 與

12、球面例例7. 確定正數(shù) zyx222zyx在),(000zyxM解解: 二曲面在 M 點的法向量分別為,0000001yxzxzyn 二曲面在點 M 相切, 則有21nn000000000zyxyzxxzy200002000020000zzyxyzyxxzyx202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx于是有000zyx 0002zyxn,2a相切. 333a22空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）三、小結(jié)23練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解：解：,2,2,6000zyxn 設(shè)切點設(shè)切點),(000zyx依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 2424例例2： 求曲線32:51yxzx在點M（1，2，4）處的切線方程和法平面方程。解：取x為參數(shù)，則0)4(5)2(61zyx3:251xxyxzx12)5,6,